基于二維工齡更換的保修服務優(yōu)化研究

李欣玥，高勇民，王維強，司書賓

1.中國華陰兵器試驗中心，陜西 華陰 710054

2.西北工業(yè)大學 機電學院，陜西 西安 710072

保修服務作為引入承制單位優(yōu)質(zhì)技術(shù)力量，是輔助軍方完成新型測試設備深度修理和重大任務專項保障等工作的唯一途徑，其合理性直接決定了能否將承制單位這一地方保障力量最大程度地“嵌入”到裝備維修保障系統(tǒng)當中[1]。隨著軍用裝備技術(shù)復雜程度的逐漸增高，二維非更新保修策略的應用越來越普及。例如，某光測設備載車發(fā)動機的初始保修期限包括日歷時間和使用摩托小時兩個限制條件，根據(jù)保修服務過程中的維修方式可將保修服務分為兩類：第一，修復性維修的保修服務；第二，修復性維修和預防性維修的保修服務[2，3]。在二維保修期內(nèi)若對單元實施預防性維修，則預防性維修間隔期也應是二維的[4，5]。

Huang建立了退化過程服從非奇次泊松過程單元在按比例費用分攤保修策略下的周期性預防性維修貝葉斯決策模型[6]，并利用二元聯(lián)合分布建立可修單元二維保修服務中的定期預防性維修優(yōu)化模型[7]。Chien針對故障率增長單元建立了更新保修服務策略下工齡更換間隔期優(yōu)化模型，研究了不可修產(chǎn)品同時考慮免費更換保修策略和按比例分攤保修策略的解析模型[8，9]，并對不可修產(chǎn)品按比例折扣保修的工齡更換間隔期進行了優(yōu)化[10]，分析了離散時間過程下定期更換策略對保修服務費用的影響[11]。Wu研究了保修服務期內(nèi)考慮老化損失的周期性預防維修優(yōu)化問題[12]。Sana對生產(chǎn)系統(tǒng)的盈利能力進行了研究，允許該系統(tǒng)生產(chǎn)的產(chǎn)品存在一定生產(chǎn)缺陷率，對這些產(chǎn)品進行免費保修服務[13]。Bouguerra對6種維修策略下的延伸保修服務雙贏價格區(qū)間求解問題開展了建模研究[14]。Aggrawal建立了考慮產(chǎn)品銷售周期的保修服務價格模型，在該模型中單元故障壽命服從指數(shù)分布[15]。現(xiàn)有二維保修文獻大多從成組的更換角度出發(fā)并進行保修服務優(yōu)化研究，對工齡更換下的二維保修建模研究較少。當前，基于工齡更換的二維預防性維修間隔期主要根據(jù)專家經(jīng)驗確定，缺少科學的決策依據(jù)。傳統(tǒng)的一維維修間隔期確定方法無法滿足保修服務決策需求，需要對采取二維工齡更換維修的二維保修服務開展建模研究。

1 模型假設

定期更換策略主要包括成組更換策略和工齡更換策略兩類。目前，常用的定期更換策略為一維定期更換策略。但隨著現(xiàn)在裝備單元技術(shù)復雜度越來越高，性能越來越先進，很多裝備單元的故障規(guī)律受多種因素（單元的運行時間、使用時間、行駛里程等）的影響。在對這種裝備進行維修時，若只給出關(guān)于時間的一維定期更換間隔期會忽略其他影響因素對故障規(guī)律的作用，造成維修不及時的情況出現(xiàn)。

二維工齡更換策略是指若單元在使用過程中沒有發(fā)生故障，則按照規(guī)定的二維工齡（日歷時間與使用程度）進行定期更換；如果在規(guī)定的時間（二維工齡間隔期）內(nèi)發(fā)生故障，則對故障單元進行修復性維修，維修后重新開始對工齡進行計時。工齡更換策略相比定期更換策略具有一定的靈活性。若選擇單變量法來描述單元的二維故障規(guī)律，則二維工齡更換過程如圖1所示。

