高中生“數學化”能力的內涵與培養建議

【摘 要】高中生“數學化”能力是指高中學段的學生能夠運用已經掌握的數學思想、方法和知識去解決生活中碰到的較簡單的實際問題和邏輯地建構自己的知識結構的能力。具體地，可劃分為橫向數學化、縱向數學化能力兩個層次。主要培養建議有：創設恰當的問題情境，激發學生橫向數學化的熱情；注重數學閱讀能力培養，夯實學生橫向數學化的基礎；加強數學抽象思維的訓練，突破學生橫向數學化的難點；完善學生的CPFS結構，實現知識點的縱向數學化；引領學生繪制知識樹，實現章節知識體系的縱向數學化；倡導數學互動與交流，提升學生縱向數學化層次。

【關鍵詞】數學化能力；橫向數學化；縱向數學化

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）43-0024-04

【作者簡介】卓斌，江蘇省宿遷市中小學教學研究室（江蘇宿遷，223800）教研員，正高級教師，江蘇省特級教師。

《普通高中數學課程標準（實驗）》把“發展學生的數學應用意識”作為其基本理念之一，并指出：“開展數學應用的教學活動符合社會需要，有利于激發學生學習數學的興趣，有利于增強學生的應用意識，有利于擴展學生的視野”，因此“應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力”[1]。無論是發展學生的“數學應用”意識，還是提升學生的“數學建模”素養，其本質都是培養學生把實際問題轉化為數學問題的能力，即培養高中生的“數學化”能力。那么，高中生的“數學化”能力的內涵有哪些？又該怎樣培養高中生的“數學化”能力呢？本文對這兩個問題進行初步探討，期待得到大家的批評指正。

一、對“數學化”能力的理解

1.“數學化”的思想溯源。

“數學化”思想是荷蘭數學教育家漢斯·弗賴登塔爾在他的巨著《作為教育任務的數學》一書中首次提出的。什么是“數學化”呢？弗賴登塔爾認為，人們在觀察，認識和改造客觀世界的過程中，運用數學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織的過程，就叫作數學化。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。他指出：“毫無疑問，學生應當學習數學化；自然先在最低層次，對非數學事物進行數學化以保證數學的應用，接著還應進到下一層次，至少能對數學事物進行局部組織?！盵2]按照弗賴登塔爾教授的觀點，“數學化”應該包含兩個層次：（1）對非數學內容進行數學化，以保證數學的應用性；（2）對數學內容進行局部的組織。

特萊弗斯和哥弗里等人經過進一步研究認為，可在“數學化”過程中區分出水平和垂直兩種成分。其中水平成分是將問題運用數學的方式來陳述，即由現實問題到數學問題的轉化，是把情景問題表述為數學問題的過程。垂直的數學化是運用數學工具著手處理，即在數學范疇內對已經符號化的問題作進一步抽象化處理。這是對弗賴登塔爾的數學化兩個層次學說的新發展。

斯托利亞爾提出數學教學活動三階段模式[3]：（1）“經驗材料的數學組織化”，即借助于觀察、試驗、歸納、類比、概括積累事實材料；（2）“數學材料的邏輯組織化”，由積累的材料中抽象出原始概念和公理體系，并在這些概念和體系的基礎上演繹出理論；（3）“數學理論的應用”即應用理論。其中數學活動的第一和第三兩個階段的重要性并不低于第二階段。這與弗賴登塔爾的“數學化”思想不謀而合，有異曲同工之妙。

2.“數學化”的概念界定。

基于上述研究成果，我們認為高中生的“數學化”能力是指高中學段的學生能夠運用已經掌握的數學思想、方法和知識去解決生活中碰到的較簡單的實際問題和邏輯地建構自己的知識結構的能力。高中生“數學化”能力包括兩個方面，一方面指橫向數學化能力，即高中學生具有數學地解決生活中碰到的較簡單的實際問題的能力；另一方面指縱向數學化能力，即能夠邏輯地組織所學習的數學知識，使之結構化、自動化，逐步完善具有較強遷移力的數學知識結構的能力。一般地，高中生的數學化能力可用下面框圖表示：

二、高中生“數學化”能力的培養建議

1.創設恰當的問題情境，激發學生橫向數學化的熱情。

心理學研究表明：“思維來自于疑問，意向產生于恰當的問題情境”。教師通過精心設計恰當的問題背景，充分利用學生已有的生活經驗，喚醒學生強烈的問題意識，從而使其發現問題、提出問題并積極地解決問題。

