指數形超聲變幅桿放大理論分析

何 濤，陳錫侯

(1.遵義職業技術學院 機電與信息工程系， 貴州 遵義 563000；2.重慶理工大學 機械檢測技術與裝備教育部工程研究中心， 重慶 400054)

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指數形超聲變幅桿放大理論分析

何 濤1，陳錫侯2

(1.遵義職業技術學院 機電與信息工程系， 貴州 遵義 563000；2.重慶理工大學 機械檢測技術與裝備教育部工程研究中心， 重慶 400054)

采用微元法建立指數形變幅桿的波動方程，分析連續縱振動的兩種邊界條件，結合邊界條件和分離變量法求解指數形變幅桿的波動方程，得到變幅桿在縱向的位移函數關系表達式，進而得到指數形變幅桿的放大倍數。為研究變幅桿幾何尺寸和振動頻率對放大倍數影響，選擇控制變量法對指數形變幅桿的放大倍數進行分析，結果表明：指數形變幅桿放大倍數隨其長度的增大而減小，隨其大小端半徑之比成近似的線性關系，振動頻率等于固有頻率時放大倍數達到最大。

變幅桿；放大倍數；邊界條件；分離變量法

變幅桿是超聲波加工裝置的主要組成部件，其主要作用是把機械振動的質點位移或速度放大，或者將超聲能量集中在較小的面積[1-2]。在工作時，超聲波引起變幅桿內各質點按正弦規律沿超聲的傳遞方向在原地做往復振動，并傳導到工具端面，使工具端面做超聲頻振動[3-4]。文獻[5]應用桿縱向振動四端網絡等效電路，計算了指數形變幅桿負載為純阻與純抗時縱向振動共振頻率方程和放大系數。文獻[6]分析了開斜槽變幅桿的結構，從理論上揭示了斜槽幾何尺寸對變幅桿的諧振頻率和縱彎兩個方向振幅的影響規律，采用有限元動態數值模擬分析得到不同斜槽參數情況下的諧振頻率振幅。本文利用微元法建立指數形形超聲變幅桿的波動方程，通過分離變量法求解波動方程得到超聲變幅桿放大倍數，然后再利用分離變量法放大倍數進行研究，定量分析放大系數與變幅桿長度、大小端半徑比、振動頻率變化的關系。

1 微元法建立波動方程

如圖1所示的指數形變幅桿，以變幅桿左側的中點為坐標原點，以變幅桿軸線為x軸建立直角坐標系，設t時刻在x處的位移為u(x，t)，根據牛頓第二定律建立動力學方程：

σ(x,t)S(x)

(1)

其中：σ(x，t)為x處截面上在t時刻的應力；σ(x+Δx，t)為x+Δx處截面上在t時刻的應力；ρ為材料密度；S(x)為面積函數。

當Δx→0，且在式(1)右端加、減相同項σ(x,t)S(x+Δx) 時,可得：

即

(2)

其中應力

(3)

圖1 指數形變幅桿微元受力

簡諧振動的振動方程為

+ω2u(x,t)=0

(4)

聯立式(2)(4)可得指數形變幅桿的波動方程：

k2u(x,t)=0

(5)

2 求解放大倍數

對于式(5)的超越方程，不能直接使用普通的代數方程進行求解，必須采用分離變量法將原方程拆分成多個更簡單的只含有1個自變量的常微分方程，利用高數知識、級數求解等方法求出各個方程的通解，最后把把這些通解“組裝起來”。分離變量法運用的最重要一個條件就是邊界條件。

2.1 邊界條件

連續縱振動桿件的邊界條件有兩種情況:

其一是端面自由。根據牛頓第三定律可知，端面上所受的軸向力為0。如圖2所示，設兩個端面所受的力和端面位移分別為F1、F2和u1、u2，根據胡克定律建立的方程為：

(6)

其二是端面受力，如圖2所示。設2個端面所受的力和端面位移分別為F1、F2和u1、u2，根據胡克定律建立的方程為：

(7)

圖2 振動受力示意圖

2.2 分離變量法求解放大倍數

如圖1所示的指數形變幅桿，設在x=0處的半徑為R1，在x=l處的直徑為R2，則變幅桿截面的面積函數和半徑函數為：

S(x)=S1e-2βx

(8)

R(x)=R1e-βx

(9)

聯立式(5)(8)(9)可得：

u(x,t)=eβx(Acosk′x+Bsink′x)eiωt

(10)

其中k′=(k2-β2)1/2。時間因子eiωt在討論位移、應力及應變等可以不用寫出來，但在求振動速度的時候必須記住，應變分布表達式為

=βeβx(Acosk′x+Bsink′x)+

eβx(-Ak′sink′x+Bk′cosk′x)

(11)

聯立式邊界條件(6)及式(10)(11)可確定常數：

(12)

并代入式(10)可得質點位移u沿軸向的分布為

(13)

當x=0時，u=u1，由此得放大倍數為

(14)

從式(14)可知：變幅桿放大系數Mp與其長度l、大小端半徑之比N、振動頻率f有關。在實際的應用設計中，為了更好地了解3個變量對放大系數的影響，常常采用控制變量法對變幅桿的放大倍數進行分析。

3 放大倍數研究分析

變幅桿材料的基本要求是:疲勞強度高,聲阻抗率小,易于機械加工；在工作頻率范圍內材料的損耗小；在腐蝕環境下應用時還要求變幅桿的輻射面所用的材料耐腐蝕[7-9]。本文選擇45號鋼材作為變幅桿材料進行放大倍數分析，45號鋼的物理參量如表1所示。