圖1 二維工齡更換策略Fig.1 2D age replacement strategy

設二維初始保修期的時間界限和使用程度界限為WB和UB。使用度和時間之間存在線性關(guān)系，即單元的使用度u和時間t之間的關(guān)系為u=rt，r為使用率。對于不同的設備，r取值不同。設 ，rB=UB/TB。g（r）為使用率r的概率密度函數(shù)。二維工齡更換維修為完善維修，間隔期為（T0，U0）。T0是二維工齡更換維修的時間間隔期，U0是二維工齡更換維修的使用度間隔期。不管先到哪個界限，都會執(zhí)行二維工齡更換維修策略，r0=U0/T0。如果在工齡更換工作之前發(fā)生故障，則進行修復性維修工作，單元修復如新，工齡更換周期重新開始計時。Cp為二維工齡更換維修費用，Cm為修復性維修費用，Cd為單位停機損失。Tp表示單元預防性更換所需時間，Tf表示單元故障更換所需時間。CR（t，T0，U0）表示單元以工齡周期（T0，U0）進行維修時，在t時刻內(nèi)期望保修費用，CR（T0，U0）表示二維非更新保修服務費用。λ（t|r）表示單元在使用率r時的故障率函數(shù)，F(xiàn)（t|r）表示單元在使用率r時的累計故障分布函數(shù)，R（t|r）表示單元在使用率r時的可靠度函數(shù)，其中：

2 模型構(gòu)建

首先，建立單元的工齡更換周期優(yōu)化模型。對單元的進行工齡更換時，根據(jù)保修期和工齡更換周期之間的關(guān)系，可分為r0≤rB和r0＞rB兩種情況。

（1）當r0≤rB時，根據(jù)r的取值有r≤r0，r0＜r≤rB和r＞rB三種子情況。

當r≤r0時，保修期在WB時刻終止。按照二維工齡更換間隔其中的時間間隔期T0進行工齡更換，可進一步分為 0 ＜ WB≤ Tf，Tf＜ WB≤ T0+Tf和 WB＞ T0+Tf三種情況。

（a）當0＜WB≤Tf時，保修期內(nèi)將不進行任何的更換活動，所有的費用為故障后產(chǎn)生的損失，此時單元在保修期WB內(nèi)的期望費用為：

（b）當 Tf＜ WB≤ T0+Tf時，若 t ＜ WB-Tf，則僅進行修復性維修工作，保修費用為：

若WB-Tf＜t≤WB，則不進行修復性維修，保修費用為：

因此，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

（c）當WB＞T0+Tf時，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

當r0＜r≤rB時，保修期在WB時刻終止。按照二維工齡更換間隔其中的使用度間隔期U0進行工齡更換，可進一 步 分 為 ：0 ＜ WB≤ Tf，Tf＜ WB≤ U0/r+Tf，WB＞ U0/r+Tf三種情況。

（a）0＜WB≤Tf時，保修期內(nèi)將不進行任何的更換活動，所有的費用為故障后產(chǎn)生的損失，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

（b）Tf＜ WB≤U0/r +Tf時，若t＜ WB-Tf，則僅進行修復性維修工作，保修費用為：

若WB-Tf＜t ≤WB，則不進行修復性維修，保修費用為：

因此，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

（c）當WB＞UB/r +Tf時，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

當r＞rB時，保修期在UB終止。按照二維工齡更換間隔其中的使用度間隔期U0進行工齡更換，可進一步分為：0 ＜ UB/r≤ Tf，Tf＜ UB/r≤ U0/r +Tf，UB/r＞ U0/r +Tf三種情況。

（a）當0＜UB/r≤Tf時，保修期內(nèi)將不進行任何的更換活動，所有的費用為故障后產(chǎn)生的損失，此時單元在保修期WB內(nèi)的期望費用為：

（b）當 時，若 則僅進行修復性維修工作，保修費用為：

若 ，則不進行修復性維修，保修費用為：

因此，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

（c）當 時，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

綜上所述，當r0≤rB時，考慮工齡更換的二維非更新保修服務費用為：

（2）當r0＞rB時，根據(jù)r的取值有r≤rB，rB＜r≤r0和r＞r0三種子情況。

當r≤rB時，保修期在WB時刻終止。按照二維工齡更換間隔其中的時間間隔期T0進行工齡更換，可進一步分為 0＜WB≤ Tf，Tf＜WB≤ T0+Tf和 WB＞T0+Tf三種情況。

（a）當0＜WB≤Tf時，保修期內(nèi)將不進行任何更換活動，總費用為故障后產(chǎn)生的損失，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

（b）當Tf＜WB≤T0+Tf時，若t＜WB-Tf則僅進行修復性維修工作，保修費用為：

若WB-Tf＜t≤WB，則不進行修復性維修，保修費用為：

因此，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

（c）當WB＞T0+Tf時，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

當rB＜r≤ r0時，保修期在UB終止。按照二維工齡更換間隔其中的時間間隔期T0進行工齡更換，可進一步分為0＜UB/r≤Tf，Tf＜UB/r≤ T0+Tf和UB/r＞T0+Tf三種情況。

