一類依測度收斂而處處不收斂的函數列

韓凱凱

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

一類依測度收斂而處處不收斂的函數列

韓凱凱

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

文獻[1]中構造了一個依測度收斂而處處不收斂的函數列，文章構造了一類依測度收斂而處處不收斂的函數列，且文獻[1]中的函數列是該類的一個特例。

依測度收斂；處處不收斂；函數列

1 引言

文獻[1]構造了（0，1]上的一個依測度收斂而處處不收斂的函數列。文章考慮了R的有限區間和無限區間兩種情況：對于有限區間，構造了一類依測度收斂而處處不收斂的函數列；對于無限區間，構造了一類依測度收斂而非a.e.收斂的函數列。

2 預備知識

定義 設{fn}是E?Rq上的一列a.e.有限的可測函數，若有E上a.e.有限的可測函數（fx）滿足下列關系：

3 主要結果

例：一類依測度收斂而處處不收斂的函數列。構造如下：

當E是R中的任一有限區間時，不妨設E=（a，b（]a＜b）。設p是任一給定的素數（p＞0），s，t是兩個不相等的實數（不妨設｜t｜＜｜s｜）。將Ep等分，定義p個函數：

注1：當（a，b（]0，1），p=2，s=1，t=0時，即退化為文獻[1]中的函數列。

當E是R中任一無限區間時，下面構造一類依測度收斂而非a.e.收斂的函數列。不妨設E=（a，∞）。設p是任一給定的素數（p＞0），s，t是兩個不相等的實數（不妨設｜t｜＜｜s｜）。將E分成p+1份：將（a，a+1]p等分與（a+1，∞），定義（a，∞）個函數：

注2：在這里提出一個問題，上面構造了R的無限區間上的一個依測度收斂而非a.e.收斂的函數列。問R的無限區間上是否存在依測度收斂而處處不收斂的函數列？如果存在，如何構造？如果不存在，如何證明？更進一步，問R的任意勒貝格可測集上是否存在這樣的函數列？

［1］程其襄等，實變函數與泛函分析基礎［M］，第三版.北京：高等教育出版社，2010.

（責任編輯 趙巨濤）

O174

A

1673-2014（2017）01-0033-02

2017—01—15

韓凱凱（1986— ），男，河北邢臺人，碩士，助教，主要從事泛函分析研究。