豪斯道夫微積分和分數階微積分模型的分形分析

摘要： 清晰解讀豪斯道夫微積分和分數階微積分階數的分形維意義，并比較這2種微積分建模方法的區別與聯系.這是首次清晰定量地導出分數階微積分的分形幾何基礎.提供豪斯道夫導數模型描述歷史依賴過程的幾何解釋，即初始時刻依賴性問題，并與分數階導數模型對比.基于本文作者的早期工作，詳細描述非歐幾里得距離的豪斯道夫分形距離定義——豪斯道夫導數擴散方程的基本解就是基于該豪斯道夫分形距離.該基本解實質上就是目前廣泛使用的伸展高斯分布和伸展指數衰減統計模型.

關鍵詞： 豪斯道夫導數； 豪斯道夫微積分； 分數階微積分； 非歐幾里得距離； 結構距離； 豪斯道夫分形距離； 基本解

中圖分類號： O39； O241.8

文獻標志碼： A

0 引 言

分形幾何[1]在科學與工程中廣泛而深入的應用需要相應的微積分建模工具.20世紀80年代發展起來的分形分析方法[2]是這方面的理論嘗試，但其數學表達復雜，難以用于實際問題的建模.近年來非常流行的分數階微積分方法與分形幾何的內在聯系，理論上研究得還不是很清楚，尤其是有關的定量分析不成熟.[34]

本文作者[5]引入了豪斯道夫分形導數，近年來已成功用于水利學、蠕變、松弛、核磁共振、反常擴散、經濟學等問題[611].豪斯道夫導數的基本概念數學上非常簡單，是一個局部算子，比非局部的分數階導數計算量大幅度減少.從豪斯道夫導數擴散方程能夠直接推出目前廣泛使用的伸展高斯分布和伸展指數衰減，后者也被稱為非德拜衰減、伸展松弛或KohlrauschWilliamsWatts（KWW） stretched Gaussian，其統計力學基礎非常清晰，與分數階導數的列維分布和MittagLeffler函數（本文簡稱ML）衰減的統計背景完全不同.[12]

最近的研究發現豪斯道夫導數與俄羅斯TARASOV[13]和美國LI等[14]學者分別提出的分形導數方法實質上是等價的[15]，但他們的研究基本圍繞著空間分數階導數展開.目前，豪斯道夫分形導數方法的研究和應用還很不成熟，主要問題有：（1）豪斯道夫導數與分數階導數的區別與聯系缺乏深入的分析；（2）豪斯道夫微積分的數學基礎理論還不是很清楚.

對以上所提的幾個問題，本文嘗試做一些探索研究.第1節引入豪斯道夫分形距離的概念，基于豪斯道夫分形距離給出豪斯道夫導數微分方程的基本解，建立豪斯道夫導數方法的非歐幾里得距離理論；第2節從基本定義出發，分析豪斯道夫與分數階微積分的區別與聯系及其分形幾何基礎；第3節從幾何坐標源點依賴性、歷史依賴和非局部性等問題出發，解釋豪斯道夫導數模型的物理意義；最后，第4節討論若干有待研究解決的問題.

1 豪斯道夫分形距離和豪斯道夫導數擴散方程的基本解

引入一維空間和時間的豪斯道夫分形時空距離[5]

式中：α為時間分形維；β為一維空間的分形維.很明顯，式（1）定義的非歐幾里得距離是基于分形不變形性和分形等價性的2個假設得到的.[5]BALANKIN等[10]進一步給出一般的三維分形距離，豪斯道夫分形距離是其中一個特例.

式中：β是三維各向同性空間的分形維.當β=1時，式（2）的豪斯道夫分形空間距離回歸到經典的3維歐幾里得距離.如果設定初始時間t0=0，一維問題源點坐標xj=0，那么豪斯道夫分形距離定義式（2）簡化為式（1）.

