基于具有加權模糊隸屬函數的神經網絡的混沌時間序列預測

權鵬宇，車文剛，周志元，龍 婧

(1. 昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500；2. 昆明理工大學 云南省計算機技術應用重點實驗室，云南 昆明 650500)

基于具有加權模糊隸屬函數的神經網絡的混沌時間序列預測

權鵬宇1，車文剛2，周志元1，龍 婧1

(1. 昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500；2. 昆明理工大學 云南省計算機技術應用重點實驗室，云南 昆明 650500)

本文提出了以時間延遲坐標嵌入方法為基礎的周期性波動預測模型。此模型使用一種叫作具有加權模糊隸屬函數的神經網絡的神經模糊網絡（NEWFM）。在主要綜合指標的預處理時間序列中使用了時間延遲坐標嵌入方法，并將此序列用作此神經模糊網絡的輸入數據來預測商業周期。以小波變換為基礎使用其他方法進行了對比性研究，并對性能比較進行了主成分分析。使用線性回歸分析來測試預測結果，以比較輸入數據與目標類別，國內生產總值的近似值。另外兩個模型忽略了基于混沌的模型捕捉非線性動態模型和系統中的相互作用。檢驗結果表明基于混沌的方法能夠有效地增強預測能力，因此表明此方法比其他方法具有更優越的性能。

加權模糊隸屬函數；時間坐標嵌入；混沌時間序列預測；模糊神經網絡

0 引言

全球金融網絡的復雜性和維度的不斷增加導致金融市場的不確定性環境正在發生不同尋常的變化，因此很難使用傳統經濟模型來分析這種混沌的金融環境。除了一些新型經濟模型使用了人工智能之外，最近已經開發了一些基于混沌的方法來處理變化的金融環境。

本研究主要關注基于混沌的方法，例如時間延遲坐標嵌入方法，這種方法使用了NEWFM來預測商業周期。早期對混沌時間序列研究的關注點主要是確定在這些系統中是否存在非線性動態行為。然而，最近的研究都在關注應用基于混沌的知識來提高預測的準確性。基于混沌的模型能夠提高短期預測的準確性現在已經達到了廣泛的認可[2]。

使用自互信息和Cao’s函數可以確定時間延遲和嵌入維度的參數，并用這些參數來重構相空間。在主要綜合指標的預處理時間序列中使用了時間延遲坐標嵌入方法，并將此序列用作NEWFM的輸入數據來預測商業周期[23]。使用線性回歸分析對比了具有和不具有基于混沌預處理過程的預測結果，結果表明基于混沌的方法能夠有效地增強預測能力，因此表明此方法比其他方法具有更優越的性能。

1 實驗數據與方法

1.1 數據

經濟指標是經濟分析中的關鍵因素，能夠表示出經濟周期中的轉折點和水平線[24]。特別地，主要綜合指標（LCI）的組成要素是從整體經濟成分中選擇出來的非常敏感而且順應周期變化的指標，并且通常在經濟發生變化之前就會變化。因此，我們選擇的樣本階段能夠合理的評估經濟周期分析的效果。

在本文中，使用了從1991年1月至2006年12月之間的192個LCI要素，包括就業職位求供比率、庫存循環指標、消費期望和收到的機械訂單。這些數據集都來自國家統計辦公室。使用GDP平均增長率來作為類別0和類別1的目標臨界值，GDP代表了國民經濟的總體活動，并將月度GDP數據進行了分類（表1）。

1.2 特征選擇

特征選擇是神經網絡中的非常重要的要素，能夠通過降低維數來提高分類精確度并簡化預測過程。我們使用NEWFM機器選擇方法，也叫做NEWFM的非重疊分布方法（NADM）來降低選擇重要輸入時的維度，同時能夠刪除不重要的輸入（圖1）[25-28]。

