柔性串聯(lián)機(jī)械臂的模糊自適應(yīng)滑模控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

王愛國， 王其東

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車工程系,安徽 蕪湖 241002)

柔性串聯(lián)機(jī)械臂的模糊自適應(yīng)滑模控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

王愛國1,2， 王其東1

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車工程系,安徽 蕪湖 241002)

針對(duì)柔性串聯(lián)機(jī)械臂傳統(tǒng)控制方式的軌跡跟蹤精度存在誤差較大的缺陷,文章提出了一種結(jié)合柔性串聯(lián)機(jī)械臂彈性動(dòng)力學(xué)方程和模糊自適應(yīng)滑模控制(sliding mode control,SMC)的控制方法。采用運(yùn)動(dòng)彈性動(dòng)力學(xué)(kineto-elastic-dynamics,KED)法,結(jié)合系統(tǒng)的約束方程,建立了機(jī)械臂的彈性動(dòng)力學(xué)方程,為系統(tǒng)提供控制對(duì)象模型;將模糊自適應(yīng)算法與SMC控制器相結(jié)合,設(shè)計(jì)出一種新型SMC控制器,并運(yùn)用Lyapunov函數(shù)驗(yàn)證該新型SMC控制器的穩(wěn)定性;基于S-Function函數(shù),建立機(jī)械臂的Matlab/Simulink仿真框圖,對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行仿真分析。結(jié)果表明,模糊自適應(yīng)SMC控制器具有軌跡跟蹤精度高和穩(wěn)態(tài)誤差小的特點(diǎn),驗(yàn)證了新型SMC控制器的有效性。

柔性串聯(lián)機(jī)械臂;彈性動(dòng)力學(xué)方程;模糊自適應(yīng);滑模控制(SMC);Simulink仿真

機(jī)械臂是一種能實(shí)現(xiàn)自動(dòng)定位控制且具有豐富編程方式的多功能機(jī)構(gòu),作為“中國制造2025”戰(zhàn)略的重要研究領(lǐng)域,其在工業(yè)自動(dòng)化生產(chǎn)加工過程中有著重要的地位[1]。柔性串聯(lián)機(jī)械臂是一個(gè)具有非線性、時(shí)變性和強(qiáng)耦合特征的復(fù)雜多輸入多輸出(multiple-input multiple-output,MIMO)系統(tǒng),傳統(tǒng)的控制策略由于穩(wěn)定性差、抗干擾能力弱等因素,使得系統(tǒng)難以達(dá)到有效的控制效果[2]。因此,運(yùn)用新的智能控制策略來提高柔性串聯(lián)機(jī)械臂的控制精度,逐漸成為學(xué)者們關(guān)注的焦點(diǎn)。

滑模控制(sliding mode control,SMC)即滑模變結(jié)構(gòu)控制，響應(yīng)速度快,無需系統(tǒng)在線辯識(shí)、簡單易實(shí)現(xiàn),且具有對(duì)外界參數(shù)攝動(dòng)及擾動(dòng)魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn),在柔性串聯(lián)機(jī)械臂的控制系統(tǒng)中已得到廣泛運(yùn)用[3];文獻(xiàn)[4]以剛性機(jī)械臂為研究對(duì)象,采用新型滑模面和模糊冪次趨近律相結(jié)合的方法,設(shè)計(jì)了一種新型SMC控制器,提高了系統(tǒng)的趨近運(yùn)動(dòng)速度,但所建立的機(jī)械動(dòng)力學(xué)方程不能很好地反映機(jī)械臂的實(shí)際情況;文獻(xiàn)[5]采用絕對(duì)坐標(biāo)法,建立了空間柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型,并研究了機(jī)械臂的控制策略和軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì),機(jī)械臂的殘余振動(dòng)得到了有效抑制,但動(dòng)力學(xué)建模的步驟和參數(shù)整定較復(fù)雜;文獻(xiàn)[6]基于柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人,設(shè)計(jì)了一種前饋補(bǔ)償和模糊滑模相結(jié)合的控制器,并對(duì)其進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析,但沒有討論控制器在非線性因素下的穩(wěn)定性問題;文獻(xiàn)[7]針對(duì)液壓驅(qū)動(dòng)單元的三自由度柔性機(jī)器人,提出了一種基于指數(shù)趨近律的SMC控制算法與模糊控制算法相結(jié)合的控制方式,但控制信號(hào)與機(jī)構(gòu)自由度維數(shù)的關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)。

