基于DEA模型的高等代數分層次教學探析

張巧紅

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

基于DEA模型的高等代數分層次教學探析

張巧紅

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

文章以一個班次共計50名學生為樣本，運用數據包絡分析C2R模型和BC2模型對每名學生高等代數課程學習效率進行定量分析，可依據分析結果實施分班教學，并利用投影理論測算各班次教學與輔導課時,從而有利于提高學生分班及設置不同班級課時的科學性。

數據包絡分析；分層次教學；教學資源優化

1 研究背景

在當前眾多高校開始由研究型向應用型轉型的背景下，針對專業基礎課的分層次教學逐步實行，但在教學實踐中大多參考學生入學成績或課程初始成績實施分班教學，且不同層次班級的教學課時設置也缺乏客觀依據，不能充分發揮分層次教學的應有效果。國內一些學者也從不同角度對分層次教學進行了研究，如母麗華、李焱對大學數學分層次教學的理論依據、實踐方法及應注意的問題進行了分析闡述[2]；裴希山通過問卷調查，分析了某學院大學英語分層次教學存在的問題，提出了改進對策建議[3]，但同時這些文獻也都提到了分班科學性不足的問題。因此，尋找一種更加有效的方法，對學生學習效率進行評價和優化，進而準確分班，設置必要而不冗余的教學課時，既有利于提高分層次教學效果，又有利于節約教育資源。

文章將綜合運用數據包絡分析的C2R模型和BC2模型，以一個班次50名學生第一學期統一教學的高等代數課程為樣本，研究分層次教學時分班的實際方法，以期提高分層次教學的實際效果，為高校專業基礎課教改提供參考。

2 DEA方法的優缺點及適用性

DEA以相對效率概念為基礎，以凸分析和線性規劃為基本工具，應用數學規劃模型計算比較決策單元（DMU）之間的相對效率，對評價對象做出評價。在客觀評價的基礎上，還可以運用其投影理論進一步分析各決策單元非DEA有效的原因及其改進方向，從而成為管理科學與系統工程領域中一種重要而有效的分析工具，為決策者提供重要的管理決策信息。在評價多輸入、多輸出系統相對有效性方面，DEA方法更具有優越性，其最突出的優點在于無須作任何權重假設，每一輸入、輸出的權重并不根據評價者的主觀認定，而是根據決策單元的實際數據求得最優權重，有效避免了主觀因素導致的結果誤差[4]。有關數據包絡分析（DEA）的基本原理及其模型，魏權齡等國內外學者已做過詳細解讀[5-7]，文章不再贅述。

分層次教學中，每名學生可以視為一個評價單元（DMU），其不同的理論基礎、學習時間、課堂理解程度、考試成績等可以看作具有多個投入因素和多個產出因素的生產系統。因此，DEA方法在評價教學績效方面具有別的方法所沒有的優勢，其不需主觀設定權重、定量顯示非有效單元的改進方向、在評價的同時對系統進行優化等方面的顯著特點，為分層次教學科學分班提供了有力的輔助測算工具。

3 實證分析

3.1 確定評價指標體系

分層次教學的基本原則在于因人而異、因人施教，根據學生不同的學習能力區分班級開展授課，最大限度滿足學生的不同求知需求。要客觀地評價學生學習能力，必須要有準確反映其學習投入產出程度的評價指標。指標體系的選取應考慮以下因素：

（1）指標可以量化，能夠代入模型進行測算、優化。

（2）指標數據便于采集，能夠保證準確性、客觀性。

（3）指標可以全方位顯示學生在課程學習方面的投入、產出，反映學生的學習能力，具有關聯性、合理性。

文章選取了筆者所在學院數學專業某班50名學生作為樣本，以高等代數課程第一學期統一教學的有關數據為指標取樣對象，評價不同學生的學習能力及效率，作為第二學期開始分層次教學分班的依據。結合多年教學經驗，選取表1中投入、產出值作為評價指標，其中高考數學成績（X1）反映了學習基礎，到課率（X3）反映了學生實際課時數。

表1 評價指標體系

3.2 數據分析研究

文章主要選取DEA方法的BCC模型進行測算，借助DEAP2.1軟件，對樣本班級50名學生的有關數據進行測算，結果如表2所列。其中，“--”表示規模收益不變，即增加投入可使產出同比率增加；“irs”表示規模收益遞增，即產出增加的比率將大于投入增加的比率；“drs”表示規模收益遞減，即產出增加的比率將小于投入增加的比率。

