基于IHB法分裂導(dǎo)線次檔距振蕩的極限環(huán)特性

于洋洋， 郭虎倫， 曹樹謙， 劉 彬， 陳予恕,5

(1.天津大學(xué)力學(xué)系 天津，300072) (2.天津大學(xué)仁愛學(xué)院 天津，301636)(3.天津市非線性動力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津，300072)(4.中國電力科學(xué)研究院 北京，100192) (5.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院 哈爾濱，150001)

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基于IHB法分裂導(dǎo)線次檔距振蕩的極限環(huán)特性

于洋洋1,2,3， 郭虎倫1,3， 曹樹謙1,3， 劉 彬4， 陳予恕1,3,5

(1.天津大學(xué)力學(xué)系 天津，300072) (2.天津大學(xué)仁愛學(xué)院 天津，301636)(3.天津市非線性動力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津，300072)(4.中國電力科學(xué)研究院 北京，100192) (5.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院 哈爾濱，150001)

分裂導(dǎo)線中的背風(fēng)子導(dǎo)線在尾流激振作用下會出現(xiàn)大幅的次檔距振蕩，是威脅高壓輸電線路安全運(yùn)行的重要故障之一。針對此問題，首先，給出了背風(fēng)子導(dǎo)線在尾流激振下，含氣動非線性的兩自由度次檔距振蕩動力學(xué)模型方程；其次，采用增量諧波平衡法推導(dǎo)了求解次檔距振蕩高階極限環(huán)響應(yīng)的方程，得到了次檔距振蕩極限環(huán)響應(yīng)的前三次諧波響應(yīng)，結(jié)果表明，導(dǎo)線次檔距振蕩只存在于一個風(fēng)速區(qū)間范圍內(nèi)，隨諧波次數(shù)的增加，高次諧波的影響明顯減弱，其中一次諧波能夠較好地吻合Runge-Kutta數(shù)值計(jì)算結(jié)果；最后，分析了檔距和背風(fēng)子導(dǎo)線的初始位置對次檔距振蕩的影響，為避免或抑制次檔距振蕩的發(fā)生提供技術(shù)支持。

分裂導(dǎo)線；次擋距振蕩；極限環(huán)；增量諧波平衡法

引 言

微風(fēng)振動、覆冰舞動和次檔距振蕩是危害輸電導(dǎo)線安全運(yùn)行的3種重要故障。次檔距振蕩只存在于分裂導(dǎo)線中，是一種由迎風(fēng)側(cè)子導(dǎo)線的尾流誘發(fā)背風(fēng)側(cè)子導(dǎo)線振動的現(xiàn)象。次檔距振蕩的振動頻率約為1～3Hz，振幅為導(dǎo)線直徑的3～20倍，會造成子導(dǎo)線間的相互碰撞和鞭擊、磨損導(dǎo)線，嚴(yán)重的將導(dǎo)致導(dǎo)線疲勞斷股[1]。當(dāng)前，隨著長距離、大跨度、多分裂高壓輸電技術(shù)的廣泛應(yīng)用，分裂導(dǎo)線中存在的次檔距振蕩的危害性也愈發(fā)凸顯。因此對分裂導(dǎo)線次檔距振蕩動力學(xué)特性的深入研究有助于次檔距振蕩抑制技術(shù)的開發(fā)，避免次檔距振蕩的發(fā)生。