為改善并提高柔性串聯(lián)機(jī)械臂的軌跡跟蹤精度,本文將模糊自適應(yīng)算法和SMC控制器相結(jié)合,設(shè)計(jì)了一種以二自由度的柔性串聯(lián)機(jī)械臂為研究對(duì)象的控制系統(tǒng),建立了機(jī)械臂的彈性動(dòng)力學(xué)方程和Simulink仿真框圖,并研究了機(jī)械臂在新型控制器下的軌跡跟蹤誤差曲線。

1 建立柔性機(jī)械臂的彈性動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于n自由度的柔性串聯(lián)機(jī)械臂而言,考慮到機(jī)械臂的剛-柔耦合特性、鉸鏈間的摩擦、柔性桿件的變形及外界干擾等因素的影響,其彈性動(dòng)力學(xué)方程由有限單元的裝配方程和系統(tǒng)的約束方程2個(gè)部分組成[8]。

在柔性串聯(lián)機(jī)械臂的彈性動(dòng)力學(xué)方程建模過程中,將剛度小且彈性變形大的桿件等效為彈性單元,剛度大且彈性變形小的構(gòu)件等效為剛性單元,并基于運(yùn)動(dòng)彈性動(dòng)力學(xué)(kineto-elastic-dynamics,KED)法來建立柔性串聯(lián)機(jī)械臂的彈性動(dòng)力學(xué)方程。

將二自由度的柔性串聯(lián)機(jī)械臂作為研究對(duì)象,其結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。建立如圖1所示的坐標(biāo)系A(chǔ)-xy,點(diǎn)O為末端執(zhí)行器的中點(diǎn)；柔性桿AB的長度為l1,質(zhì)量為m1,與x軸正向的夾角為θ1;柔性桿BC的長度為l2,質(zhì)量為m2,與桿AB正向的夾角為θ2。

圖1 二自由度柔性串聯(lián)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡圖

1.1 系統(tǒng)的彈性動(dòng)力學(xué)方程

串聯(lián)機(jī)械臂的柔性桿件以梁單元為研究對(duì)象,在浮點(diǎn)坐標(biāo)系下,運(yùn)用有限元法,可得到梁單元的彈性動(dòng)力學(xué)方程[9]為:

(1)

根據(jù)有限元的疊加原理,結(jié)合轉(zhuǎn)換矩陣R,將局部坐標(biāo)系下的梁單元彈性動(dòng)力學(xué)方程裝配成系統(tǒng)的彈性動(dòng)力學(xué)方程,則

(2)

其中,U為全局廣義坐標(biāo)向量。

為了減少廣義坐標(biāo)的數(shù)量,采用左乘R的轉(zhuǎn)置矩陣RT的方法,代入(1)式可得系統(tǒng)的彈性動(dòng)力學(xué)方程為:

(3)

其中,M為等效質(zhì)量矩陣;C為等效阻尼矩陣;D為等效剛度矩陣;P為等效廣義外力矩陣。

1.2 系統(tǒng)的約束方程

為了更好地建立柔性串聯(lián)機(jī)械臂的彈性動(dòng)力學(xué)方程,盡可能地減少鉸鏈耦合、摩擦和彈性變形對(duì)建模的影響,在得到系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)方程的基礎(chǔ)上,還需要得到剛體約束、彈性約束和動(dòng)力學(xué)約束3個(gè)約束方程[10]。

對(duì)于剛體約束方程,由機(jī)械臂的幾何關(guān)系(見圖1)可得：

(4)

將各矢量投影到坐標(biāo)系A(chǔ)-xy的坐標(biāo)軸,有

(5)