表1 45號鋼的物理參數

從式(14)可知：放大倍數Mp與變幅桿大小端半徑之比N、長度l和振動頻率f有關。為了研究其中一個參量對放大系數的影響，本文采用控制變量法對變幅桿的放大倍數進行研究。

3.1 放大倍數與振動頻率

根據超聲變幅桿放大倍數表達式可知，放大倍數與振動頻率(工作頻率)有關，為了定量研究放大倍數與振動頻率的關系，把變幅桿大小端直徑之比N和長度l設為固定值，分別計算不同振動頻率下變幅桿的放大倍數值。現設變幅桿的長度l為0.15 m，大小端半徑之比為4，振動頻率從8 kHz開始以500 Hz逐漸遞增分別計算放大倍數值，計算結果如表2所示。

表2 放大倍數與振動頻率計算數據

為了能夠直觀反映振動頻率與放大倍數的關系，現對振動頻率和放大系數兩列數據進行擬合，擬合結果如圖3所示。從圖3中可看出：當振動頻率大于固有頻率(f0)時，變幅桿的放大倍數隨振動頻率的增大，放大倍數減小；當振動頻率小于固有頻率(f0)時，變幅桿的放大倍數隨振動頻率的增大，放大倍數增大。

圖3 放大倍數與振動頻率關系

3.2 放大倍數與半徑之比

為了定量研究放大倍數與半徑比的關系，把振動頻率f和長度l設為固定值，分別計算不同半徑之比下變幅桿的放大倍數值。現設變幅桿的長度l為0.15 m，振動頻率為20 kHz，半徑之比從1.1開始以0.2逐漸遞增，分別計算放大倍數值，結果如表3所示。

表3 放大倍數與半徑比計算數據

現對放大倍數和半徑之比進行擬合，擬合結果如圖4所示。從圖中可以看出：放大倍數與半徑之比有近似的線性關系。

圖4 放大倍數與半徑之比

3.3 放大倍數與長度

為了定量研究放大倍數與變幅桿長度的關系，把振動頻率f和半徑之比N設為固定值，分別計算不同長度變幅桿的放大倍數值。現設變幅桿的半徑之比為4，振動頻率f為20 000 Hz，半徑從0.116 m開始以0.002 m逐漸遞增，分別計算放大倍數值，結果如表4所示。

表4 放大倍數與長度計算數據

為了能夠直觀反應放大倍數與變幅桿長度之間的關系，現對表4中的兩組數據進行擬合，擬合結果如圖5所示。從圖中可以看出:當振動頻率f和半徑之比N為固定值時，放大倍數隨變幅桿長度的增加而減小。

圖5 放大倍數與半徑之比關系

4 結論

微元法是從部分到整體的思維方法,是分析、解決物理問題常用的方法。本文首先采用微元法對指數形變幅桿建立波動方程，再利用分離變量法對建立的波動方程進行求解，得到指數形變幅桿的放大倍數表達式，最后采用控制變量法分別研究指數變幅桿長度(l)、大小端半徑之比(N)、振動頻率(f)三個參數對放大倍數的影響。通過計算、擬合可得到3個結論：

1) 指數形變幅桿放大倍數與振動頻率不總是隨振動頻率的增大而增大，也不總是隨振動頻率的增大而減小，而是在振動頻率大于固有頻率(f0)時，放大倍數隨振動頻率的增大而減小，在振動頻率小于固有頻率(f0)時，放大倍數隨振動頻率的增大而增大。

2) 指數形變幅桿放大倍數與其大小端半徑之比成近似的線性關系。

3) 由于振動衰減，指數形變幅桿放大倍數隨變幅桿長度的增加而降低。

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(責任編輯 陳 艷)

Amplitude Theory Analysis of Exponent Ultrasonic Horn

HE Tao1, CHEN Xi-Hou2

(1.Department of Mechanical Electrical & Information Engineering, Zunyi Vocational and Technical College, Zunyi 563000, China； 2.Chongqing Key Laboratory of Time-Grating Sensing and Advanced Testing Technology, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

This paper establishes the wave equation of exponent ultrasonic horn according to the method of micro-element. And it analyzes the two boundary conditions of continuous longitudinal vibration, solves the wave equation of exponent ultrasonic horn according to the boundary condition and the separation variable method and obtains the amplification factor function expression. In order to study amplification factor affected by the geometric size and vibration frequency, the control variable method is used to analyze the magnification of the exponential horn. Reach three conclusions as follows: firstly, the amplification factor decreases with the increase of its length; secondly, the magnification is linearly proportional to radius ratio; thirdly, the magnification reaches the maximum when the vibration frequency is equal to the natural frequency.

horn; amplification factor; boundary condition; separation of variable

2017-03-09

國家自然科學基金資助項目(51675071)

何濤，男，碩士，主要從事精密儀器的研究，E-mail：hetao814185754@163.com； 陳錫侯，男，教授，主要從事精密測量與智能傳感器研究。

何濤，陳錫侯.指數形超聲變幅桿放大理論分析[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(6):90-94.

format：HE Tao, CHEN Xi-Hou.Amplitude Theory Analysis of Exponent Ultrasonic Horn[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(6):90-94.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.06.013

TH113.1

A

1674-8425(2017)06-0090-05