當(dāng)前針對次檔距振蕩動力學(xué)特性的研究最直接的方法是實(shí)驗(yàn)研究，此外還有數(shù)值方法、解析方法和半數(shù)值半解析的方法。背風(fēng)子導(dǎo)線受尾流激振時的氣動升力和氣動阻力的模擬是研究次檔距振蕩的基礎(chǔ)，實(shí)驗(yàn)研究必不可少。Bokaian[2]通過實(shí)驗(yàn)測得背風(fēng)子導(dǎo)線在尾流激振作用下的氣動升力和氣動阻力，并用冪級數(shù)的形式擬合出氣動升力和氣動阻力的表達(dá)式，其擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)非常相近。Wardlaw[3]用風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)以分裂導(dǎo)線的節(jié)段彈性支撐模型研究其次檔距振蕩的穩(wěn)定性條件，并得到較好的平均氣動力結(jié)果。但實(shí)驗(yàn)研究的缺點(diǎn)是需要大量的物力，尤其風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)耗費(fèi)巨大。隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，尤其是商用軟件的成熟，數(shù)值方法在次檔距振蕩中得到越來越多的應(yīng)用。Lilien等[4]用有限元方法研究了兩分裂三檔距系統(tǒng)的次檔距振蕩，采用模態(tài)分析的方法分析了子導(dǎo)線的間距、質(zhì)量、頻率比等參數(shù)對分裂導(dǎo)線次檔距振蕩的影響。陳元坤[1]利用計(jì)算流體動力學(xué)(computational fluid dynamics,簡稱CFD)計(jì)算仿真分裂導(dǎo)線的氣動特性，得到分裂導(dǎo)線的平均氣動力系數(shù)曲線。解析方法計(jì)算簡便，一度成為學(xué)者們關(guān)注的焦點(diǎn)。文獻(xiàn)[5-7]采用準(zhǔn)定常線性顫振理論研究了次檔距振蕩系統(tǒng)的振動失穩(wěn)邊界。Rawlins[8]采用傳遞矩陣法研究導(dǎo)線的振動特性，并結(jié)合波傳遞理論預(yù)測了分裂導(dǎo)線發(fā)生次檔距振蕩時的振動響應(yīng)。準(zhǔn)定常線性顫振理論、穩(wěn)定性理論和傳遞矩陣法都是研究的次檔距振蕩線性模型。文獻(xiàn)[9-10]在準(zhǔn)定常理論研究的基礎(chǔ)上，采用中心流行定理和正規(guī)形理論降維，研究了背風(fēng)子導(dǎo)線非線性系統(tǒng)的次檔距振蕩。文獻(xiàn)[11-12]采用平均法研究了背風(fēng)子導(dǎo)線兩自由度非線性系統(tǒng)的解析解，并分別與數(shù)值積分結(jié)果和其他文獻(xiàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，結(jié)果吻合良好。但是解析方法在求解高維非線性系統(tǒng)或者非線性項(xiàng)較多的多維系統(tǒng)時存在很大的求解困難，甚至無法求解。半數(shù)值半解析的方法結(jié)合了數(shù)值法和解析法的優(yōu)點(diǎn)，能夠較好地解決這一問題。增量諧波平衡法(incremental harmonic balance method,簡稱IHB)是一種發(fā)展較為成熟、應(yīng)用較為廣泛的半數(shù)值半解析的方法。唐南[13]將IHB應(yīng)用于求解多自由度Van der pol自治系統(tǒng)，為解決多自由度系統(tǒng)的自激振動提供了很好的范例。晏致濤等[14]將IHB應(yīng)用于覆冰輸電線舞動——非線性自激振動系統(tǒng)的極限環(huán)求解，其結(jié)果與數(shù)值積分結(jié)果吻合良好。次檔距振蕩系統(tǒng)中存在復(fù)雜的非線性因素，采用IHB法能夠很好地分析分裂導(dǎo)線的次檔距振蕩特性，既拓寬了IHB法的應(yīng)用范圍，又為強(qiáng)非線性的次檔距振蕩分析提供了一條新的途徑。IHB法在研究強(qiáng)非線性的振動分析中合理可靠，且有足夠的精度。

筆者考慮背風(fēng)子導(dǎo)線氣動載荷中的非線性因素，建立背風(fēng)子導(dǎo)線尾流激振下的兩自由度動力學(xué)方程，利用增量諧波平衡法研究了兩分裂導(dǎo)線次檔距振蕩系統(tǒng)，得到次檔距振蕩系統(tǒng)隨風(fēng)速變化的曲線及兩個失穩(wěn)風(fēng)速之間的極限環(huán)響應(yīng)，并用Runge-Kutta數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了IHB的結(jié)果，最后分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對次檔距振蕩極限環(huán)響應(yīng)的影響。

