線電荷與接地相切導體圓柱所形成的電場及其可視化

王福謙

（長治學院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

線電荷與接地相切導體圓柱所形成的電場及其可視化

王福謙

（長治學院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

將理論分析與計算機數值模擬相結合，通過保角變換法和鏡像法研究線電荷與接地相切導體圓柱所形成的電場，給出其電勢分布的解析解，并利用MATLAB軟件實現了場分布的可視化。

線電荷；接地相切導體圓柱；保角變換；鏡像法；電勢分布；可視化

文章運用保角變換法和平面鏡像法，討論了線電荷與接地相切導體圓柱所形成的電場，得出線電荷在圓柱外部空間區域內的電勢分布，并利用MATLAB繪制出電場線和等勢線（面）圖。

1 電勢分布函數

如圖1所示，在半徑分別為R1、R2的無限長的接地相切導體圓柱附近，平行于圓柱體放置有電荷線密度為λ的均勻荷電線，因在垂直于荷電線的所有截面上電場的分布均相同，則所求的電場為平行平面場。取其任一截面為復平面z，以兩導體圓柱切點處為原點建立坐標系，荷電線在該復平面上的位置為P（x0，iy0）。為了應用平面鏡像法求得線電荷的電場分布，需將z平面上除兩相切圓以外的求解區域映射為上半平面，為此先作如下的保角變換[1]。

該變換將z平面上挖去兩圓的全平面映射為ζ1平面上寬度為π的帶形區域，如圖2所示。再通過指數變換：

又將上述帶形區域變換到ζ2平面的上半平面，如圖3所示。

圖1 線電荷與接地相切導體圓柱的橫截面

圖2 經式（1）變換后的水平帶形區域

式（2）可展開為：

圖3 經指數變換后的上半平面及線電荷位置

圖4 經平移變換后的上半平面及線電荷位置

若要進一步計算線電荷與接地相切導體圓柱所形成電場的場強分布，可由場強與電勢的微分關系E=-▽u對式（8）取梯度的負值得到。

2 等勢線與電場線函數

因式（7）為線電荷與接地相切導體圓柱所形成電場的復勢表達式，故令式（7）中的實部為常數，得

式（9）為線電荷與接地相切導體圓柱所形成電場的等勢線函數，且滿足（x+R1）2+y2＞R12，（x-R2）2+y2＞R22。

同理，令式（7）中的虛部為常數，即

其中C2為任意常數。式（10）為線電荷與接地相切導體圓柱所形成電場的電場線函數，且滿足（x+R1）2+y2＞R12，（x-R2）2+y2＞R22。

3 場分布的可視化實現

為了給出線電荷與接地相切導體圓柱所形成電場分布的直觀圖像，以驗證文章討論結果的正確性，下面利用軟件MATLAB的數值模擬功能[2,3]，對其場分布進行可視化。圖5-8為利用MATLAB所繪制的線電荷與接地相切導體圓柱所形成的電場的電場線和等勢線（面）圖（其中取λ/2πε0的量值為15）。圖中的電場線與等勢線及導體圓柱面均垂直，零值等勢線與接地導體的邊界重合（注意：電勢的取值為contour（x,y,U,[0,0.25:2.5:50]），0V等勢線與導體邊界重合，最靠近導體表面的藍色等勢線的電勢為0.25V），圖線分布正確，為預期結果，這說明文章研究方法正確，結論可靠。

圖5 線電荷與接地相切導體圓柱所形成的電場（R1=2m，R2=3m；xn=0、yn=-12m）

圖6 線電荷與接地相切導體圓柱所形成的電場（R1=6m，R2=1m；x0=2m、y0=10m）

圖7 線電荷與接地相切導體圓柱所形成的電場（R1=2m，R2=3m；xn=0、yn=-12m）

圖8 線電荷與接地相切導體圓柱所形成的電場（R1=3m，R2=6m；x0=-13m、y0=0）

4 結束語

文章將理論分析與計算機數值模擬相結合，研究了線電荷與接地相切導體圓柱所形成的電場，給出其電勢分布的解析解，并利用MATLAB軟件實現了場分布的可視化，為邊界復雜的靜電場邊值問題的求解提供了一種思路與方法，可供電線電纜中相關問題的研究借鑒和參考。

［1］曹偉杰.保形變換理論及其應用［M］.上海：上海科學技術文獻出版社，1998.54-55.

［2］張德豐，雷小平.詳解MATLAB圖形繪制技術［M］.北京：電子工業出版社，2010.57-93.

［3］周群益，侯兆陽，劉讓蘇.MATLAB可視化大學物理學［M］.北京：清華大學出版社，2010.329-340.

The Electric Field of a Line Charged and a Grounding Tangent Conductor Cylinder and Its Visualization

Wang Fu-qian
（Department of Electronic Information and Physics Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

By combing theoretical analysis with Computer Simulation,the electric field of a line charged and a grounding tangent conductor cylinder is studied by using the conformal mapping method and plane mirror method.Its analytical solution of electric potential distribution is obtained,and the electric field distribution is visualized by using the software MATLAB.

a line charged;a grounding tangent conductor cylinder;conformal mapping method;plane mirror method;electric potential distribution;visualization

O44

A

1673-2014（2017）02-0001-05

（責任編輯 郝瑞宇）

2017—01—06

王福謙（1957— ），男，山西臨猗人，教授，主要從事電磁場邊值問題及場結構數值模擬研究。