G-度量空間中次相容映象對的公共不動點定理

張倩雯,谷峰

(杭州師范大學數學系,浙江 杭州 310036)

G-度量空間中次相容映象對的公共不動點定理

張倩雯,谷峰

(杭州師范大學數學系,浙江 杭州 310036)

在G-度量空間中,引入了映象對次相容和相對連續的概念,并使用這些概念,證明了幾個新的公共不動點定理.本文結果拓展和改進了之前文獻中一些相關結果.

G-度量空間;相容;次相容;相對連續;次序列連續;公共不動點.

1 引言

文獻[1]引入廣義度量空間的概念,簡稱G-度量空間,它是度量空間的推廣.文獻[2]首次在G-度量空間中研究公共不動點問題.后來,文獻[3]在G-度量空間中引入了映象對弱交換和R-弱交換的概念,并得到了一些公共不動點結果.文獻[4]在G-度量空間中引入了相容映象和(A)型相容映象的概念,證明了幾個公共不動點定理.文獻[5-6]研究了G-度量空間中弱相容映象的一些公共不動點問題.

文獻[7]在度量空間中證明了幾個有關次相容映象和次序列連續映象的公共不動點定理.文獻[8]修正了文獻[7]中的一些錯誤,證明了幾個新結果.受文獻[7]和[8]的啟發,我們在G-度量空間中引入了映象對次相容和相對連續的概念,證明了幾個新的公共不動點定理,將文獻[8]中的結果推廣到G-度量空間中,從而拓展了他們的成果.

在介紹主要結果之前,先給出有關G-度量空間中的一些基本概念.

定義 1.1[1]設X是一個非空集合,X×X×X→R+為一函數,且滿足以下條件:

則稱函數G是X上的一個廣義度量,或簡稱為X上的一個G-度量,并稱(X,G)是一個廣義度量空間,簡稱為G-度量空間.

定義 1.2[1]設(X,G)為一G-度量空間,{xn}為X中的一個序列,X中的點x稱為序列{xn}的極限或稱序列{xn}G-收斂到x,如果

定義 1.3[1]設 (X,G)和 (X′,G′)是兩個 G-度量空間,函數 f:(X,G)→(X′,G′).稱 f在點a∈X 處是 G-連續的,如果對于任意的 ε>0,存在 δ>0使得對任意的 x,y∈X,G(a,x,y)<δ,有G′(f(a),f(x),f(y))<ε.如果 f在 X 上每一點處都是 G-連續的，則稱f在X上是G-連續的.

命題 1.1[1]設(X,G)為一G-度量空間,則函數G(x,y,z)關于這三個變量連續.

命題 1.2[1]設 (X,G)和 (X′,G′)是兩個 G-度量空間,則 f:X → X′在點 x∈X處G-連續當且僅當f在x處是G-序列連續的,即若{xn}G-收斂到x,那么{f(xn)}G-收斂到f(x).

定義 1.4[4]G-度量空間(X,G)中的自映象對f與g稱為是相容的,若對任意的{xn}?X,只要

就有

文獻[9]在度量空間中提出了映象對相對連續的概念.文獻[8]提出了度量空間中映象對次相容和次序列連續的概念.下面把這些概念引入到G-度量空間中.

定義 1.5G-度量空間 (X,G)中的自映象對 f與 g稱為是相對連續的,若對任意的 {xn}?X,只要

就有

定義 1.6G-度量空間 (X,G)中的自映象對 f與 g稱為是次序列連續的,若存在 {xn}?X,使得

則有

注 1.1易知,連續的映象對一定是相對連續的,反之不真.連續或者相對連續的映象對一定是次序列連續的,但是存在次序列連續的映象對既不是相對連續的也不是連續的.反例如下:

例 1.1設X=[0,∞),(X,G)是一個G-度量空間.定義映象f,g:X→X 如下:

由此可見映象對f與g是次序列連續的,但不是相對連續的,也不是連續的.

定義 1.7G-度量空間(X,G)中的自映象對f與g稱為是次相容的,若存在X中的序列 {xn},使得

有

注 1.2易知,相容的映象對一定是次相容的,反之不真.反例如下:

例1.2令X=R,G是X上的任意一個G-度量.定義映象f,g:X→X如下:

這說明映象對f與g是次相容的,且是相對連續的,但不是相容的,也不是連續的.

