基于數學形態學的自適應余弦擬合隨機共振幅值估計研究

吳尚孺，高寶成

(北京郵電大學 自動化學院，北京 100876)

基于數學形態學的自適應余弦擬合隨機共振幅值估計研究

吳尚孺，高寶成

(北京郵電大學 自動化學院，北京 100876)

針對余弦擬合算法計算量大、準度不高等問題，本文基于數學形態學對頻域進行平滑處理，提出一種對特定頻率峰值擬合的自適應參數調節隨機共振幅值估計算法。首先，利用移頻變尺度線性壓縮隨機共振檢測出特定頻率并利用所得頻率設計出余弦曲線，在此基礎上基于數學形態學對特定頻率進行平滑處理，提出一種以特定頻率的峰值為擬合目標的自適應參數調節方法，從而實現微弱信號的幅值估計。通過仿真數據，證明該算法比余弦擬合算法有效率，精度提升了1.33%。

隨機共振；幅值估計；平均能量；譜峰值擬合

0 引言

自1981年R.Benzi[1-2]等人提出隨機共振（Stochastic Resonance，SR）的概念，SR已被廣泛應用于微弱信號的檢測中。與傳統的去噪方法相比，SR技術不是消除噪聲，而是利用噪聲提高信噪比來檢測微弱信號。由于SR在噪聲背景下檢測弱信號有著一定的優勢，使得隨機共振技術在弱信號檢測成為了一個熱點。目前，隨機共振對微弱信號特定頻率的檢測已經比較完善，主要有二次采樣轉換頻率尺度[3-4]、 EMD模型分解[5-6]和自適應調節參數優化SR模型系統[7-8]等。

然而，為了進一步滿足工程的需求，還需要對微弱信號的幅值的大小進一步研究討論。文獻[9]從還原粒子運動軌跡的角度提出了恢復公式，但是需要對信號還原中存在的畸變點進行處理；文獻[10]避開畸變點的討論，采用余弦擬合對隨機共振信號進行反演擬合，但是噪聲較大或者頻率成分較多時也難以擬合到真實的幅值；文獻[11]采用了基于帶通濾波基礎上的模態分解（EMD），但是會帶來多余的邊際噪聲影響。

本文首先闡述了隨機共振理論原理，并對文獻[10]提到的余弦擬合展開分析，并針對其計算量大、精度不高等問題，提出一種對譜峰值擬合的自適應參數調節隨機共振幅值估計算法。仿真信號證明了該方法的有效性。

1 隨機共振理論與余弦擬合算法

1.1 隨機共振理論

在雙穩態隨機共振系統中，根據非線性郎之萬方程，隨機共振系統方程可以表示為:

其中，s( t)為微弱信號，n( t)為高斯白噪聲信號，E[ n( t)]=0，E[ n( t) n( t-τ)]=2Dσ( τ)n( t)=2Dξ(t)，D為噪聲強度，a和b為系統函數的參數。當輸入信號s( t)+n( t)的能量足夠大時，那么輸入信號將會克服系統勢壘，在兩穩態之間產生躍遷，發生隨機共振。同時，隨機共振還必須滿足小參數模型，也即是微弱信號的特定頻率f0在0.01 Hz附近。

當隨機共振的特定頻率0f不滿足小參數模型時，由文獻[10]提供了一種移頻變尺度（FRSR）的方法。它對頻譜整個頻段進行分段壓縮處理，cf為每段的頻段起點。對于任意特定頻率0f，總能找到合適的線性壓縮比例k，進行變尺度壓縮，使其滿足小參數模型。壓縮公式為：

當輸入信號為單頻時，cf為0，此時壓縮公式為：0/ffk=。因此，對于任意輸入信號，總能運用FRSR算法檢測出它的頻率成分。

1.2 余弦擬合算法

對于任意滿足dirichlet條件的微弱信號()s t，總可以將其展開成傅里葉級數，即

其中，0Ω是()s t的基波頻率，0Ωk是()s t的第k次諧波，0a、ka和kb為各次諧波幅值。

對其變形，能得到如下式子：

余弦擬合算法就是基于這個基礎上實現的。首先利用移頻變尺度檢測出輸入信號的頻率，然后利用所得頻率設計出余弦曲線。假設檢測出特定頻率f1和f2，那么就可以設計出余弦輸入曲線為：

