高中數學求離心率e值的解法初探

王曉云

高中常見的離心率問題無非三種。題型一：求離心率的值；題型二：求離心率的取值范圍；題型三：與離心率有關的其他問題。本文僅處理第一類問題，下面就通過一些具體題目總結常見的解法。

一、定義法

根據新課標課本對于離心率的定義e=■，單解c，單解a，求出e值。

例.1l：x-2y+2=0直線過橢圓■+■=1（a>b>c）的左焦點F1和一個頂點B，則該橢圓的離心率為 。

解：由直線的截距可得c=2，b=1，則a=■，即e=■。

反思：在標準方程的背景下，橢圓的四個頂點及兩個焦點均在坐標軸上，由此與直線的截距具有了對應關系，解題時注意其聯系。

二、齊次式法

根據題設條件，建立基本量a、b、c之間的關系式，利用a2=b2+c2（橢圓）c2=a2+b2或（雙曲線）轉化構造a、c的關系（特別是齊二次式），進而得到關于e的一元方程，從而解出離心率e。

例2：設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2過F3作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 。

解：在等腰直角三角形中，PF2=F1F2即2c=■，

∴c2+2ac-a2=0即e2+2e-1=0

故所求e=■-1。

例3：設F1，F2為橢圓■+■=1（a>b>c）的兩個焦點，P為直線x=■上的一點，若△F1PF2是底角為30°的等腰三角形，則橢圓的離心率是 。

解：設直線x=■與x軸的交點為M，在Rt△PF2M中，PF2=2C，F2M=■-c，由cos60°=■=■解得e=■。

反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若在直角三角形中，常常利用兩邊一角建立三角函數關系式求解。

例4：已知B1，B2為橢圓短軸的兩個端點，F1，F2是橢圓的兩個焦點，若四邊形B1F1B2F2為正方形，則橢圓的離心率為 。

解：如圖，在Rt△B2OF2中得b=c=■a解得e=■。

例5：已知F1、F2是雙曲線■+■=1（a>0，b>c）的兩個焦點，過F2作x軸的垂線交雙曲線于點A、B，連接AF1和BF1，若△ABF1為正三角形，則雙曲線的離心率為 。

解：在Rt△AF1F2中，tan30°=■=■=■

即■c2-2ac-■a2=0。

解得e=■。

反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若三角形具有對稱性常常割其半，在直角三角形中求解。

例6：已知F1、F2是雙曲線■+■=1（a>0，b>c）的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為 。

解：如圖，設MF1的中點為P，連接PF2

在Rt△PF1F2中，F1F2=2c，∠PF1F2=60°

則PF1=c，PF2=■c由雙曲線的定義知■c-c=2a

解得e=■=1+■。

反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若三角形是焦點三角形，常常利用定義建立基本量a、b、c之間的關系式。

例7：已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點，恰好是橢圓■+■=1（a>b>c）的右焦點F，且兩條曲線的交點連線也過焦點F，則橢圓的離心率為 。

解：依題意得■=c，P=■即b2=2ac=a2-c2

故所求e=■-1。

反思：兩種曲線同現求離心率e，要注意利用公有量建立方程組，消元得到基本量a、b、c之間的關系式。

在求解圓錐曲線離心率的值時，建立a、c之間的關系式是解題的關鍵。一定要認真分析題設條件，合理選擇解題方法，把握好圓錐曲線的相關性質，記住一些常見結論，在做題時不斷總結，擇優解題。同時要注意運用數形結合思想、方程思想、轉化化歸等思想在其中的應用。■

（作者單位：甘肅金昌市金川集團有限公司第二高級中學）