2 主要結果

是一個下半連續函數,滿足(Ψ1):Ψ(u,u,u,u)>0,?u>0.本文中提及的φ和Ψ都如上所述.

定理 2.1設f,g,h和k是G-度量空間(X,G)中的四個自映象,若映象對(f,h)和(g,k)都是次相容和相對連續的,則

(a)f和h有重合點; (b)g和k有重合點.

此外,如果?x,y∈X,有以下不等式成立

則f,g,h和k有唯一公共不動點.

證明先證f和h有重合點,g和k有重合點.事實上,因映象對(f,h)和(g,k)都是次相容和相對連續的,所以存在{xn},{yn}?X,t,t′∈X,使得

且

因此

即t是f和h的重合點,t′是g和k的重合點.

現在證 t=t′.由 (1)式可得

在上式中令n→∞,并使用φ的下半連續性,可得

若 G(t,t′,t′)>0 則式 (3) 式與 (φ1) 矛盾,因此 G(t,t′,t′)=0,即 t=t′.

再證ft=t.由(1)式可得

在上式中令n→∞,并使用φ的下半連續性,ft=ht以及t=t′,可得

若 G(ft,t,t)>0,則式 (4)與 (φ1)矛盾,因此 G(ft,t,t)=0,即 ft=t.

同理可證gt=t.所以有

即t是映象f,g,h和k的公共不動點.

下證唯一性.假設z是映象f,g,h和k的另一個公共不動點,則由(1)可得

若 G(t,z,z)>0,則 (5)與 (φ1)矛盾,因此 G(t,z,z)=0,即 t=z.

綜上可得，f,g,h和k有唯一的公共不動點.

定理 2.2設 h,k和 {fn}n∈Z+是 G-度量空間 (X,G)中的自映象,若映象對 (fn,h)和(fn+1,k)(?n∈Z+)都是次相容的和相對連續的,則

(a)fn和h有重合點; (b)fn+1和k有重合點.

此外,如果?x,y∈X,有以下不等式成立

則h,k和{fn}n∈Z+有唯一的公共不動點.

證明當n=1時,由定理2.1可得h,k,f1和f2有唯一的公共不動點,設為t.則t是h,k和f1的公共不動點,也是h,k和f2的公共不動點.下證唯一性,

假設h,k和f1有另外一個公共不動點z,且 t≠z,則由 (6)式有

此結論與(φ1)矛盾,所以G(z,t,t)=0,即t=z.因此假設不成立,h,k和f1有唯一公共不動點.

同理可證h,k和f2有唯一公共不動點.

當n=2時,由定理2.1可得h,k,f2和f3有唯一的公共不動點,重復上面的方法可證得h,k和f3有唯一公共不動點.以此重復下去可證得h,k和{fn}n∈Z+有唯一的公共不動點.

定理 2.3令f,g,h和k是G-度量空間(X,G)中的四個自映象,若映象對(f,h)和(g,k)是次相容的和相對連續的,則

(a)f和h有重合點; (b)g和k有重合點.

此外,如果?x,y∈X,有以下不等式成立

則f,g,h和k有唯一的公共不動點.

證明首先(a),(b)的證明與定理2.1相同,即存在{xn},{yn}?X,t,t′∈X,使得(2)式成立,并且 ft=ht,gt′=kt′. 現在證 t=t′. 使用 (7) 式可得

在上式中令n→∞,并注意到Ψ的下半連續性,可得

若 G(t,t′,t′)>0 則 (8) 式與 (Ψ1) 矛盾,因此 G(t,t′,t′)=0,即 t=t′.

再證ft=t.事實上,由(7)式可得

在上式中令n→∞,并注意到Ψ的下半連續性,ft=ht和t=t′,可得

若 G(ft,t,t)>0,則 (9)式與 (Ψ1)矛盾,因此 G(ft,t,t)=0,即 ft=t.

同理可證gt=t.所以有

即t是映象f,g,h和k的公共不動點.

下證唯一性.假設f,g,h和k有另一個有公共不動點z,則由(7)式可得

若 G(t,z,z)>0,則 (10)式與 (Ψ1)矛盾,因此 G(t,z,z)=0,即 t=z.

綜上可得,f,g,h和k有唯一公共不動點.