NADM選擇特征時使用的標準以非重疊區域為基礎。圖1給出了一種BSWFM（圖5），這種BSWFM由使用LCI要素作為輸入特征的三個加權模糊隸屬函數得到。例如，將LCI的要素之一——收到的機械訂單作為第i個輸入特征時，藍色區域（AiC）代表類別0中更大的模糊值，而紅色區域（Aie）代表類別1中更大的模糊值。如果區域AiC+ Aie很大，并且每個區域都是平均分割的，那么這兩個類別就更容易區分。區域越大，特征就越重要（圖1（b））。第i個輸入特征的非重疊區域分布啟發函數可以通過以下式子計算得到：

表1 使用的經濟指標Tab.1 Used economic indicators

圖1 NEWFM的非重疊區域分布示例Fig.1 Example of non-overlapping area distribution for NEWFM

以特征的重要性為基礎，在通過逐個減少輸入特征進行數次分類實驗之后，使用最佳子集的十個LCI要素結果中減少的七個特征來預測商業周期。

1.3 具有混沌時間序列的商業周期預測方法

我們對全球金融網絡的復雜性和維度的不斷增加導致金融市場的不確定性環境正在發生不同尋常的變化進行了檢驗。在這里，基于混沌的方法集主要關注外生因素本身，基于混沌的模型能夠捕捉非線性動態行為和系統中的相互作用。這種基于混沌的預測方法為我們處理混沌的經濟市場提供了一種新的方法[29]。

由于我們僅僅對標量（或者是單變量）數據集進行了檢驗，因此我們必須對軸線包含時間序列數據集的相空間進行重構，以確定初始動態系統。為了重構相空間，我們估算了嵌入維度和時間延遲的參數，并使用這些參數對相空間進行了重構[1-2]。

使用一些參數對LCI要素的時間序列進行預處理，然后使用這些時間序列作為NEWFM輸入節點中的輸入數據，如圖4所示。

針對不同的經濟環境這七個LCI要素中的每一個都代表不同的信息。進行重復實驗之后，使用NEWFM將這些信息進行整合。圖2給出了商業周期方法的示意圖。

2 混沌時間序列分析和預測商業周期的結果

2.1 混沌時間序列分析與結果

2.1.1 相空間參數的選擇

根據廣泛使用的嵌入式Takens理論，嵌入維度m（m＞2d+1）適合于維度為d的動態系統相空間重構。然而，其他研究者認為嵌入維度m（m＞d）就足夠了[2]。

在眾多計算方法中，我們使用了Cao’s方法[4]，用這種方法能夠有效清楚地區分確定性信號和隨機信號，并通過較少的數據來確定時間序列需要的嵌入維度m。

對于時間延遲選擇方法，我們使用的是互信息方法。通過計算連續點的依賴關系能夠確定合適的延遲時間值。公式定義如下：

其中i是樣本總數，P(Xi,xi+1)是測量值Xi和xi+1的聯合概率密度，P(Xi)和P(xi+1)是Xi和xi+1的邊際概率，最優延遲時間T對應最小的函數I(τ)。

2.1.2 混沌特征的識別

為了識別混沌特征，很多研究中都是用了關聯維度和Lyapunov指數。使用關聯方法能夠估算時間序列的相關維度。如果系統是混沌的，那么相關維度應該是正數。相關子可以使用半徑r和分數維形C(r) ∝ a * rDc來表示，其中a是常數，Dc為：

圖2 商業周期預測方法示意圖Fig.2 Business cycle prediction method diagram

可以使用Lyapunov指數來計算動態系統中相鄰軌跡和混沌程度的指數發散度。其中每一個維度都存在一個指數，如果有一個或多個Lyapunov指數是正數，那么系統就是混沌的。因此，只需要計算最大的Lyapunov指數。第i個Lyapunov指數定義為：

2.1.3 相關參數和系數的計算

使用軟件包TSTOOL可以找到相關參數，并確定時間序列的混沌特征。對于標量輸入信號（圖3（a）），我們嘗試著包含更長的時間階段，并追溯到1971年。將444個時間序列中較長的數據集用做輸入矢量，其中包括樣本階段的192個時間序列，商業周期預測見表1。

第一，嵌入到TSTOOL中的自互信息函數（自互）能夠幫助我們通過使用自互信息函數中的最小值為時間延遲τ找到合適的值。自互信息函數表明在相空間重構過程中x軸對應的延遲時間如圖3（b）所示。

