引力波背景下的電磁波

曾定方

(北京工業(yè)大學數(shù)理學院,北京 100124)

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電動力學教學論文

引力波背景下的電磁波

曾定方

(北京工業(yè)大學數(shù)理學院,北京 100124)

本文首先介紹了激光干涉引力波探測實驗原理教學的時空圖方法，緊接著對引力波背景下一種具有簡單然而非平庸時空輪廓的電磁場的波動方程進行了化簡并求出了其解析解，最后利用所得解對激光干涉引力波探測實驗中測地光子近似的有效性進行了定量的評估和分析。我們的結果對激光干涉引力波探測原理和彎曲時空中麥克斯韋方程組及電磁波理論的教學有積極的探討價值。

激光干涉引力波探測;彎曲時空背景下的麥氏方程組;電磁波

1 引論

激光干涉引力波探測研究組(英文簡稱LIGO)對引力波事件GW20150914及后續(xù)事件觀測結果[1,2]的公布是2016年最重要的科學事件，這一事件的意義在于，它是人類第一次通過實驗直接證實引力波的存在，也是人類通過實驗第一次觀測到恒星質量黑洞的存在以及雙黑洞的合并過程。由于引力波是愛因斯坦引力理論最早也最重要的理論預言之一，將這一事件稱為Eistein引力理論100年來最重要的進展應該不會過分。

基于引力波探測可能為未來天文和宇宙學觀測提供新渠道的動機，除了LIGO,當前國際上尚有3個引力波探測項目正在被改進執(zhí)行當中，即英德聯(lián)合的GEO600,意法聯(lián)合的VIRGO,日本的KAGRA,而我們國內中山大學的“天琴計劃”和中科院的“太極計劃”也已進入籌劃/實施準備。在2016年，引力波探測似乎一下子成了我們國家的大科學發(fā)展戰(zhàn)略核心。

在交流中我們察覺，和我們自己剛剛接觸這個問題時的狀態(tài)相似，我們的很多同行，包括引力和相對論天體物理研究領域的同學和老師對激光干涉引力波探測儀的工作原理并不十分了解。譬如，一個最容易讓大家疑惑的問題是：既然引力的本質就是時空彎曲，那么處在引力波波場中的探測儀兩臂和在臂上傳播的光波波長就應該同步伸縮，這意味著干涉儀任意單臂上光波的光程應該是個常數(shù)，兩臂上光波的光程差怎么會隨著引力波的振蕩而變化呢？這是一個非常自然而且尖銳的問題，它觸到了激光干涉引力波探測實驗的基本原理。但在當前充斥于市面的大量引力波介紹文獻中，我們沒有看到對這一問題的準確回答。本文第2節(jié)將使用時空圖示法為這一問題的教學給出一個直觀而準確的回答。

本文希望回答的核心問題是，激光干涉引力波探測實驗原理與數(shù)據(jù)分析中被當作常識接受的測地光子近似——即假設干涉儀兩臂上的激光具有確定的波長、頻率定義并沿引力波時空中的測底線運動而不是彎曲時空麥克斯韋方程組所要求的時空依賴波長、頻率以及振幅變化——到底在多高精度上是合理的？這一問題從一開始[3]激光干涉引力波探測實驗原理被提出時起就被假設是合理的，其準確性直到目前為止仍然沒有被定量研究過。雖然正像我們在本文中將要展示的，由于人類在地球上能夠測量到的引力波振幅的量級太小，對這一效應定量影響的忽略具有數(shù)量上的合理性。然而，從概念和教學的角度，對這一問題的定量研究卻是非常必要和有價值的。我們的研究思路是，從線性極化平面引力波時空背景下麥氏方程組的一般形式出發(fā)，假設電磁波沿引力波波矢方向線性極化、垂直于引力波波矢并沿著其振幅最大或最小的方向傳播，從而將電磁勢非零的分量數(shù)降到最少，將其滿足的偏微分方程復雜度降到最低，然后通過對電磁勢時間和空間依賴形式的簡化假設，將偏微分形式的麥氏方程組轉化成一個帶時間參數(shù)的描述電磁勢空間分布特征的常微分方程并通過對該方程的數(shù)值求解得到期望中的電磁場分布及傳播圖像，從而為激光干涉引力波探測實驗中測地光子近似的有效性提供定量評估的依據(jù)。