1 分裂導(dǎo)線次檔距振蕩建模

如圖1所示，背風(fēng)子導(dǎo)線假定為一長度為l、直徑為d、質(zhì)量為m的剛性圓柱體，圓柱體被認(rèn)為在迎風(fēng)子導(dǎo)線的尾流中，圓柱體被彈簧和阻尼器支撐，數(shù)學(xué)模型考慮為背風(fēng)子導(dǎo)線的平面運(yùn)動。設(shè)背風(fēng)子導(dǎo)線沒有振動時的位置為(x0,y0)，振動后為(x0+x,y0+y)。

圖1 兩分裂導(dǎo)線次檔距振蕩Fig.1 Subspan oscillation of two bundled conductors

根據(jù)圖1背風(fēng)子導(dǎo)線受力建立動力學(xué)方程

(1)

筆者采用Oliveira等[11]給出的升力和阻力的表達(dá)式

(2)

用背風(fēng)側(cè)導(dǎo)線位置坐標(biāo)的冪級數(shù)擬合實(shí)測氣動力曲線，可得CL和CD的表達(dá)式

(3)

其中：X0=x0/d；Y0=y0/d；X=x/d；Y=y/d。

其他系數(shù)分別為：c0=1.2,A01=-1.78,A11=0.127,A21=-0.002 38,A02=1.944,A12=-0.115 2,A22=0.002 304,B01=B11=B12=B52=0.0,B21=0.928,B31=-0.827,B41=0.233,B51=-0.023 9,B02=0.740,B22=-0.007 12,B32=-0.105,B42=0.026 6。

按X和Y的冪級數(shù)展開，氣動力可寫為

(4)

m1k=A1k+2A2kX0；m2k=A2k；

n4k=B4k+5B5kY0；n5k=B5k；k=1,2。

忽略CL和CD3次以上的非線性，可得

CL=m01n01+m11n01X+m01n11Y+

m21n01X2+m11n11XY+m01n21Y2+

m21n11X2Y+m11n21XY2+m01n31Y3

(5a)

CD=c0-m02n02-m12n02X-m02n12Y-

m22n02X2-m12n12XY-m02n22Y2-

m22n12X2Y-m12n22XY2-m02n32Y3

(5b)

升力和阻力為X和Y的函數(shù)，沒有常數(shù)項(xiàng)，即由式(5)可得

(6)

因此背風(fēng)子導(dǎo)線次檔距振動方程為

(7)

(8)

其中:

2 IHB分析

次檔距振蕩為自激振動，設(shè)自激振動頻率為ω。令τ=ωt，則方程可無量綱化為

ω2Mq″+ωCq′+Kq+Nf(q,ωq′)=0

(9)

其中：()′和()″分別為對無量綱時間τ的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

設(shè)q0和ω0為式(9)的解，其鄰近狀態(tài)以增量形式表示為

q=q0+Δq

(10)

ω=ω0+Δω

(11)

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

式(13)、式(14)和式(15)中各元素的表達(dá)式為

將式(10)，(11)，(12)代入式(9)，并略去高階小量，可得

(16)

其中

(17)

為誤差向量。

下面進(jìn)行諧波平衡，首先設(shè)式(9)的穩(wěn)態(tài)周期解為

(18)

其對應(yīng)的增量可表示為

(19)

q0=SA

(20)

Δq=SΔA

(21)

將增量方程(16)左乘δ(Δq)T，并對τ在[0, 2π]上積分，可得

(22)

將式(20)和式(21)代入式(22)可得

(23)

S為τ的函數(shù)，可令

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

3 次檔距振動特性分析

圖2和圖3分別為X和Y的一次諧波與數(shù)值解的幅值隨風(fēng)速U0的變化關(guān)系。由圖可知，次檔距振蕩零平衡位置存在2個失穩(wěn)速度U10=8.86和U20=12.62。這與文獻(xiàn)[1]所得2個Hopf分岔點(diǎn)的結(jié)論和文獻(xiàn)[11]實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合一致。當(dāng)U0<