第二，Cao’s方法使用了一個改進的虛臨位方法，并計算了時間序列的嵌入維度m。使用上述時間延遲參數作為輸入數據，可以使用Cao’s方法在x軸上給出一個合適的最小嵌入維度（圖3（c））。圖4（d）給出了使用嵌入維度3和時間延遲1作為輸入信號的時間序列的時間延遲重構。不幸的是，時間序列的長度不足以給出一個合適的吸引子幾何圖線。

第三，圖3（e）給出了關聯總和與半徑的雙對數坐標圖的范圍。輸出，也就是斜率的值達到了2.3040，這是一個非整數分形維度，同時也證明了使用的數據集具有混沌特征。

最后，圖3（f）給出了預測誤差的范圍。使用Lyapunov算法通過預測誤差計算了相鄰軌道距離的平均指數增加量。預測時間導致的預測誤差的增大會產生一個最大的Lyapunov指數。檢驗結果（圖3（f））表明最大的預測誤差大約為+2.2，這個值表示使用的時間序列存在混沌特征。

圖3 TSTOOL的應用結果Fig.3 Application results of TSTOOL

2.2 使用基于NEWFM的時間延遲坐標嵌入來

預測商業周期（混沌-NEWFM）

2.2.1 NEWFM的特征

為了預測未來的時間序列值，我們使用觀測到的時間序列x1, x2, x3, ……, xn來預測混沌時間序列中的相空間[30]，使用當前的狀態Xi可以通過下式來計算未來的狀態Xi+T：

其中T為前置時間。將模糊神經網絡，也就是NEWFM作為整個相空間的近似值。將嵌入相空間矢量Xi作為NEWFM的輸入數據，并且可以表示為：

其中xi為時間ti時的觀測數據，m為嵌入維度，τ為時間延遲。

NEWFM同時具有分類和特征選擇的功能，因此也被稱為NADM。NEWFM包含三個層次，分別為輸入節點（xi）、超盒圖節點（Bi）和分類節點（Ci）（圖4）。可以對隸屬函數的位置和權重進行適應性訓練。經過反復訓練之后，超盒圖節點中的模糊設置會被整合到加權模糊隸屬函數的界限總和中（BSWFM）（圖5）[25]。這些BSWFM都是由三個加權模糊隸屬函數產生的，并且包含類別0和類別1的規則（圖1（a）），可以用作預測的模糊規則。另外，使用NADM可以調取最小的模糊規則，因此可以使用壓縮模式進行最終的商業預測。

將第i個模糊中的BSWFM設定為Bim(x)，那么μib(x)定義為：

LCI要素的預處理時間序列見方程（5），將其用作NEWFM的輸入數據可以預測商業周期。整體的機制，也就是所說的混沌NEWFM，如圖4所示。

2.2.2 使用NEWFM進行分類

將1991年1月至2005年12月之間LCI要素的預處理月度數據作為訓練數據和2006年1月至2006年12月之間的月度數據作為測試數據，具體見表1。使用最小的模糊規則進行預測，例如七個BSWFM中的每一個都包含類別0（谷底）和類別1（峰值）的規則，如圖1（a）所示。

在學習過程中經過3000次重復之后，訓練數據對應的分類率為93.19%，非訓練數據對應的分類率為91.66%。表2給出了最終的分類性能。

3.2.3 去模糊化和商業周期趨勢線

使用BSWFM的預測結果能夠得到商業周期趨勢線，然后使用Sugeno模糊模型對其去模型化[21]。在這里，可以在不消耗時間和進行數學去模糊化操作的條件下對模糊神經網絡的輸出數據進行處理。

圖4 使用時間延遲坐標嵌入的混沌NEWFM結構Fig.4 The use of time delay coordinates embedded in the chaotic NEWFM structure

圖5 3個加權模糊隸屬函數的界限總和（BSWFM，粗線）Fig.5 Boundary Sum of 3 Weighted Fuzzy Membership Functions(BSWFM, Thick line)