【案例1】參觀畫展時，為了保護壁畫，通常要在壁畫前方用垂直于地面的透明玻璃墻與觀眾隔開，應該站在何處欣賞壁畫效果最好呢？與參觀者的身高有關嗎？

如果以觀察壁畫的高度為自變量，以人的身高為參數，并賦予具體數據，可以提出如下數學問題：圖2是小明觀看壁畫的縱截面示意圖，已知壁畫高度AB是2m，壁畫底端與地面的距離BO是1m，玻璃墻與壁畫之間的距離OC是1m.若小明身高為am（0

在教學實踐中，我們主要通過生活問題、相關學科問題以及課題學習等途徑創設問題情境，讓學生體驗運用所學的數學知識解決身邊生活問題的樂趣，感受數學在解決實際問題中的魅力，從而產生“數學有用，數學能用”的數學應用意識，激發橫向數學化的持續熱情。

2.注重數學閱讀能力培養，夯實學生橫向數學化的基礎。

斯托利亞爾認為：“數學教學也就是數學語言的教學?！痹诟呖贾?，數學應用題得分率不理想的一個重要原因就是題目的文字表述偏長，而學生的數學閱讀理解能力較差，不能準確地、完整地弄清題意，不能靈活地實現數學文字語言、符號語言、圖表語言之間的轉換，難以把實際問題轉化為數學問題，這種現象說明培養數學閱讀能力是提高學生橫向數學化能力的重要基礎。

為此，我們可以采用以下措施來培養學生的數學閱讀能力。

（1）培養學生數學閱讀的良好習慣。首先，教師讓學生明白數學閱讀的重要性，讓學生感到通過閱讀能成功地學會一些東西，以此提高學生數學閱讀的自覺性。譬如，高中新教材中增加了很多閱讀材料，教師應合理有效地利用，既可以拓展學生的知識面，又能夠滲透數學文化。其次，指導學生在數學閱讀時，嘗試去欣賞和感受數學語言中蘊涵的簡單美、對稱美、和諧美，或者發現并提出自己的問題，或者嘗試解決所給出的問題，獲得一種閱讀成功的愉悅感。

（2）注重數學教科書的閱讀。數學教科書是數學教材編寫專家在充分考慮學生生理心理特征、教育教學原理、數學學科特點等諸多因素的基礎上精心編寫而成，具有極高的閱讀價值。但是，在數學教學中普遍存在忽視教科書的現象，教師往往在講授內容之后才讓學生翻開課本，做練習，布置課后作業，僅把教科書當成習題集。其實，數學教學大綱中明確地提出，教師必須“指導學生認真閱讀課文”，這是培養學生數學語言表達能力的最重要抓手。

（3）注重多種數學語言互譯的訓練。數學語言包括文字語言、符號語言和圖表語言三種形式，靈活地實現三者之間的轉換，是數學閱讀有別于其他閱讀的最顯著特征。高中新教材尤其注重這三種數學語言之間的切換，例如立體幾何中的每一個公理、定理和性質幾乎均以三種語言的形式出現。此外，還要重視培養學生“說題”的習慣。所謂“說題”，就是讓學生通過閱讀問題所呈現的數學材料，然后分別說出問題的已知條件有哪些？所求的結論是什么？涉及哪些數學知識？擬采用的數學方法和解題思路是什么？說題過程是學生統攬全題，找準問題的要素，剖析關鍵的詞句，探索解題思路，預測解題步驟的過程。同時，也是學生在閱讀的基礎上，形成個人見解的思維過程。我們的教學實踐表明，訓練學生說題，是一條培養學生數學語言轉譯能力的有效途徑。

3.加強數學抽象思維的訓練，突破學生橫向數學化的難點。

數學抽象是指從研究對象中找出事物的數量關系或空間形式而舍棄事物的其他屬性的過程。數學概念大都是一系列實際問題的數學抽象物，數學原理也都是一系列實際結論抽象概括的結果。在教學過程中，我們應該嘗試挖掘蘊涵于數學材料中的抽象過程，增加學生數學抽象的實際體驗，幫助學生突破橫向數學化的難點。

【案例2】“哥尼斯堡七橋問題”。哥尼斯堡城位于普雷格爾河的兩岸，河中有兩個小島，共有七座橋連接小島和兩岸（如圖3），城中居民每到閑暇的日子就喜歡漫游全城，于是有人為了旅游節省時間，就提出如下方案：能否設計一條環游路線方案，從某地出發經過每座橋一次且只經過一次再返回到原地的路線？

著名的數學家歐拉用四個點表示河岸和小島，用七條線段表示七座橋，將其連接（如圖4），把問題的本質表述為：是否存在從某點出發經過每條線段一次且只經過一次又回到原點的回路？