豪斯道夫導數[5]定義為

文獻[5]給出一維問題豪斯道夫導數擴散過程的基本解.三維豪斯道夫導數擴散方程為

式中：H為亥維賽階躍函數.[5]式（5）的右邊指數項就是科學與工程中廣泛應用的伸展高斯分布.由式（5）可知，豪斯道夫導數擴散方程式（4）的基本解刻畫伸展高斯分布對應的統計擴散過程.伸展高斯分布概率密度函數是擴散基本解的核函數.當α=β=1時，式（5）的豪斯道夫分形距離基本解回歸到經典的整數階歐幾里得距離擴散方程基本解[16]，描述經典菲克擴散（正常擴散）過程粒子運動的高斯分布特征.

下面本文考慮僅含有時間豪斯道夫導數的擴散方程

這里的常數C由初始條件確定.式（7）就是文獻中經常出現的伸展指數衰減.當α=1時，豪斯道夫導數模型解就退化為經典整數階擴散方程的德拜指數衰減.

可以證明，豪斯道夫導數拉普拉斯方程、波方程、Helmholtz方程、對流擴散方程等也滿足豪斯道夫分形距離基本解.本文不再詳細討論.

此外，用結構函數[17]替代式（1）和（2）豪斯道夫分形距離定義中的冪函數，就得到刻畫非冪律函數的一般分形（結構形）[18]的結構距離.

式中：G和Q分別為時間和空間結構導數中的結構函數.BALANKIN等[10]的分形距離定義實際上也包括式（8）的定義.運用以上結構距離就能直接得到局部結構導數擴散方程的基本解.

2 豪斯道夫微積分與分數階微積分及其與分形的內在聯系

為不失一般性，考慮一個顆粒等速沿一維曲線按分形時間運動[19]，運動距離與時間的關系式為

式中：l為距離；v為均勻速度；τ為當前時間；t0為初始時刻；α為時間分形維.如果速度不均勻，則相應的豪斯道夫積分為

由式（10）可以得到相應的豪斯道夫導數表達式

比較式（3）和式（11）這2個豪斯道夫導數定義，注意到其唯一的差別就是后者包含初始時間而前者假設初始時間為0，因而后者是更加一般的表達.

式（9）所表達的顆粒運動在τ時刻的位置也可由式（12）計算.

式中：t為終點時間.式（12）右邊第一項是顆?？偟倪\動距離，第二項代表從τ時刻到終點時刻t要運動的距離.如果不是等速運動，對式（12）做τ變量的一階微分運算，有

式中：Г為歐拉伽馬函數，是一個歸一化常數.不考慮式（15）積分號前面的這個歸一化常數，則式（15）和（14）完全等價.此外，經典的RiemannLiouville分數階導數的定義可以很容易地由分數階積分式（15）對變量t求導數獲得.

根據以上分析可知豪斯道夫微積分和分數階微積分與分形維數有內在的定量本質聯系，即時間豪斯道夫微積分和分數階微積分的階數就是研究對象的時間分形維數α.

從時間分形的角度分析，豪斯道夫微積分和分數階微積分是相反的過程，前者從初始時刻逐步推進，而后者是由結束時刻反向遞推.從時間歷程分析看，兩者有某種反向對應關系.

另一方面，豪斯道夫微積分是一個局部算子，分數階微積分是非局部算子，因此即使兩者都是用來描述分形過程的，對應的統計過程也完全不一樣，是2個不同的微積分算子.此外，豪斯道夫導數方程的幾何基礎是非歐幾里得的豪斯道夫分形距離，而分數階微積分的幾何基礎仍然為歐幾里得距離.兩者的統計力學背景也完全不同，豪斯道夫導數擴散方程模型描述伸展高斯分布和伸展指數衰減的擴散[5，12]，而分數階導數擴散方程刻畫列維穩態分布[21]和ML衰減的擴散[12，22].指數衰減、伸展指數松弛與ML衰減的比較見圖1.

由圖1可見，經典的整數階擴散模型對應的指數衰減最快，被認為沒有記憶和歷史依賴性，分數階導數對應的ML衰減最慢，豪斯道夫導數模型對應的伸展松弛衰減介于兩者之間.