表2 數據測算結果

通過測算，所選樣本的技術效率平均值達到0.950，反映此班級總體教學效果良好，其中有19名學生的技術效率值為1，達到了DEA有效。從規模收益變化趨勢看，樣本中有24名學生為規模收益不變，8名學生為規模收益遞減，18名學生為規模收益遞增。從經濟性角度思考，我們可以依據規模收益變化趨勢進行學生分班，即把24名規模收益不變的學生劃分為A班，8名規模收益遞減的學生劃分為B班，18名規模收益遞增的學生劃分為C班。進一步對三個班次教學課時進行優化：

（1）對于A班，除了19名DEA有效的學生之外，還有5名非DEA有效，其技術效率未達到1。利用投影理論對其投入冗余和產出不足進行測算，發現除09號學生存在Y2項20分產出不足外，其余4名學生均不存在產出不足，而09號學生Y2項原始值為40分，有較大提升空間。5名非DEA有效學生均存在投入冗余，但考慮到其規模收益不變，可以放入A班學習，適當提高教學課時有利于挖掘潛能、提高成績。綜上分析，可以讓A班以第一學期的教學強度為標準，綜合考慮不同學期授課內容的增減設置教學課時。

（2）對于B班，8名學生均為非DEA有效，經投影測算發現27號，38號學生除投入冗余外，還存在Y2項產出不足，分別為2.551分和6.335分，即優化投入可以相應提高成績。其余6名學生只存在投入冗余。8名學生經投影優化后的目標值如表3所列。考慮到B班為規模收益遞減，為照顧到絕大多數學生需要，我們挑選優化后滿足80%學生學習需求的X3指標0.967，作為教學課時優化指標。B班教學強度較A班降低3.3%可使此班次效率達到最優，增加學時對提高學生成績不會產生顯著效果。

表3 B班非DEA有效學生投影優化值

（3）對于C班，18名學生技術效率值均小于1，投影測算后，除10號學生存在Y2項產出不足2.5分外，其余學生不存在產出不足，18名學生均存在不同程度的投入冗余，由于本班次為規模收益遞增，學生學習潛能沒有充分挖掘，適當提高教學課時對提高學習成績有顯著影響，兼顧經濟性考慮，C班可以選取優化后X3指標最大值0.988，設置本班教學課時，教學強度較A班降低1.2%可達到效率最優。

綜合以上測算結果，X2優化指標可以作為分層次教學課后輔導自習課設置參考，可以選取班次平均最優課后學習時間作為有任課教師參加的答疑自習課時，這樣可以進一步提高學生課后學習效率，提高教學效果，同時滿足經濟性需求，節約教育資源。

4 結論及展望

文章以某班50名學生為樣本，探析了運用DEA模型輔助開展分層次教學的方法，對各個班次的教學課時進行了優化。研究表明，學生學習效率受多因素影響，不能單一用考試成績來衡量，要將其作為一個多投入多產出的系統來測算和評價。數據包絡分析（DEA）方法可以科學地評價學生學習效率，在對技術有效性判斷的同時，還可以量化改進方向，為高等代數分層次教學提供了可靠、客觀的輔助工具，有利于分層次教學的正確運用。

研究的不足：一是測算樣本只選取了一個教學班次，沒有考慮不同教師教學條件下，學生學習效率的變化。二是學生個體學習能力還受許多不確定因素影響，比如智力、興趣愛好等，測算時將每個學生假設為理性化學習個體，沒有考慮這些因素影響。對于以上不足有待進一步研究深化，使分層次教學更加科學合理。

［1］楊孝平，劉德欽等.本科高等數學分層次教學的深入思考與實踐［J］,大學數學,2003,19(6)：27-31.

［2］母麗華，李焱.大學數學分層次教學的研究與實踐［J］,黑龍江高教研究,2005（,7）：173-174.

［3］裴希山.分層次教學現狀調查研究[J],山西財經大學學報,2008,11（2）：59-62.

［4］杜棟，龐慶華.現代綜合評價方法與案例精選［M］，北京：清華大學出版社，2006.

［5］魏權齡.評價相對有效性的DEA方法［M］.北京：中國人民大學出版社，1988.

（責任編輯 趙巨濤）

G642.0

A

1673-2014（2017）01-0077-03

山西省高等教育質量和水平提升工程的教學項目“《高等代數》課程教學內容與教學方法的改革研究”（J2015111）

2016—10—23

張巧紅（1980— ），女，山西高平人，講師，碩士，主要從事數學教育及群論研究。