（a）當0＜UB/r≤Tf時，保修期內(nèi)將不進行任何的更換活動，所有的費用為故障后產(chǎn)生的損失，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

（b）當Tf＜UB/r≤ T0+Tf時，若t＜UB/r -Tf則僅進行修復性維修工作，保修費用為：

若UB/r-Tf＜t≤UB/r，則不進行修復性維修，保修費用為：

因此，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

（c）當UB/r＞T0+Tf時，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

當r＞r0時，保修期在UB時刻終止。按照二維工齡更換間隔其中的使用度間隔期U0進行工齡更換，可進一步分為 0 ＜ UB/r≤ Tf，Tf＜ UB/r≤ U0/r +Tf和 UB/r＞ U0/r +Tf三種情況。

（a）當0＜UB/r≤Tf時，保修期內(nèi)將不進行任何的更換活動，所有的費用為故障后產(chǎn)生的損失，此時單元在保修期WB內(nèi)的期望費用為：（28）

（b）當Tf＜UB/r≤U0/r +Tf時，若t＜UB/r-Tf則僅進行修復性維修工作，保修費用為：

若WB-Tf＜t≤WB，則不進行修復性維修，保修費用為：

因此，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

（c）當UB/r＞U0/r +Tf時，此時單元在保修期內(nèi)的期望費用為：

綜上所述，當r0＞rB時，考慮工齡更換的二維非更新保修服務費用為：

3 算例分析

以某光測設備載車發(fā)動機為例進行算例分析。設Cp=500元，Cm=1000元，Cd=200元，Tf=18天，Tp=8天。初始保修服務期為（400 天，80×104km）。θ0=5×10-5，θ1=5×10-5，θ2=10×10-5，θ3=10×10-5。假設使用率 r服從均勻分布、正態(tài)分布與威布爾分布。均勻分布的上下限r(nóng)u=3.05，rl=0.05。正態(tài)分布的μ=20000km/年，標準差為σ=1.6，威布爾分布選用兩參數(shù)威布爾分布，尺度參數(shù)m=2，形狀參數(shù)η=2.5。

當使用率r服從均勻分布、正態(tài)分布和威布爾分布時，分別計算每組（T0，U0）所對應保修費用，保修服務費用如圖2所示。可以看出，保修服務費用隨預防性維修時間間隔期T0和預防性維修使用程度間隔期U0的增加先減小再增大，存在最優(yōu)點。

圖2 使用率r不同分布下保修費用Fig.2 Warranty cost when r obeys different distribution

為證明在保修期內(nèi)采取二維工齡更換要優(yōu)于一維工齡更換，在使用率服從不同分布的情況下，截取二維保修費用最優(yōu)時的二維曲線與采取一維工齡更換策略的二維非更新保修費用曲線進行對比，如圖3～圖5所示。從圖中可以看出，保修服務費用隨二維工齡間隔期和一維工齡間隔期變化的趨勢是一樣的，都是隨著間隔期增加，保修服務費用先減少后增加。通過對比可以看出，二維預防性維修相比一維預防性維修可以有效降低保修服務費用。最優(yōu)二維工齡更換維修間隔和最優(yōu)一維工齡更換維修間隔的計算結(jié)果見表1。

圖3 使用率r服從均勻分布下保修服務費用對比Fig. 3 Comparision of warranty cost when r obeys uniform distribution

4 結(jié)論

本文以軍民融合裝備維修保障為背景，結(jié)合裝備實際需求，利用遞歸算法建立了考慮二維工齡更換的非更新保修服務策略模型。根據(jù)保修期和工齡更換周期之間的大小關(guān)系，對模型的兩種情況進行討論，并對模型進行算例分析，結(jié)果表明二維工齡更換策略相比一維工齡更換策略可以有效降低二維非更新保修服務費用。研究成果為二維保修策略的實施提供了理論基礎，為深入推進軍民融合發(fā)展提供了理論支持。本文雖然對更新保修建模進行了探索，但在未來的研究中還需對模型進行進一步的擴展研究：考慮不完善維修，保修過程中單元升級維修等問題。

圖4 使用率r服從正態(tài)分布下保修服務費用對比Fig.4 Comparision of warranty cost when r obeys normal distribution

圖5 使用率r服從威布爾分布下保修服務費用對比Fig.5 Comparision of warranty cost when r obeys Weibull distribution

表1 保修費用最優(yōu)值Table 1 Optimal warranty cost

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