空間豪斯道夫微積分與分形的內在聯系可用類似方法分析.考慮一個分形維為β的桿的縱向振動，由牛頓第二定律有

式中：x0為桿的一個端點坐標（一般可設置為0），桿長方向為x軸坐標；u為桿變形位移；dx為桿的一個微段長度；dm為相應桿微段的質量；P為單位面積沿x軸方向所受的彈性力；S為桿的截面面積.若ρ為桿的密度，則有

根據胡克定律，彈性力P與應變成正比

3 幾何物理解釋

分數階微積分是非局部算子，因而與經典的整數階算子相比最顯著的特征就是能夠描述空間非局部和歷史依賴（記憶）問題.局部的豪斯道夫導數也能夠描述非高斯非馬爾科夫過程，盡管這兩種算子的描述有本質的區別，但作為局部算子，為何豪斯道夫導數模型能夠描述非局部行為是一個重要的基礎問題呢.

歷史依賴過程或記憶問題，在某種程度上就是初始時刻依賴.注意式（2）中的初始時刻項，發現

所有α≠1的豪斯道夫時間導數模型的解均依賴于初始時刻的設定，這與經典整數階局部導數模型本質上不同.不同初始時刻t0的設置對伸展指數衰減的影響見圖2.

圖2清楚地顯示不同初始時刻設置對豪斯道夫

時間導數擴散模型的伸展指數衰減的影響，初始時刻的值越大，衰減得越慢.另一方面，圖2也表明經典的指數衰減不受初始時刻設置的影響.

不同初始時刻t0的設置下伸展指數衰減與ML衰減行為比較見圖3.很明顯兩者都受到初始時刻設置的明顯影響，而且初始時刻的值愈大，衰減得越慢.

4 討 論

本文首次定量地給出分數階微積分的分形幾何基礎，比較豪斯道夫微積分和分數階微積分的區別與聯系；給出豪斯道夫導數擴散方程描述歷史依賴過程的幾何解釋，即初始時刻依賴性問題.這些工作為豪斯道夫微積分的應用提供明確的幾何背景.此外，本文詳細地介紹作為豪斯道夫微積分幾何基礎的豪斯道夫分形距離的定義，并由此分析豪斯道夫導數擴散方程的基本解.

下面是6個有待深入研究的問題：

（1）空間分數階微積分的分形幾何分析.

（2）豪斯道夫微積分和豪斯道夫分形距離的時空坐標必須為正值，否則豪斯道夫距離有可能為復數值.實際應用中注意原點坐標的選擇，滿足時空坐標為正值的要求并不難，但有關的理論解釋有待研究.

（3）本文所提的工作與結構形[18]和結構導數[17，23]有密切的內在聯系，這方面進一步的工作會很有意義.

（4）基于豪斯道夫分形距離的徑向基函數方法可用于數據重構和圖形處理、數值解豪斯道夫微分方程、神經網絡和向量支持機.

（5）基于豪斯道夫分形距離也可以發展非局部的豪斯道夫微積分.

（6）時間豪斯道夫導數的力學模型及其數值仿真相對比較成熟，而空間豪斯道夫導數模型的工程應用不多，特別是有關的數值仿真還很少.

致謝：本文三維豪斯道夫分形距離擴散方程基本解的證明和圖1～3的制作得到蔡偉博士的幫助，在此表示感謝.

參考文獻：

[1]

MANDELBROT B B. The fractal geometry of nature[M]. New York： W H Freeman， 1982： 247272.

[2] KIGAMI J. Analysis on fractals[M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2001： 1232.

[3] CARPINTERI A， MAINARDI F. Fractals and fractional calculus in continuum mechanics[M]. Berlin： SpringerVerlag Wien GmbH， 1997.

[4] PODLUBNY I. Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation[EB/OL]. （20170425）[20011022]. http：//people.tuke.sk/igor.podlubny/pspdf/0110241.pdf.