本文目的是介紹激光干涉引力波探測實驗的基本原理并定量評估該實驗原理中測地光子近似的精確程度。我們假設讀者學習過電動力學和引力波理論的基礎知識，顯然文章內容對加深和擴展電動力學課程內容的教學具有積極的探索價值。文章接下來的兩節(jié)將分別對上述兩段中提出的問題進行詳細的解答并在最后一節(jié)給出簡單的總結。

2 激光干涉引力波探測實驗原理

首先對引力波的概念做一個簡單的介紹。使用電磁類比，引力波可以被理解為空間本身的一種振動，而且振動的等相面會由近及遠地傳播。空間本身振動的意思是說，如果在該空間引入一把固態(tài)尺子，該尺子的物理長度將以某種可測量的方式發(fā)生變化，這種物理長度的變化可能通過另一把不同材料因而具有不同彈性模量的固態(tài)尺子的測量發(fā)現(xiàn)，但最好的方法是通過光在這種尺子兩端走一個來回的時間相對于不含引力波的靜態(tài)時空下同樣過程的時間差異來測量[4]。

時空本身的振蕩或伸縮行為是用度規(guī)衡量的，為直觀起見，設想一束沿 z 軸傳播的單色引力波，它引起的時空振蕩有兩種偏振方式即所謂的+模式和×模式，前者波函數(shù)可寫做

(1)

而后者可寫作

ds2=-dt2+dx2+2hdxdy+dy2+dz2

(2)

現(xiàn)在，讓我們使用時空圖示法來考察激光干涉引力波探測實驗的原理。參考圖1,設想一單色激光光源在坐標原點O處被分成兩束，沿相互垂直的OA,OB兩臂傳播，物理的光速由零質量粒子的測地線方程決定

(5)

顯然坐標光速是依賴于引力波導致的空間振蕩幅度的，

(6)

所以，如果畫出沿著干涉儀兩臂往返傳播的光波波前的世界線，將獲得圖1所示的示意圖。顯然，當引力波穿過干涉儀平面時，干涉儀兩臂OA,OB物理長度會隨著時間周期性地變化，但其間光波的物理傳播速度卻不會發(fā)生變化。因此如果有兩束同相激光同時從O出發(fā)沿x,y軸傳播并在A,B處反射后回到O點，則它們的返回時間將存在差異(l表示干涉儀兩臂在引力波不存在時的長度)，

(7)

顯然，同時從O出發(fā)但沿著不同路徑的光不可能同時回到出發(fā)點，而從兩條e臂上同時回到出發(fā)點疊加的光一定不是同時出發(fā)的，因此它們之間必然存在相位差異，而且這種相位差異是依賴于引力波導致的空間伸縮幅度變化的。激光干涉引力波探測實驗正是利用這一原理，將引力波導致的幅度僅為h0～10-21量級的空間伸縮效應轉換成人眼可見的激光干涉條紋，從而實現(xiàn)對引力波的直接觀測和驗證的。

這里介紹的時空圖示法準確而且直觀地解決了本文引論部分提出的典型疑問：即由于引力波會導致電磁波波長和干涉儀臂長的同步變化

沿兩條不同路徑傳播的電磁波為什么仍然出現(xiàn)相位差異并在最終疊加時導致時間依賴的干涉條紋？基于時空圖示法的分析得之，這種相位差異來源于Ex,Ey中表面上看起來相同e-i ωΔt因子，沿著不同路徑傳播的電磁波往返一圈所花費的時間是不同的，參看表達式(7)。從教學的角度看，時空圖示法是電動力學中狹義相對論部分的內容，但它在激光干涉引力波探測這樣的前沿科學研究中竟然可以有如此簡單漂亮的應用。因此如果我們能夠將它適當?shù)匾氡究粕碾妱恿W課堂，對于提升課程的前沿性和時代感顯然具有積極的意義。