其中β（i）為待估計參數，i=1,2,3,4。

根據最小二乘法原理，殘差平方和Q為

當Q取得最小值時，那么對應的β（i）將會是最優擬合序列。

對于殘差平方和Q的計算不僅繁瑣，而且隨著β（i）的數量的增多，不僅計算量急劇增大，而且擬合的誤差也越來越大。同時，最小二乘法對于異常參數特別敏感，可是隨著信噪比的降低，異常參數出現的概率就越大，擬合偏差也就越大。

2 基于數學形態學的自適應余弦擬合隨機共振幅值估計

為了避開上述問題，本文將不再以殘差平方和Q為目標函數，而是變成以雙穩態系統輸出頻譜的特定頻率的峰值為目標實現對β（i ）的自適應尋優。

2.1 數學形態學對輸入信號進行預處理

對于整個頻段而言，輸入信號中的周期成分能量主要集中于特定頻段。而相對于噪聲而言，輸入信號的周期成分在頻域上的表現更類似于一個位于特定頻率的脈沖信號，因此運用數學形態學對整個頻段中的特定頻段進行平滑處理能有效的“描述”出環境噪聲，從而能很大程度上還原出環境噪聲。本文將以特定頻率0f為中心，fΔ為頻帶帶寬，將形態開—閉和形態閉—開結合使用，從而達到平滑的目的，最大程度上還原出輸入信息中的環境噪聲成分。

圖1是對信號進行形態學處理前后的頻譜對比示意圖。圖中的fΔ為處理信號的頻帶帶寬。通過對比分析，認為經過數學形態學處理后的信號就是原始信號中的環境噪聲。依據這個前提，進一步提出自適應隨機共振余弦擬合幅值估計的算法。

2.2 自適應隨機共振余弦擬合幅值估計算法

當信號滿足小參數模型發生隨機共振，將會在頻域上產生與微弱信號頻率相對應的譜值。譜值反映著輸入信號的幅值變形程度，且它是一個非線性放大的過程。由于頻域上的峰值對于擬合參數β（i ）中的相位并不敏感，因此設計余弦參數時將不再考慮相位。

圖1 數學形態學處理信號頻譜對比圖Fig.1 Mathematical morphology processing signal spectrum comparison chart

因此，以特定頻率上的幅值為擬合目標，本文提出了一種基于數學形態學的自適應余弦擬合隨機共振幅值估計算法。當單頻微弱信號s( t)和噪聲n( t)一起作為隨機共振系統輸入信號s( t)+n( t)時，整個算法如下：

（1）當微弱信號的特征頻率f0已知的情況下，對輸入信號作FFT變換后，記錄下特定頻率f0對應的幅值，用Amp來表示，并在在特定頻率f0的附近選取合適的頻段帶寬（一般5個數據點），對頻域進行數學形態學處理，而其他頻段保持不變。那么可以認為平滑后的頻域信號Nois為本次輸入信號的噪聲信號特征。

（2）結合移頻變尺度線性壓縮算法檢測出特定頻率f0，并利用所得頻率設計出余弦曲線，用s?來表示，那么有s?=A?.sin(2π.f0.t)，其中幅值A?未知，A?也就是本次的調節參數。

（3）通過匹配特定頻率上的幅值尋求最優幅值A?。把設計輸入信號的周期成分s?和平滑后處理得到的環境噪聲Nois作為設計輸入，經過隨機共振系統將會得到一個新的頻段譜峰值amp。通過調節參數進行遍歷，直到滿足amp-Amp≤0.002。記下此時的A?，用A?best來表示。那么則認為t為估計出來的微弱信號s( t)的幅值。