[5] CHEN W. Timespace fabric underlying anomalous diffusion[J]. Chaos， Solitons & Fractals， 2006， 28（4）： 923929.

[6] SUN H G， MEERSCHAERT M M， ZHANG Y， et al. A fractal Richards equation to capture the nonBoltzmann scaling of water transport in unsaturated media[J]. Advances in Water Resources， 2013， 52： 292295. DOI： 10.1016/j.advwatres.2012.11.005.

[7] LIN G X. An effective phase shift diffusion equation method for analysis of PFG normal and fractional diffusions[J]. Journal of Magnetic Resonance， 2015， 259： 232240. DOI： 10.1016/j.jmr.2015.08.014.

[8] REYESMARAMBIO J， MOSER F， GANA F， et al. A fractal time thermal model for predicting the surface temperature of aircooled cylindrical Liion cells based on experimental measurements[J]. Journal of Power Sources， 2016， 306： 636645. DOI： 10.1016/j.jpowsour.2015.12.037.

[9] CAI W， CHEN W， XU W X. Characterizing the creep of viscoelastic materials by fractal derivative models[J]. International Journal of NonLinear Mechanics， 2016， 87： 5863. DOI： 10.1016/j.ijnonlinmec.2016.10.001.

[10] BALAMLIN A S， BORYREYES J， SHAPIRO M， Towards a physics on fractals： Differential vector calculus in threedimensional continuum with fractal metric[J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2016， 444： 345359. DOI： 10.1016/j.physa.2015.10.035.

[11] HU Z H， TU X K. A new discrete economic model involving generalized fractal derivative[J]. Advances in Difference Equations， 2015（1）： 111. DOI： 10.1186/s1366201504168.

[12] 陳文， 孫洪廣， 李西成. 力學與工程問題的分數階導數建模[M]. 北京： 科學出版社， 2010.

[13] TARASOV V E. Continuous medium model for fractal media[J]. Physics Letters A， 2005， 336（2/3）： 167174. DOI： 10.1016/j.physleta.2005.01.024.

[14] LI J， OSTOJASTARZEWSKI M. Comment on “Hydrodynamics of fractal continuum flow” and “Map of fluid flow in fractal porous medium into fractal continuum flow”[J]. Physical Review E， 2013， 88（5）： 057001.

[15] WEBERSZPIL J， LAZO M J， HELAYEINETO J A. On a connection between a class of deformed algebras and the Hausdorff derivative in a medium with fractal metric[J] Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2015， 436： 399404.

[16] KYTHE P K. Fundamental solutions for differential operators and applications[M]. Boston： Birkhuser， 1996： 60136.

[17] CHEN W， LIANG Y J. Structural derivative based on inverse MittagLeffler function for modeling ultraslow diffusion[J]. Fractional Calculus and Applied Analysis， 2016， 19（5）： 12501261. DOI： DOI： 10.1515/fca20160064.

[18] CHEN W. Nonpowerfunction metric： a generalized fractal[EB/OL]. （20161231）[20170521]. http：//viXra.org/abs/1612.0409.

[19] SHLESINGER M F. Fractal time and 1/f noise in complex systems[J]. Annals of the New York Academy Sciences， 1987， 504： 214228. DOI： 10.1111/j.17496632.1987.tb48734.x.

[20] SAMKO S G， KILBAS A A， MARICHEV O I. Fractional integrals and derivatives： theory and applications[M]. Philadelphia： Gordon and Breach Science Publishers， 1993： 483532.

[21] FELLER W. An introduction to probability theory and its applications： Volume 1[M]. 3rd ed. New York： Wiley， 1971： 574581.

[22] SAICHEV A I， ZASLAVSKY G M. Fractional kinetic equations： solutions and applications[J]. Chaos， 1997， 7 （4）： 753764.

[23] CHEN W， LIANG Y J. New methodologies in fractional and fractal derivatives modeling[J]. Chaos： Solitions and Fractals， 2017. DOI： 10.1016/j.chaos.2017.03.066.

（編輯 武曉英）