高中數學教學中分類討論思想的應用

高愛軍

摘 要：分類討論思想是高中數學一項重要的考查內容。分類討論思想要求在不能用統一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現問題的求解，體現了對數學問題的分析處理能力和解決能力。

關鍵詞：數學；分類討論；應用

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）21-0048-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.21.026

一、分類討論思想的標準

高中數學中，分類討論方法是解決含有參數的復雜數學問題的主要途徑。由于每個數學結論的成立具有特定的條件，每個定理的使用也具有特定的范圍，因此，對于復雜的問題往往不能用統一的形式進行研究。分類討論是按照一定的標準將一個復雜的數學問題分解為等價的若干個相對簡單的子問題，通過對子問題的解答，使得原復雜問題得到解決的方法。分類討論思想的應用難點在于分類的標準。高中數學對分類標準的考查主要有以下幾個方面。

（一）數學性質

數學性質確定的分類標準往往比較直觀，比如討論|a|的值時需要考慮a=0時和a≠0時兩種情況；求y=x+2+x-5+4的值域，零點是x=-2，x=5，所以需要將x=-2和x=5作為分類的標準，把x軸分為（-∞，-2），（-2.5），（5，+∞）三段來求解。這類問題往往比較簡單，不再贅述。

（二）公式定理

在分類討論中經常出現的問題就是不嚴密，所以需要嚴格依照公式和定理中的要求進行分類。常見的有絕對值的定義、底數運算的定義、等比數列求和問題等。比如求解log1-1/x）>1時需要考慮a>1時和當0

（三）題意要求

歷年高考真題經常把分類思想作為“重頭戲”，經常把分類討論的思想與實際應用相結合，考查學生對含參問題中分類標準的應用。這就對學生對分類思想的掌握程度提出了要求。比如設函數y=ax2-2x-2a，x∈（1.3）當y>0時，求a的取值范圍，題目將高中數學知識的多個知識點雜糅進行考查，需要學生認真審題，挖掘題目中的信息，綜合考慮。

二、分類討論思想的應用

在高中數學中，需要應用到分類討論思想最多的是數列、概率和函數。下面將從這三方面進行探討。

（一）在數列中的應用

在求數列問題時常需要用到分類討論思想，常見的有等比數列的求和以及數列周期性的探索問題等。

例如：等比為q的等比數列{an}的前n項和為Sn，（n=1，2，3，4，...）Sn大于0。求q的取值范圍。

綜上所述，q的取值范圍是（-1，0）U（0，+∞）。

（二）在概率中的應用

高中數學概率問題考查的主要是應用分類和題目中的條件求解基本事件個數。

例如：從編號1-18的球中任意抽取三個球，計算抽出的編號可以構成公差為3的公差數列的概率。

分析：這是一個古典型概率問題。基本事件個數為C318=816，等差數列為an=a1+3*（n-1）。從首項a1開始看。

當a1=1時，要想組成等差數列，余項應該從1.4.7.10.13.16中選，一共有{1.4.7}；{4.7.10}；{7.10.13}；{10.13.16}四種可能；

當a1=2時，要想組成等差數列，余項應該從2.5.8.11.14.17中選，一共有{2.，5.8}；{5.8.11}；{8.11.14}；{11.14.17}四種可能；

當a1=3時，要想組成等差數列，余項應該從3.6.9.12.15.18中選，一共有{3.6.9}；{6.9，12}；{9.12.15}；{12.15.18}四種可能；

解：P=（4+4+4）/816=1/68.

（三）在函數中的應用

在解決帶有參數的函數問題中，參數值的變化往往需要重點注意，量變（參數的變化）引起質變（結果的變化）。因此，對參數進行分類討論通常可以簡化問題，從而得到解。

例如：a為何值時，函數y=（a+2）x2a+1+3x+7（x≠0）是一次函數。

分析：已知條件是y=（a+2）x2a+1+3x+7（x≠0）是一次函數（a+2）x2a+1可能是0、常數項或者一次項，對其分類討論可以得到問題的解。

解：當2a+1=1且a+2+3≠0時，即a=0時，y=5x+7是一次函數；

當2a+1=0時，即a=-（1/2）時，y=3x+7是一次函數；

當a+2=0時，即a=-3時，y=3x+7是一次函數。

三、結語

分類討論思想在高中數學的教學中運用得十分廣泛。在教學中不僅能夠幫助學生解答問題，還能夠培養學生的思維能力，讓學生在學習過程中建立起對數學的縝密思維。分類討論思想是需要一定的邏輯性、自主學習能力和分析問題的能力，而這些能力在分類討論思想的學習過程中都能夠得到培養，促進學生綜合能力的提高。使得學生在學習中能夠更加靈活。高中數學的學習對于學生來說是十分重要的，應用分類討論思想能夠幫助學生更好的學習，對學生的后續發展起著關鍵的作用。

參考文獻：

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[ 責任編輯 林娜 ]