3 引力波背景下的電磁波

在上節(jié)對激光干涉引力波探測實驗原理的介紹中，探針電磁波被假設具有確定的波長和頻率，在被引力波導致的彎曲時空中沿測地線運動。可以把這種做法稱作測地光子假設，這種假設從該實驗原理的早期探討[3]直到今天實驗結果被發(fā)布出來，一直都被認為是合理的，原因是現(xiàn)實的可被探測的引力波振幅都是如此小以致它們導致的時空彎曲程度完全不足以引起其中光波波長和頻率的可察覺變化。然而正如在引論中介紹的，類似像這種假設的可靠度有多高？當引力波振幅強到什么量級時會失效？之類的問題卻一直沒有被定量研究過，本節(jié)希望對這一問題給出一份認真的研究。

我們的出發(fā)點是一般彎曲時空背景下的麥克斯韋方程組[5]

方程(10)允許即便在彎曲時空背景下仍然可以,至少是定域地可以引入四矢量勢Aμ表示電磁場，使得場強Fμ ν=Aμ;ν-Aν;μ，而且協(xié)變導數(shù)及散度則可分別計算如下

(14)

引力波是一種彎曲度隨時間變化的彎曲時空，激光干涉引力波探測實驗的原理就是讓激光即電磁波在這種時空背景下沿著兩條互相正交的光路傳播一定距離后相干疊加，通過干涉條紋的時變特征對背景時空的引力波的變化頻率和振幅進行定量的測量。當考察引力波時空背景下光信號的自由傳播時，只需把麥氏方程組右邊的源流矢量Jν設為零，同時將相應的度規(guī)和曲率張量設為(1)及下述形式

此處的曲率張量分量根據(jù)下述定義

作為求解麥氏方程組最簡單的一步，可以驗證上述形式的電磁場場勢函數(shù)自然地滿足洛倫茲規(guī)范條件

(19)

亦即

(20)

(21)

注意到所有下標非y的A場分量都等于零，并將全部非零的曲率和相關聯(lián)絡系數(shù)

代入方程(21),將得到

由于所考慮的電磁波只有Ay分量不為零，而Ay函數(shù)又不依賴于y坐標，所以上述4個分量方程中實際上只有第三個是非平庸的。

(31)

圖2 引力波背景下的電磁波示意圖引力波沿z軸傳播，電磁波沿x軸傳播，沿y軸偏振，這種電磁波具有形如的波函數(shù)

(32)

(34)

完整的電磁波波場可寫為下述形式

(35)

(36)

這意味著將引力波背景下的電磁波看做具有確定頻率和波長的平面波 (ke=ωe)對實驗結果進行分析和解釋可能產生的相對誤差與引力波的振幅有相同的量級，由于實驗中h0=10-21量級，這種誤差確實可以忽略。由于引力輻射的振幅隨著探測器跟源之間距離的縮小按負一次冪增強，因此如果希望在距離地球更近的某處(LIGO探測到的GW150914事件源距離地球10億光年，振幅為10-21量級)發(fā)生類似的雙黑洞合并事件，并且其產生的引力波到達地球上振幅能夠達到10-11的量級，則“更近”的標準就是1光年！

雖然在太陽系附近1光年的范圍內不存在任何其他恒星或雙黑洞系統(tǒng)，但是我們的計算結果式(34)，(35)仍然有價值，其價值一是，它們從概念角度讓我們明確了引力波背景下的電磁波不可能同時具有確定數(shù)值頻率和波數(shù)的事實；價值二是，在高能對撞機實驗中，如果產生引力子，其振幅和頻率將同時達到那樣的量級使得它們跟光子的耦合導致光子不可能同時具有確定頻率和波數(shù)的結果。在理論研究中，存在大量文獻[6-12]將引力子和光子同時處理為具有確定頻率和波數(shù)的基本粒子的做法。根據(jù)本文的討論，這種做法跟廣義相對論實際上是存在明顯沖突的。當前人們尚未對這些沖突進行認真的研究，原因主要在于將引力作用納入微擾量子場論框架的研究并沒有給出實驗上可驗證的理論預言，因此未受到認真關注而非這種做法本身不容置疑。其價值三在于，隨著引力物理人工材料模擬研究的發(fā)展[13-15]，我們也許能夠在看得見的將來設計并制造出合適的人工材料器件，利用其光學特性模擬引力波對電磁波傳播的影響，在那樣的模擬引力波器件中，引力波的振幅可以做到足夠大以致式(34)所體現(xiàn)的電磁波波數(shù)不能為常數(shù)現(xiàn)象可以被直接觀測到。