定理 2.4令f,g,h和k是G-度量空間(X,G)中的四個自映象,若映象對(f,h)和(g,k)是次相容的和相對連續的,則

(a)f和h有重合點; (b)g和k有重合點.

此外,如果存在下半連續函數 Φ:[0,∞)→ [0,∞),滿足 Φ(t)=0當且僅當 t=0,且?x,y∈X,有

其中a,b:[0,∞)→[0,1)是兩個下半連續函數,且滿足條件

則f,g,h和k有唯一的公共不動點.

證明首先,與定理2.1相應部分的證明完全相同,可證存在{xn},{yn}?X,t,t′∈X,使得(2)式成立，并且

現在證 t=t′.否則,使用 (11)式可得

在上式中令n→∞,并使用函數Φ,a,和b的性質可得,

此為矛盾,所以 t=t′.

再證 ft=t,假設 ft≠t,則由 (11)式可得

在上式中令n→∞,并考慮到函數Φ,a,和b的性質以及ft=ht,可得

矛盾,故ft=t.

同理可證gt=t.所以有

即t是映象f,g,h和k的公共不動點.

下證唯一性.假設f,g,h和k有另一個公共不動點z,且t≠z,則G(t,z,z)>0.由(11)式可得

由t和z都是f,g,h和k的公共不動點,可得

矛盾,所以t=z.

綜上可得f,g,h和k有唯一的公共不動點.

注 2.1將定理2.4中的(11)式換成以下不等式,結論也是成立的.

注 2.2在本文的所有定理和推論中,將條件中的次相容和相對連續分別換為相容和次序列連續,結論依然成立.

注 2.3在定理2.1、定理2.3和定理2.4中,如果取:

可以得到一些新的不動點和公共不動點定理,此處略去.

參考文獻

[1]Mustafa Z,Sims B.A new approach to a generalized metric spaces[J].J.Nonlinear Convex Anal.,2006,7(2):289-297.

[2]Abbas M,Rhoades B E.Common fi xed point results for noncommuting mappings without continuity in generalized metric spaces[J].Appl.Mathe.Comput.,2009,215(1):262-269.

[3]Manro S,Bhatia S,Kumar S.Expansion mapping theorems in G-metric spaces[J].Int.J.Contemp.Math.Sciences,2010,5(51):2529-2535.

[4]Vats R K,Kumar S,Sihag V.Some common fi xed point theorems for compatible mappings of type(A)in complete G-metric spaces[J].Advances in Fuzzy Mathematics,2011,6(1):27-28.

[5]Popa V,Patricin A M.A general fi xed point theorem for pairs of weakly compatible mappings in G-metric spaces[J].J.Nonlinear Sci.Appl.,2012,5(2):151-160.

[6]Mustafa Z.Common fi xed points of weakly compatible mappings in G-metric spaces[J].Appl.Math.Sci.(Ruse),2012,6(89-92):4589-4600.

[7]Bouhadjera H,Godet-Thobie C.Common fi xed point theorems for pairs of subcompatible maps[J].17 June 2009.arXiv:0906.3159v1[math.FA].

[8]Imdad M,Ali J,Tanveer M.Remarks on some recent metrical common fi xed point theorems[J].Appl.Math.Lett.,2011,24(7):1165-1169.

[9]Pant P.A common fi xed point theorem under a new condition[J].Indian J.Pure Appl.Math.,1999,30(2):147-152.

Common fi xed point theorems for pairs of subcompatible maps in G-metric spaces

Zhang Qianwen,Gu Feng
(Department of Mathematics,Hangzhou Normal University,Hangzhou 310036,China)

In the framework of a G-metric spaces,we introduce notion of subcompatibility and reciprocally continuous,we prove some new fi xed point theorems using subcompatible and reciprocally continuous The results obtained in this paper extend and improve some well-known comparable results in the literature.

G-metric space,compatible,subcompatible,reciprocally continuous,subsequentially continuous,common fi xed point.

O177.91

A

1008-5513(2017)03-0298-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.009

2017-03-31.

國家自然科學基金(11071169);浙江省自然科學基金(Y6110287).

張倩雯(1993-),碩士生,研究方向：應用非線性分析.

谷峰(1960-),教授,研究方向：應用非線性分析.

2010 MSC:47H10,54H25,55M20