加強高中生抽象思維的培養，一是利用多種情境，充分展示數學抽象概括的思維過程；二是利用題組教學和變式教學，對學生進行數學抽象概括能力的強化訓練。

4.完善學生的CPFS結構，實現知識點的縱向數學化。

南京師范大學的喻平教授把由概念域、概念系、命題域、命題系形成的結構，稱之為“CPFS”結構，并指出：學生的CPFS結構存在個別差異，優良的CPFS結構是完善的認知結構的必要條件，能促進問題的成功解決。[4]我們認為，完善學生的CPFS結構，是培養其局部數學知識縱向數學化能力的一條重要途徑。

【案例3】學完“等差數列”以后，我們提出問題：寫出一個數列{an}是等差數列的充要條件。

通過思考這一個開放性問題，得出以下結論：（1）an+1-an=d（d為常數）；（2）2an+1=an+an+2；（3）an=an+b（a，b為常數）；（4）Sn=an2+bn（a，b為常數）。從而促使等差數列概念的網絡結構在學生頭腦中儲存下來，形成豐滿的概念域和命題域。

【案例4】學完“空間直線和平面”這一單元后，學生普遍感到其中的公理、定理、性質特別多，很瑣碎，易混淆。于是，我們就引導學生對這一單元知識體系進行縱向數學化，通過繪制如圖5所示的結構圖建構線線、線面和面面之間轉化關系，促使學生形成認知結構。

實踐表明，學優生和學困生在數學知識的表征上具有很明顯的差異。學優生頭腦中的知識是按層次排列的，有很清晰的條理性和邏輯性；學困生的則是水平方式排列的，知識顯得比較零散和孤立。因此，教師應幫助學生對所學知識進行縱向數學化，形成一個有層次、有條理的認知結構。

5.引領學生繪制知識樹，實現章節知識體系的縱向數學化。

波利亞認為：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本。”在章節復習時，我們通過引導學生繪制“知識樹”，培養其縱向數學化的能力。所謂“數學知識樹”是借用樹的主干、支干，葉子和果實等形象地表示章節知識結構在學生大腦中生成的圖式。繪制數學知識樹的目的就是引導學生重新閱讀數學教材，重溫做過的數學例習題，能夠把書由厚讀到薄，幫助學生構建完整的、有序的、容易被激活的數學認知結構。

【案例5】以“數列”一章為例。本章知識樹大致有四個層次的知識序列：第一個層次是該章的三個知識主干，即一般數列，等差數列和等比數列；以等差數列這一主干（第二個層次）為例，又包含三個支干，即定義、通項公式和前項和公式；以等差數列前項和公式這一支干（第三個層次）為例，又包含三個公式，即Sn=■，Sn=na1+■d，Sn=an2+bn；第四個層次是指策略性知識，即第三個層次中滲透的數學思想方法，如倒序相加法，方程思想和函數思想。這樣，一棵枝繁葉茂的數列知識樹就牢牢地扎根于學生的腦海中。

6.倡導數學互動與交流，提升學生縱向數學化層次。

在課堂教學和課外輔導中，經常遇到這樣的情形：學生對自己所掌握的數學知識不能準確地表達出來，對自己不懂的地方也提不出明確的問題。我們認為這種現象表明學生不習慣進行數學交流，也不善于數學交流，不能夠邏輯地組織所學習的數學知識，使之結構化、序列化。

我們認為，提升學生縱向數學化層次就是要培養學生的數學交流能力，主要有以下一些具體做法。

（1）恰當地組織課堂討論。課堂討論中，一般由教師給出一個中心議題或實際問題，學生在各自獨立思考的基礎上，以學習小組形式圍繞問題各抒己見、相互交流。實踐表明，課堂討論為師生之間、生生之間的多向交流創設了良好的氛圍，可以極大地激發每個學生的創造性和主動性，常常會收到課前意想不到的教學效果，是各種創新性解法和奇思妙想產生的沃土。我們曾對“點到直線距離公式”的推導開展課堂討論，師生集思廣益，共給出了八種不同的解法，極大地拓展了縱向數學化的層次。

（2）創造“寫數學”的機會。為了促進數學交流，我們創造了很多機會讓學生“寫數學”，即讓學生把他們學習數學的心得體會、反思要點或研究成果通過文字形式表達出來。譬如每一章節內容學習完之后，要求學生列出本章的知識結構網絡，對所學習的數學知識進行縱向數學化；每一次數學作業或數學測驗中的典型的錯題，在講評之后，要求學生訂正整理到“錯題本”上，并反思、剖析出錯原因等。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2012.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1999.

[3]A.A.斯托利亞爾.數學教育學[M].丁爾陞，等，譯.北京：人民教育出版社，1985.

[4]喻平，單墫.數學學習心理的CPFS結構理論[J].數學教育學報，2003（02）.