4 結語

本文討論了兩個問題，第一個是用時空圖方法解釋了激光干涉引力波探測實驗的基本原理，這種方法直觀而準確地消除了很容易困擾學生和研究者的一個關鍵問題：由于引力波會導致干涉儀臂長和激光波長的同步變化，憑什么兩條互相正交光路上的光波在經過反射后匯合時仍然會產生時間依賴的相位差異？我們解釋的核心思想是，這種相位差異不是來自于相位因子e-i ωΔt+i2πΔx/λ的Δx部分，而是來自于Δt部分。時空圖是電動力學狹義相對論教學中的一個重要知識點，我們將它應用到引力波探測這樣的前沿基礎研究的討論中，對于拓寬和加深電動力學課程的教學有重要的探索價值。

本文討論的第二個問題是，引力波背景下的電磁波。文中嚴格地求解了線性、平面、單色引力波背景下沿著引力波導致的空間伸縮幅度最大方向上傳播(主要沿該方向，實際上沿引力波傳播方向電磁波的波矢量也有無法設為零的分量)，與引力波傳播方向和空間申縮幅度最大方向同時正交的方向偏振的電磁波所滿足的麥克斯韋方程組。我們的結果表明，引力波背景下的電磁波不可能同時具有確定的頻率和波數(shù)定義。當頻率取確定值時，波數(shù)會變成一個時空坐標依賴的量；反過來也一樣。我們的研究結果對于定量評估引力波探測實驗中的測地光子近似的準確性有重要的參考價值。我們的研究也有可能對那些將引力子像光子一樣處理，使用微擾量子場論方法計算高能對撞過程引力子效應的研究構成一定程度的挑戰(zhàn)。

本文第一部分的創(chuàng)新點主要在于教學角度，類似的方法在以前的文獻和教科書中從未出現(xiàn)過。本文第二部分從科學研究角度考察具有原創(chuàng)性，據(jù)我們所知，本文是第一個導出引力波背景下特殊電磁波解析解式(34)，(35)的學術論文。

致謝： 本文內容在第16屆全國電動力學研究會上報告過，作者非常感謝以朱傳界、鄧文基、李志兵、周磊、王振林，崔元順，以及鄭漢青等為代表的參會老師對論文各方面內容和問題的點撥和修改建議，同時也非常感謝未參會的羅春榮老師仔細閱讀論文草稿并向會議學術委員會作出的熱情推薦。

[1] The LIGO Scientific Collaboration, the Virgo Collaboration. Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger”, Phys. Rev. Lett. 116(2016) 061102.

[2] LIGO Scientific and Virgo Collaborations. GW151226: Observation of Gravitational Waves from a 22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence, Phys. Rev. Lett. 116(2016) 241103.

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[15] 祝世寧. Curved space time on a photonic chip[R]. 2014全國電動力學研討會(南京)報告.

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ELECTROMAGNETIC WAVES IN THE BACKGROUND OF GRAVITATIONAL WAVES

Zeng Ding-fang

(School of Math and Physics, Beijing University of Technology, Beijing 100124)

This paper covers two topics. The first is the space-time diagrams’ application in the teaching and learning of principles of the laser interferometer gravitation wave observation experiments. The second is the exploration of electromagnetic waves in the background of gravitational wave backgrounds. We provide an exact nontrivial solution to the Maxwell equations in such a curved background and find that such electromagnetic waves could not have exact frequency and wave-number definition simultaneously. That is, if the frequency takes a definite value, then its wave-number becomes space-time coordinate dependent and vice versa. We use this results making quantitative estimation for the geodesic photon approximation in LIGO experiments. Our results is valuable for the teaching and learning of LIGO experimental principle and Maxwell equations under the curved space-time.

gravitational waves; gravitational time delay; laser

2016-12-31

曾定方,男,講師,主要研究方向：String Theoy and M-theory,物理教育，dfzeng@bjut.edu.cn。

曾定方. 引力波背景下的電磁波[J]. 物理與工程，2017，27(3)：76-81.