U10時，系統(tǒng)不存在極限環(huán)響應(yīng)，系統(tǒng)收斂到穩(wěn)定的零解上；當(dāng)U10U20時，系統(tǒng)又收斂到零解上，而無極限環(huán)響應(yīng)。與數(shù)值解的對比分析可知，一次諧波能夠較好地反映次檔距振蕩系統(tǒng)的動力學(xué)變化趨勢，表明增量諧波平衡法求解次檔距振蕩系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的正確性，但是量上還有一些差距，如果需要精確描述次檔距振蕩系統(tǒng)的動力學(xué)特性則需要求解二次、三次甚至高次諧波解。

圖4～圖7分別為X和Y的二次和三次諧波的幅值隨風(fēng)速U0的變化關(guān)系。對比分析一次、二次和三次諧波的響應(yīng)曲線可知，其動力學(xué)變化趨勢是一致的，都是在U0< 8.86或U0>12.62時，收斂到零解；而在8.86

Fig.2 Amplitude for the first order and numerical solution ofXwith wind speedU0

圖3Y的一次諧波和數(shù)值解的振幅隨U0的變化

Fig.3 Amplitude for the first order and numerical solution ofYwith wind speedU0

圖4X的二次諧波的振幅隨U0的變化

Fig.4 Amplitude for the second order ofXwith wind speedU0

圖5 Y的二次諧波的振幅隨U0的變化

Fig.5 Amplitude for the second order ofYwith wind speedU0

圖6X的三次諧波的振幅隨U0的變化

Fig.6 Amplitude for the third order ofXwith wind speedU0

圖7Y的三次諧波的振幅隨U0的變化

Fig.7 Amplitude for the third order ofYwith wind speedU0

4 次檔距振動結(jié)構(gòu)參數(shù)分析

分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對次檔距振蕩振幅的影響，可以為防止次檔距振蕩的措施提供依據(jù)。取參數(shù)值U0=9.5m/s，其他參數(shù)同第3節(jié)所取。通過以上分析，取X和Y的三次諧波，可得結(jié)構(gòu)參數(shù)背風(fēng)子導(dǎo)線初始位置X0，Y0和檔距l(xiāng)對次檔距振蕩的影響，如圖8～圖10所示。

圖8 X和Y的振幅隨X0的變化Fig.8 Amplitude of X and Y with X0

圖9 X和Y的振幅隨Y0的變化Fig.9 Amplitude of X and Y with Y0

圖10 X和Y的振幅隨l的變化Fig.10 Amplitude of X and Y with l

圖8為X和Y的一、二、三階諧波幅值隨尾流中背風(fēng)子導(dǎo)線初始水平距離X0的變化。其他參數(shù)不變，隨X0的增加，當(dāng)X0=15.2時開始存在次檔距振蕩極限環(huán)響應(yīng)，當(dāng)X0=19.2時極限環(huán)響應(yīng)消失，即15.2

5 結(jié) 論

1) 次檔距振蕩系統(tǒng)的零平衡位置存在兩個失穩(wěn)速度，兩個失穩(wěn)速度區(qū)間之內(nèi)，系統(tǒng)存在次檔距振蕩，收斂到穩(wěn)定的極限環(huán)上，失穩(wěn)速度區(qū)間之外，系統(tǒng)收斂到穩(wěn)定的零解上。

2) 次檔距振蕩系統(tǒng)各階諧波響應(yīng)的失穩(wěn)速度一致，且失穩(wěn)區(qū)間內(nèi)極限環(huán)幅值都是隨風(fēng)速的增大呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢。

3) 各階諧波響應(yīng)隨諧波階次的增加，幅值衰減明顯，二次諧波幅值遠(yuǎn)小于一次諧波，三次諧波幅值又小于二次諧波。一次諧波解能夠較好地反映分裂導(dǎo)線的次檔距振蕩。