其中,(xA,yA)為點(diǎn)A的坐標(biāo)；(xC,yC)為點(diǎn)C的坐標(biāo)。

對(duì)于彈性約束方程,建立的坐標(biāo)系如圖2所示。圖2中,虛線為機(jī)械臂的實(shí)際位移狀況;A-xy為全局坐標(biāo)系;O′-x′y′為運(yùn)動(dòng)后的局部坐標(biāo)系。

圖2 實(shí)際位移圖

因此,坐標(biāo)系O′-x′y′到坐標(biāo)系A(chǔ)-xy的變換矩陣為:

(6)

點(diǎn)O和點(diǎn)O′在坐標(biāo)系A(chǔ)-xy的坐標(biāo)向量滿足如下關(guān)系:

(7)

其中,(xO′,yO′)為點(diǎn)O′的坐標(biāo),xO′=xO+ΔxO,yO′=yO+ΔyO。點(diǎn)C和點(diǎn)C′在坐標(biāo)系A(chǔ)-xy中的坐標(biāo)向量滿足如下關(guān)系:

(8)

其中,(xC,yC)為點(diǎn)C的坐標(biāo)；(xC′,yC′)為點(diǎn)C′的坐標(biāo)；xC′=xC+ΔxC,yC′=yC+ΔyC′。假設(shè)末端執(zhí)行器在運(yùn)動(dòng)過程中不發(fā)生形變,則執(zhí)行器中點(diǎn)到支鏈端點(diǎn)的長度沒有改變,有

(9)

(9)式化簡可得:

(10)

綜上所述,(6)～(10)式為機(jī)械臂的彈性約束方程。

對(duì)于動(dòng)力學(xué)約束方程,可通過求解剛性串聯(lián)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程來描述,而求解剛性串聯(lián)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程一般采用拉格朗日法進(jìn)行求解,其通用表達(dá)式[11]如下:

(11)

各矩陣的具體參數(shù)如下:

2 控制器的設(shè)計(jì)

2.1 傳統(tǒng)的SMC控制器

SMC從本質(zhì)上看是一種特殊的非線性控制策略,在系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)過程中,不斷地調(diào)整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),迫使系統(tǒng)按照預(yù)定的滑模狀態(tài)軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。設(shè)計(jì)SMC控制器首先需要選擇一個(gè)穩(wěn)定和理想的切換函數(shù)s(x),然后確定一個(gè)控制律u(x)迫使系統(tǒng)在一定特性下沿規(guī)定的軌跡運(yùn)動(dòng),最后運(yùn)用Lyapunov函數(shù)證明SMC控制器的穩(wěn)定性。

傳統(tǒng)的切換函數(shù)定義如下:

(12)

其中,e為系統(tǒng)誤差;C=diag(C1,…,Cn),Ci>0。

常用的一種滑模趨近律是冪次趨近律,其表達(dá)式為:

(13)

其中,k>0;0<α<1。

當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)靠近滑模面時(shí),趨近速度較大,可通過減小α值來降低趨近速度,削弱抖振;當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時(shí),趨近速度較小,可通過增大α值來提高趨近速度,以縮短趨近時(shí)間。

2.2 模糊自適應(yīng)SMC控制器

對(duì)于傳統(tǒng)的SMC控制器,切換函數(shù)中的參數(shù)C和冪次趨近律中的參數(shù)α通常都為特定的常值矩陣和常數(shù)。因此,對(duì)于柔性串聯(lián)機(jī)械臂這種復(fù)雜的非線性系統(tǒng),往往不能達(dá)到預(yù)期理想的控制效果。模糊自適應(yīng)SMC控制器通過模糊自適應(yīng)算法,對(duì)SMC控制器的參數(shù)C和參數(shù)α進(jìn)行在線實(shí)時(shí)修正,以提高系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度。

模糊自適應(yīng)SMC控制器的示意圖如圖3所示。

圖3 模糊自適應(yīng)SMC控制器示意圖

(14)

高斯型隸屬函數(shù)示意圖如圖4所示。

圖4 高斯型隸屬函數(shù)示意圖

表的控制規(guī)律

表的控制規(guī)律

2.3 控制器的穩(wěn)定性分析

(15)

(16)

則

(17)

(18)

其中,KD=diag(Ki),Ki>0；W=diag(ωf1,…,ωfn),|ωfi|≥|ωi|。將(18)式代入(15)式得:

(19)

因此,系統(tǒng)滿足滑動(dòng)模態(tài)的存在條件和到達(dá)條件,新型SMC控制器是穩(wěn)定的。

3 仿真分析

為減少建模誤差對(duì)控制精度的影響,采用Matlab/Simulink建立機(jī)械臂的控制系統(tǒng)框圖,運(yùn)用S-Function函數(shù)編寫機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程和模糊自適應(yīng)滑模控制律,如圖5所示。其中,Sine Wave為期望的運(yùn)動(dòng)軌跡,S-Function為系統(tǒng)的控制律;S-Function1為機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程,Clock為計(jì)時(shí)器。系統(tǒng)運(yùn)行的所有數(shù)據(jù)全部導(dǎo)入工作空間(To Workspace),運(yùn)用繪圖程序得到機(jī)械臂的軌跡跟蹤圖形。

圖5 機(jī)械臂控制系統(tǒng)框圖

機(jī)械臂的位移追蹤誤差和速度追蹤誤差曲線如圖6所示。

由圖6可知,機(jī)械臂在2 s左右出現(xiàn)了一定的抖振現(xiàn)象,這是由于運(yùn)動(dòng)點(diǎn)正處于趨近階段造成的。因模糊自適應(yīng)SMC控制器具有很強(qiáng)的抗干擾能力,隨后機(jī)械臂的位移和速度誤差值處于0點(diǎn)附近,實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡與期望運(yùn)動(dòng)軌跡的重合度較高。

經(jīng)模糊自適應(yīng)SMC控制器處理后的系統(tǒng)輸入曲線如圖7所示,對(duì)機(jī)械臂的輸出力進(jìn)行補(bǔ)償?shù)那€如圖8所示。

圖6 機(jī)械臂位移追蹤誤差和速度追蹤誤差曲線

圖7 控制輸入曲線

圖8 補(bǔ)償曲線

4 結(jié) 論

本文采用KED法建立了柔性機(jī)械臂的彈性動(dòng)力學(xué)方程,為系統(tǒng)的控制仿真提供了控制對(duì)象。基于模糊自適應(yīng)SMC控制器和S-Function函數(shù),建立了機(jī)械臂的Matlab/Simulink仿真框圖。在此基礎(chǔ)上,對(duì)該新型SMC控制器進(jìn)行了仿真分析,結(jié)果表明,模糊自適應(yīng)SMC控制器可以使機(jī)械臂獲得較高的軌跡跟蹤精度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

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(責(zé)任編輯 胡亞敏)

Design of fuzzy-adaptive sliding mode control system for flexible series manipulator

WANG Aiguo1,2, WANG Qidong1

(1.School of Automobile and Traffic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.Dept. of Automotive Engineering， Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering, Wuhu 241002, China)

The conventional controller for flexible series manipulator has a defect that the trajectory tracking error is large. In this paper, a control system based on the elastic dynamic equation and the fuzzy-adaptive sliding mode control(SMC) was designed. Firstly, by using the kineto-elastic-dynamics(KED) method, the elastic dynamic equation of manipulator was established with the constraint equation of system, which was provided for the control system. Secondly, a new sliding mode controller was presented by combining the fuzzy-adaptive algorithm with the sliding mode controller, and the stability of the new sliding mode controller was verified by using the Lyapunov function. Finally, the Matlab/Simulink simulation diagram of manipulator was established based on the S-Function, and the simulation analysis was carried out. The results show that the fuzzy-adaptive sliding mode controller has high precision and small steady-state error, which verifies the effectiveness of the new sliding mode controller.

flexible series manipulator; elastic dynamic equation; fuzzy-adaptive; sliding mode control(SMC); Simulink simulation

2016-12-08；

2017-02-24

安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(KJ2016A138;KJ2017A753);安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃資助項(xiàng)目(皖教秘人(2014)181號(hào)文件)

王愛國(1976-),男,安徽合肥人,合肥工業(yè)大學(xué)博士生,安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授； 王其東(1964-)，男，安徽阜南人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.05.005

TH112

A

1003-5060(2017)05-0601-06