時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性綜合研究

楚曉麗+項(xiàng)婷婷

摘 要：時(shí)滯現(xiàn)象廣泛存在于各類工業(yè)系統(tǒng)中，文章對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)分類闡述，從頻域與時(shí)域的角度，將近些年的研究成果與分析方法羅列開來，并詳解處理時(shí)滯依賴與時(shí)滯獨(dú)立的變換方法，并對(duì)穩(wěn)定性的分析進(jìn)行比對(duì)，簡(jiǎn)要的概述了Lurie時(shí)滯系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)的研究情況，最后對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的發(fā)展做了展望。

關(guān)鍵詞：時(shí)滯系統(tǒng)；穩(wěn)定性；時(shí)域法；頻域法；系統(tǒng)變換

中圖分類號(hào)：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2017）19-0080-03

1 概述

在現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)中，時(shí)滯問題廣泛存在，例如通信、傳送、化工過程、冶金過程、環(huán)境、電力系統(tǒng)等都是典型的時(shí)滯系統(tǒng)[1]。而時(shí)滯系統(tǒng)通常使用泛函微分方程描述。時(shí)滯微分方程的形式為：

連續(xù)的時(shí)滯系統(tǒng)是無窮維的，特征方程是超越方程，而且具備無窮多個(gè)特征根，離散的時(shí)滯系統(tǒng)的維數(shù)隨著時(shí)滯的長(zhǎng)度以幾何規(guī)律增加。因此時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)均面臨著諸多困難，在理論與實(shí)際應(yīng)用方面都具有極大挑戰(zhàn)性[2]。

學(xué)者關(guān)注并研究的時(shí)滯系統(tǒng)包括奇異時(shí)滯微分系統(tǒng)、脈沖時(shí)滯微分系統(tǒng)、Lurie時(shí)滯系統(tǒng)、中立型時(shí)滯系統(tǒng)和隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)等幾個(gè)類別。

2 時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的概況

穩(wěn)定性的研究是自控理論的基本問題，也是時(shí)滯系統(tǒng)需要解決的理論基礎(chǔ)問題，早期研究方法為頻域法和時(shí)域法。

2.1 頻域法

頻域法有一定局限性，只能用于時(shí)不變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，因?yàn)樵摲ㄖ饕谏婕疤卣鞲姆植蓟騆yapunov矩陣函數(shù)方程求解。時(shí)滯系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程無窮多解的特點(diǎn)有助于研究系統(tǒng)穩(wěn)定性，具備物理意義強(qiáng)、計(jì)算機(jī)量小的優(yōu)點(diǎn)。

Zhong推導(dǎo)出非周期干擾條件的積分過程[3]，chiasson J

N[4]分析了超越特征方程根的分布情況與穩(wěn)定的條件， Thows

en[5]通過把特征方程變換為非超越方程，得出Routh-Hurwitz型穩(wěn)定性判據(jù)。Watanabe等[6-7]對(duì)有限譜配置分析了穩(wěn)定性問題。胥布工分析了多時(shí)滯線性時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，并得到了判定標(biāo)準(zhǔn)[8]。Zhang J[9]得到了Lyapunov方程的線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定條件，并推導(dǎo)出魯棒性分析的小增益定理間的等價(jià)關(guān)系等。

由于特征方程的原因，頻域法不容易處理參數(shù)時(shí)變或含有不確定項(xiàng)的時(shí)滯系統(tǒng)，而且在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，也不易處理中立型系統(tǒng)、多變量的高維系統(tǒng)和非線性微分系統(tǒng)等。

2.2 時(shí)域法

時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究和控制器設(shè)計(jì)的是時(shí)域方法，主要為Krasovskii-Lyapunov 泛函法、Razumikhin-Lyapunov函數(shù)法及時(shí)滯不等式方法。構(gòu)造Lyapunov泛函或函數(shù)常用riccati方程和LMI工具（線性矩陣不等式），時(shí)滯不等式是解決非線性、變時(shí)滯、無限時(shí)滯等復(fù)雜問題的有效手段。關(guān)于非線性和不確定時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究上，Razumikhin 穩(wěn)定性定理[10]是重要成果。Trinh等[11]基于該結(jié)論對(duì)延時(shí)的非線性擾動(dòng)條件下的線性系統(tǒng)進(jìn)行分析，得到了鎮(zhèn)定結(jié)果。Park[12]變換模型，豐富了Razumikhin 穩(wěn)定性定理。Jankovic[13]對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的系統(tǒng)化Lyapunov-Razumikhin函數(shù)構(gòu)造方法分類整理。

3 處理時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)的變換方法

無論上述何種方式分析穩(wěn)定性，最終都分類為時(shí)滯獨(dú)立或時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性分析，其分類的條件主要為是否依賴于時(shí)滯與時(shí)滯大小的問題。

