“找次品”教學(xué)實(shí)錄與反思

滿(mǎn)坤泉

案例描述：

數(shù)學(xué)是抽象的，生活是具體的，怎樣的操作才是真正有效的呢？下面以“找次品”（人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第134頁(yè)—135頁(yè)例題1、 2）一課為例談?wù)劰P者對(duì)此的實(shí)踐與反思。

一、相聲引路，導(dǎo)入新課

師：（左手拿秤盤(pán)，右手敲著秤盤(pán)，走上講臺(tái)）同學(xué)們，我像老師嗎？

生1：你不像老師，像個(gè)賣(mài)糖的。

生2：你不像老師，你像一個(gè)推銷(xiāo)員。

生3：你不像老師，你像一個(gè)賣(mài)菜的。

……

師：哼！看來(lái)，我真的不像老師啊！那就算老師中的次品？可以了吧！（同學(xué)們哈哈哈地笑起來(lái)）

同學(xué)們，在工作中往往因?yàn)榇中幕蛘哔|(zhì)量等問(wèn)題，使物品中混有比合格品“稍重一些”或“稍輕一些的物品”，這些 “稍重一些”或“稍輕一些的物品”就叫次品。這些混入的次品有的好找、有的不好找。但是無(wú)論怎樣，我們都需要把它找出來(lái)，像這類(lèi)問(wèn)題，我們把它叫做“找次品”。這節(jié)課，我們就來(lái)當(dāng)好一名“質(zhì)檢員”，利用天平秤來(lái)“找次品”。（板書(shū)課題：找次品）

二、實(shí)驗(yàn)操作，感知策略

1.對(duì)3瓶進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。

這里有3瓶木糖醇（出示三瓶木糖醇），其中一瓶被少裝了兩顆，怎樣才能把少裝了兩顆的那瓶（次品）找出來(lái)呢？

生：（學(xué)生齊答）可以秤秤看。

師：誰(shuí)來(lái)秤一秤，最少需要秤幾次？

生：（邊演示邊說(shuō)）一邊一瓶，如果平衡，那么第3瓶就是少裝的那瓶，如果不平衡，那么翹起來(lái)的那邊就是少裝的那瓶。

2.小組合作，對(duì)5瓶進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。

師：剛才是在3瓶中找次品，3瓶太少了，如果是5瓶中混有1瓶次品（這瓶的質(zhì)量輕一些）是不是還稱(chēng)呢？至少稱(chēng)幾次才能找到少裝的那瓶次品？下面就以小組為單位，先確定稱(chēng)的方案，再動(dòng)手操作。注意分工與合作，各個(gè)小組要安排好操作員、記錄員。（各小組用準(zhǔn)備好的5個(gè)圓片代替木糖醇，在簡(jiǎn)易天平上實(shí)驗(yàn)教師巡視指導(dǎo)）

3.匯報(bào)交流。

生1：我們組先把5個(gè)圓片編上號(hào)，把1號(hào)放到天平一邊，再依次把其他圓片放到天平的另一邊。當(dāng)放到3號(hào)時(shí)，天平不平衡，翹起的一邊就是次品，我們組秤了2次就找到了次品。

師：真是好運(yùn)氣！如果排在最后一個(gè)圓片5號(hào)是次品，秤2次能找到次品嗎？

生：不能，要稱(chēng)4次。

師：對(duì)，用這種方案，要保證能找到次品，就要稱(chēng)4次。還有哪個(gè)組有不同方案嗎？

生2：把5個(gè)圓片分成3組，兩邊各放2個(gè)，天平剛好平衡，說(shuō)明剩下的一個(gè)是次品。（師板書(shū)：方案一：5（2，2，1）——平衡，秤1次）

生3：萬(wàn)一不平衡呢？

師：?jiǎn)柕煤茫∶糠Q(chēng)一次，我們都要考慮到平衡與不平衡兩種情況。 如果不平衡，說(shuō)明了什么？

生（齊答）：說(shuō)明次品在翹起的2瓶中！

師：該怎么辦呢？

生4：就把翹起的這兩瓶分成兩份，再秤，又翹起的那邊就是次品。所以，秤2次就找出次品了。

師：用這種方案，要保證能找出次品，要稱(chēng)幾次？

生（齊答）：2次。

師（追問(wèn)）：要保證一定能找到次品，為什么要稱(chēng)第2次？

生4：因?yàn)樘炱匠硬黄胶猓偷迷俜Q(chēng)一次，才能找到次品。所以，要保證一定能找到次品，至少要秤2次。

師：天平秤平衡時(shí)，是不是最終只要稱(chēng)1次就能保證找出次品呢？

生5：不是，那只是一種巧合。

……

其他小組又匯報(bào)出一些方案：

方案二：5（1，1，3）

方案三：5（1，1，1，1，1）-------（1，1）第1次

（1，1）------（1，1）第2次

師：以上稱(chēng)的方法至少需要稱(chēng)2次，而且以上三種方案的分組都分成幾份？（三份）。為什么不分成（3，2）或（4，1）兩份來(lái)稱(chēng)呢？誰(shuí)來(lái)說(shuō)以說(shuō)理由。