表2 NEWFM的分類性能Tab.2 NEWFM classification performance

在IF-THEN規則的模糊推理系統中，Sugeno模糊模型的主要差別就是輸出數據為加權平均值[29]，最終輸出數據z是所有規則輸出數據的加權平均值，可以使用下式計算：

其中，wi為第i個輸出數據的加權平均值，而zi是結果部分中IF-THEN規則的第i個輸出數據。

整合預測結果給出了具有目標分類的相同波動，即GDP。GDP和混沌NEWFM的對比曲線如圖6所示。混沌NEWFM線是根據1991年1月至2005年12月之間的3000次重復所產生的混沌NEWFM模糊規則預測得到的結果。

3 對比研究與結果

對于使用和不使用混沌模型的預測能力對比，我們以小波轉換和主要要素分析為基礎添加了使用相同數據集的其他預測模型。

3.1 使用基于NEWFM的小波轉換方法（小波NEWFM）對商業周期進行預測

小波是指有限時間內的波形，可以通過轉換（時間變換）和縮放來表示信號過程，因此能夠產生小波系數。小波能夠保證信號的低頻要素，也就是近似值，并且能夠檢驗高頻要素，詳細值[33]。因此，我們在分析時間序列時能夠得到短時間內的光滑運動圖線和階段性運動。

可以使用小波函數Ψ（.）對信號的小波轉換，也就是時間序列x（t）進行分析，Ψ（.）定義如下：

其中，Ψ*（.）為基本小波函數，a是縮放參數，n是轉換參數。

圖6 混沌NEWFM的預測結果Fig.6 prediction results of chaos NEWFM

圖7 在水平1上使用Daubechies 4的分解樣本Fig.7 Sample decomposition on level 1 with Daubechies 4

在此，我們使用Daubechies 4，一種廣泛用于不穩定數據集的小波[31-33]。使用MATLAB計算得到的時間序列的分解樣本如圖7所示。

NEWFM的輸入部分是在水平1上使用Daubechies 4分解得到的時間序列的7個合成近似值。不幸的是，使用更加平滑的數據進行的實驗無法實施，因為樣本時間序列的長度不足以進行進一步的分解。使用這些輸入數據對神經網絡進行超過3000次重復訓練，圖9（b）給出了以小波轉換為基礎的商業周期的預測結果。

3.2 基于NEWFM使用主要要素分析（PCANEWFM）預測商業周期

主要要素分析（PCA）能夠將時間序列轉化成新的非相關變量，也叫做使用協方差矩陣的主要要素。PCA結果表明輸出數據由特征值（例如主要元素的變量）、所占比例和總體變量的累積比例，以及每個主要要素的系數組成（表3）。

我們選擇了相同數量的累積特征值為95.4%的 7個要素，這些要素能夠解釋表3和圖8中所有的模型變量。經過3000次重復學習后，將7個要素作為NEWFM輸入數據的預測結果見圖9（c）。

圖8 使用MINITAB計算得到的PCA點連線圖Fig.8 PCA point connection diagram Calculated by MINITAB

表3 使用MINITAB進行的主要要素分析Tab.3 Main factor analysis using MINITAB

表4 分類性能對比Tab.4 Classification performance comparison

表5 線性回歸分析的總結Tab.5 Summary of Linear Regression Analysis

4 預測能力對比和討論

4.1 預測能力對比

表4給出了使用三個輸入部分時通過三種方法得到的NEWFM結果的分類對比。每一個NEWFM都使用1991年1月至2005年12月之間的三個輸入部分進行了3000次重復訓練。分別使用訓練數據（1991年1月至2005年12月）和非訓練數據（2006年1月至2006年12月）進行分類。最終分類結果表明混沌NEWFM的分類率優于其他方法。因此，混沌NEWFM顯示在圖9中的預測趨勢線和GDP之間存在更好的近似值。

為了對比輸入數據作為目標類別預測指標的近似性，我們使用線性回歸分析對每一種方法對應的兩條趨勢線之間的相似性進行了檢驗[17]。表5和表6給出了使用MATLAB進行的線性回歸分析結果。將來自NEWFM、小波和PCA的時間序列處理作為解釋變量，而GDP作為目標變量。使用確定系數R2的混沌NEWFM類似性的程度優于小波NEWFM和PCA-NEWFM（表5）。