以單時(shí)滯線性系統(tǒng)為例[1]

時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性條件：在該條件下，系統(tǒng)穩(wěn)定性依賴于滯后時(shí)間d，是否穩(wěn)定也取決于d。時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性條件：在該條件下，對(duì)所有的時(shí)滯d>0，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。該條件與系統(tǒng)滯后時(shí)間的狀態(tài)無關(guān)，適用于不確定滯后時(shí)間和未知滯后時(shí)間的系統(tǒng)穩(wěn)定性研究。但是任意大時(shí)滯的條件下的穩(wěn)定，導(dǎo)致結(jié)果會(huì)很保守，尤其是小時(shí)滯系統(tǒng)。所以在該類系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析研究上需要解決的重點(diǎn)是擴(kuò)大系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)滯上界，盡可能地減少保守性。

3.1 變換一[14]

該變化情況在時(shí)滯性較大的條件下，穩(wěn)定性偏保守。

3.2 變換二[15-17]

將系統(tǒng)變換為中立型系統(tǒng)，對(duì)中立型系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，推導(dǎo)出原系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其重點(diǎn)是要求差分算子穩(wěn)定，即

3.3 變換三[18-20]

3.4 變換四

把系統(tǒng)變換為奇異系統(tǒng)

奇異系統(tǒng)方法由fridman[21]提出，保守性相對(duì)前四種最小。其計(jì)算Krasovskii-Lyapunov泛函沿系統(tǒng)軌線的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一直將x（）、x（t）視為獨(dú)立變量處理。

3.5 其他變換方式

由于前四種變換方式未實(shí)現(xiàn)解決與時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性結(jié)果，仍存在一定的保守性，關(guān)鍵在于沒有很好地處理與時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性問題。所以在改進(jìn)向量積上界的大量研究中， Park[20]提出了向量積不等式：

Moon[19]在此基礎(chǔ)上改進(jìn)并引入了以下不等式，保守性最小：

大量的文獻(xiàn)研究表明：在研究基于線性矩陣不等式的時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)，包括系統(tǒng)與時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性問題及設(shè)計(jì)控制器問題等，最好的辦法是把奇異系統(tǒng)與Moon不等式有效結(jié)合，最大程度上降低保守性。

4 其他時(shí)滯系統(tǒng)的研究情況

4.1 Lurie時(shí)滯系統(tǒng)

作為自控理論中的主要分支，Lurie時(shí)滯系統(tǒng)也得到了廣泛關(guān)注與研究。王聯(lián)[22]建立Lyapunov 泛函，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，推導(dǎo)出時(shí)滯無關(guān)系統(tǒng)本身的絕對(duì)穩(wěn)定性條件。甘作新等[23]改進(jìn)前者思路，分析了多線性系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性。年曉紅[24]關(guān)注Lurie時(shí)滯直接控制系統(tǒng)，并得到了時(shí)滯的穩(wěn)定性條件，楊斌等[25]構(gòu)造Lurie型Lyapunov泛函，研究了矩陣不等式與時(shí)滯問題的相關(guān)結(jié)論。

4.2 隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)

Mao[26]構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，提出了一類不確定隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的基于矩陣范數(shù)的時(shí)滯相關(guān)均方指數(shù)穩(wěn)定性條件。Yue 和Won[27]在Niculescu[28]的基礎(chǔ)上，把確定型時(shí)滯系統(tǒng)與時(shí)滯相關(guān)的成果應(yīng)用到隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究上，提出了基于現(xiàn)行矩陣不等式的時(shí)滯相關(guān)條件。該研究主要問題在于系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界難以確定，僅僅通過預(yù)調(diào)參數(shù)矩陣的方法，并不具備通用性。

5 問題與展望

時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究與控制器設(shè)計(jì)的成果顯著，但也有一些難點(diǎn)需要關(guān)注：部分時(shí)滯系統(tǒng)如何有效的通過LMI工具轉(zhuǎn)化解決，計(jì)算量和保守性此消彼長(zhǎng)的情況困擾研究者，穩(wěn)定性準(zhǔn)則受困于保守性，非線性系統(tǒng)的研究成果沒有線性系統(tǒng)多。

今后時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究將在以下方面深入發(fā)展：部分時(shí)滯系統(tǒng)在進(jìn)行LMI處理時(shí)可以考慮通過多項(xiàng)式優(yōu)化的方法滿足要求。計(jì)算量與保守性的矛盾問題，考慮構(gòu)造參數(shù)依賴的Lyapunov泛函的選取上尋找優(yōu)化方法。穩(wěn)定性的分析可以卡率二次分離原理。非線性的時(shí)滯穩(wěn)定性研究應(yīng)該也會(huì)逐漸豐富。

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