4) 當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化時，其對次檔距振動振幅的影響規(guī)律為：隨尾流中背風(fēng)子導(dǎo)線初始水平距離X0、初始垂直距離Y0、檔距l(xiāng)的增加而先增大后減小直到振動消失。因此，實(shí)際線路中應(yīng)兼顧經(jīng)濟(jì)性與合理性的要求，將這3個參數(shù)盡可能地選擇小些或者盡可能大一些，這有助于避免出現(xiàn)大幅的次檔距振蕩。

[1] 陳元坤. 分裂導(dǎo)線的微分振動與次檔距振蕩研究[D]. 武漢: 華中科技大學(xué), 2011.

[2] Bokaian A. Galloping of a circular cylinder in the wake of another[J]. Journal of Sound and Vibration, 1989, 128(1): 71-85.

[3] Wardlaw R L, Cooper K R, Ko R G, et al. Wind tunnel and analytical investigations into the aeroelastic behaviour of bundled conductors [J]. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, 1975, 94(2): 642-654.

[4] Lilien J L, Snegovski D. Wake-induced vibration in power transmission line parametric study [C]∥Flow Induced Vibration. Paris:de Langre & Axisa,2004:6-9.

[5] Simpson A. Wake induced flutter of circular cylinders: aeronautical aspects [J]. Aeronautical Quarterly, 1971, 22(2): 101-118.

[6] Cooper K R. Wind tunnel and theoretical investigations into the aerodynamic stability of smooth and stranded twin-bundled power conductors [R]. Canada:National Research Council of Candat, 1973.

[7] Price S J. Wake induced flutter of power transmission conductors [J]. Journal of Sound and Vibration. 1975, 38(1): 125-147.

[8] Rawlins C B. Fundamental concepts in the analysis of wake induced oscillation of bundled conductors[J]. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, 1976, 95(4): 1377-1393.

[9] Kern G, Maitz A. Self-excited wind-induced vibrations and limit cycles in bundled conductors[J]. Meccanica, 1998,33:243-253.

[10]Kern G, Maitz A. Normal form transformation and an application to a flutter-type of vibration[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 1998, 33(5): 741-751.

[11]Oliveira A R E, Mansour W M. Nonliner analysis of wake-induced oscillations[J]. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, 1985,104(3): 727-732.

[12]Price S J, Maciel Y. Solution of the nonlinear equations for wake-induced flutter via the Krylov and Bogoliubov method of averaging [J]. Journal of Fluids and Structures,1990, 4(5): 519-540.

[13]唐南. 應(yīng)用于范德波方程的增量諧波平衡法 [J]. 中山大學(xué)研究生學(xué)刊:自然科學(xué)版, 1995, 16(2): 43-50.

Tang Nan. The incremental harmonic balance method applied to Van der pol equations [J]. Natural Science Journal of the Graduates, Sun Yat-Sen Uniersity:Natural Science Edition, 1995, 16(2): 43-50. (in Chinese)

[14]晏致濤, 張海峰, 李正良. 基于增量諧波平衡法的覆冰輸電線舞動分析[J]. 振動工程學(xué)報(bào), 2012, 25(2): 161-166.

Yan Zhitao, Zhang Haifeng, Li Zhengliang. Galloping analysis of iced transmission lines based on incremental harmonic balance method [J]. Journal of Vibration Engineering, 2012, 25(2): 161-166. (in Chinese)

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.03.028

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11302145)； 高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20130032120035)

2016-02-01；

2016-04-18

TH133.3

于洋洋，男，1989年2月生，碩士生。主要研究方向?yàn)檩旊妼?dǎo)線次檔距振蕩。曾發(fā)表《兩分裂導(dǎo)線次檔距振蕩Hopf分岔研究》(《機(jī)械科學(xué)與技術(shù)》2016年第35卷第8期)等論文。 E-mail: yangyang80233@126.com