確定系數R2代表模型的解釋能力，定義為：

圖9 不同方法預測的時間序列Fig.9 time series predicting in different methods

表6 使用MINITAB進行線性回歸分析的結果Tab.6 The results of linear regression analysis using MINITAB

4.2 預測質量討論

圖9（a）中基于混沌的模型使用時間延遲嵌入方法來捕捉非線性動態模型與相互作用，而忽視了另外兩個模型，盡管模型構建是一個非常復雜的任務。因此，我們能夠確定基于混沌的模型使用的適應性數據適合于系統，在時間序列分析中有很大的優越性。

圖9（b）中小波NEWFM模型使用了Daubechies 4在水平1上分解的預處理數據，表明其性能低于混沌NEWFM。不幸的是，使用更加平滑的數據在超過水平1上進行的進一步實驗無法實施，因為樣本時間序列的長度無法進行進一步的分解。

圖9（c）中PCA-NEWFM使用最新的轉換數據集作為NEWFM的輸入數據，證明了這種方法最不具有優越性。最大變量上噪音的減少是PCA的主要優勢，這可以降低預測質量和存儲的計算需求。然而，這種優勢似乎會對需要敏感性的模式識別能力產生不良影響。

5 結論

本研究探究了使用具有NEWFM的基于混沌的模型，例如時間延遲坐標嵌入模型來預測商業周期。對帶有或不帶有混沌模型的性能進行分析表明混沌NEWFM能夠捕捉非線性動態模型和相互作用，這表明其具有更高的分類精確度。因此可以在預測趨勢線和目標分類GDP之間得到一個更好的近似值，從而確定這種模型是整體經濟情況中較好的預測指標。在混沌經濟的情況下，基于混沌的模型在預測商業周期時能夠提供一個新的角度，從而對維度和復雜度不斷增加的金融市場的混沌特征有一個新的認識，因此可以處理全球經濟面臨的問題。

另外，需要使用足夠長的時間序列來進行進一步的研究，從而提出吸引子的形狀，并對兩種預測模型進行更好的對比。

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Prediction of Chaotic Time Series Based on Neural Networks with Weighted Fuzzy Membership Functions

QUAN Peng-yu1, CHE Wen-gang2, ZHOU Zhi-yuan1, LONG Jing1
(1. School of Information Engineering and Automation, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500, P. R. China; 2. Yunnan Provincial Key Laboratory of Computer Technology Application, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500, P. R. China)

This study presents a forecasting model of cyclical fluctuations of the economy based on the time delay coordinate embedding method. The model uses a neuro-fuzzy network called neural network with weighted fuzzy membership functions (NEWFM). The preprocessed time series of the leading compos- ite index using the time delay coordinate embedding method are used as input data to the NEWFM to forecast the business cycle. A comparative study is conducted using other methods based on wavelet transform and Principal Component Analysis for the performance comparison. The forecasting results are tested using a linear regression analysis to compare the approximation of the input data against the tar- get class, gross domestic product (GDP). The chaos based model captures nonlinear dynamics and interac- tions within the system, which other two models ignore. The test results demonstrated that chaos based method significantly improved the prediction capability, thereby demonstrating superior performance to the other methods.

Weighted fuzzy membership functions; Time delay coordinate embedding; Chaotic time series prediction; Neuro-fuzzy network

TP391.9

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.05.006

權鵬宇(1993-)，男，碩士研究生，主要研究方向：云計算、時間序列分析、模式識別；車文剛(1963-)，男，教授，博士后，主要研究方向：人工智能、模式識別、時間序列分析、計算機應用；龍婧(1991-)，女，碩士研究生，主要研究方向：時間序列分析、模式識別；周志元(1992-)，男，碩士研究生，主要研究方向：時間序列分析、模式識別。

本文著錄格式：權鵬宇，車文剛，周志元，等. 基于具有加權模糊隸屬函數的神經網絡的混沌時間序列預測[J].軟件，2017，38（5）：98-106