雙穩態系統輸出設計的算法流程圖如圖2所示。它通過所設步長ΔA去遍歷區間（0,Amax）實現匹配尋優過程。其中，預處理信號包括區間（0,Amax）和初始值A0的選定、原始信號經過隨機共振系統的譜峰值Amp和特定頻率0f的獲取、以及對原始信號進行數學形態平滑處理等。當滿足ampAmp≥后，就可以初步得到幅值的合理區間。為了進一步提高精度，通過設定閾值0.002和二分查找迭代次數 去對區間進一步仔細尋優。

圖2 設計算法流程圖Fig.2 Flow chart of design algorithm

3 仿真與分析

本節將對上述算法進行仿真并與余弦擬合法進行對比，對其性能展開分析。

仿真 輸入幅值為0.3，特征頻率為0.01的正弦信號，高斯白噪聲強度為0.5。采樣頻率為2Hz，信號采樣點數為4096。

圖3（a）和（c）為輸入信號經過雙穩態系統發生隨機共振的時頻圖。從圖中能看出，輸入信號發生了明顯的隨機共振現象。這也是本次仿真的充要條件。圖3（b）和（d）為對輸入信號進行數學形態平滑處理的前后頻譜對比圖。本次仿真中特定頻率為0.01，平滑處理時帶寬Δf=0.004。在本次仿真中，設定遍歷區間為（2.5,0.6），初始值A0=0.25，設定閾值為0.005，步長ΔA=0.05，迭代次數n=5。通過6次的仿真得到表格1。從表格1中能明顯得出，本次仿真出來的結果明顯圍繞著理想幅值A=0.3上下波動。對尋優出來的A?進行統計，平均均方差差為Δd =0.0144。

下面與文獻[10]里面提到的余弦擬合算法做一個對比。在本文中，直接采用Matlab自帶的cftool曲線擬合工具箱。對其進行6次仿真，得到表2。

對表2中最優值的擬合值β（0）進行統計，平均均方差差為Δd =0.0184。通過對比，本文的算法比余弦擬合算法平均偏差降低了0.0040。相對于理想幅值0.3，精度提升了1.33%。

圖3 雙穩態系統輸入輸出時頻圖Fig.3 Bistable system input and output time-frequency diagram

表1 自適應余弦法擬合結果Tab.1 Results of adaptive cosine fitting based on mathematical morphology

表2 基于Matlab的余弦擬合結果Tab.2 Results of cosine fitting based on mathlab

4 結論

本文研究了余弦擬合算法對隨機共振幅值反演的過程，分析了余弦擬合算法的不足，提出了以特定頻率的峰值為擬合目標的自適應參數調節方法。為了盡可能還原出環境噪聲，采用了數學形態學對信號進行預處理。該算法物理意義明確，過程簡單。通過仿真數據驗證，該算法比余弦擬合算法精度要高。

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Stochastic Resonance Amplitude Estimation of Adaptive Cosine Fitting Based on Mathematical Morphology

WU Shang-ru, GAO Bao-cheng
(School of Automation, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China)

Aiming at the problem that the cosine fitting algorithm is large and the accuracy is not high, this paper proposes a kind of adaptive parameter adjustment of Stochastic Resonance Amplitude Estimation with fitting specific frequency for the peak frequency based on mathematical morphology. Firstly, the specific frequency is detected by Scale-transformation theory and the cosine curve is designed by using the obtained frequency. With mathematical morphology processing spectrum, an adaptive parameter adjustment method with the peak of a specific frequency as the fitting target is proposed to achieve the amplitude of the weak signal. Through the simulation data, it is proved that the algorithm is more efficient than the cosine fitting algorithm, and the precision is improved by 1.33%.

Stochastic resonance; Amplitude estimation; Cosine fitting; Mathematical morphology; Adaptive parameter adjustment

TH17

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.05.016

吳尚孺，男，(1990-)，北京郵電大學自動化學院碩士研究生，主要從事隨機共振幅值研究仿真工作。

高寶成，男，(1961-)，北京郵電大學自動化學院副教授，主要從事聲信號檢測與處理，計算機測控系統等工作。

本文著錄格式：吳尚孺，高寶成. 基于數學形態學的自適應余弦擬合隨機共振幅值估計研究[J]. 軟件，2017，38（5）：71-74