生：兩邊稱(chēng)的瓶數(shù)不一樣，不能區(qū)分出次品。

師：也就是說(shuō)，兩邊稱(chēng)的瓶數(shù)不一樣，稱(chēng)了也白稱(chēng)。

4.小結(jié)。

同學(xué)們真了不起！又學(xué)會(huì)了從5個(gè)物品中找出1個(gè)稍輕的次品，大家能想到這么多稱(chēng)的方案，老師真為你們感到驕傲！但老師要再次提醒同學(xué)們：每稱(chēng)一次，必須要從天平秤的平衡與不平衡兩個(gè)角度來(lái)全面考慮，才能保證找到次品的次數(shù)最少哦！

三、深入探究，尋找策略

1.設(shè)計(jì)方案，簡(jiǎn)潔記錄------對(duì)9瓶進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。

師：同學(xué)們剛才在3個(gè)和5個(gè)物品中找出次品，表現(xiàn)都很好！現(xiàn)在的活動(dòng)更具有挑戰(zhàn)性（出示例2：在9個(gè)零件里有1個(gè)是次品（次品重一些）至少要稱(chēng)幾次？）。現(xiàn)在必須從9個(gè)物品中找到次品，至少要稱(chēng)幾次？請(qǐng)大家動(dòng)手試一試、想一想。設(shè)計(jì)出稱(chēng)的方案，并用文字或圖示表示出來(lái)，要求要簡(jiǎn)潔易懂哦！

2.同桌交流。

3.匯報(bào)反饋（教師根據(jù)學(xué)生的匯報(bào)，板書(shū)如下）：

9（1，1，1，1，1，1，1，1，1），至少稱(chēng)4次；

9（2，2，2，2，1）——（2，2）平——（2，2）平，稱(chēng)第2次；

（2，2）平——（2，2）不平——（1，1），稱(chēng)第3次；

（2，2）不平——（1，1），稱(chēng)第2次；

9（4，4，1）——（4，4）不平——（2，2）——（1，1），稱(chēng)第3次；

（4，4）平，只稱(chēng)1次；

9（3，3，3）——（3，3）不平——（1，1），稱(chēng)第2次；

（3，3）平——（1，1），稱(chēng)第2次。

師：還有沒(méi)有其他的辦法？如果沒(méi)有，一起看結(jié)果，哪一種最簡(jiǎn)便？

生：平均分成3份，每份分成3個(gè)的最簡(jiǎn)便。

師：是啊！你看：

師：照此下去，如果物品是3的倍數(shù)，均分成3份都最簡(jiǎn)嗎？以18為例，大家試一試。

4.再次設(shè)計(jì)方案對(duì)18進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。

生：18（6，6，6）——6（3，3）——3（1，1，1），3次；

18（6，6，6）——6（2，2，2）——2（1，1），3次；

師：幾次？是否真的最少？用筆、紙找找，看一看還有無(wú)更少的？

生：18（6，6，6）——6（3，3）——3（1，1），3次；

18（2，2，2，2，2，2，2，2，2），5次；

18（8，8，2），4次；

18（3，3，3，3，3，3，4次；

18（9，9）——9（3，3，3）——3（1，1，1），3次。

師：利用天平來(lái)“找次品”，有這么多的方案！在這些方案里，要保證能找到次品，有的要稱(chēng)3次，有的要秤4次……，為了更好觀察比較什么樣的方案更簡(jiǎn)單，我們把這些稱(chēng)的方案填在表里。大家找一找，哪種簡(jiǎn)單？為什么？

5.觀察比較，總結(jié)策略。

（師生共同逐一填寫(xiě)下表）

（1）第三、四兩列的優(yōu)化策略。

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察填表（只填倒數(shù)第二列），比較表中的數(shù)據(jù)，所測(cè)物“要稱(chēng)的最少次數(shù)”與“分成的份數(shù)”有什么關(guān)系？你有什么發(fā)現(xiàn)？（同桌討論后匯報(bào)）

生1：我發(fā)現(xiàn)在兩種所測(cè)物要稱(chēng)的最少次數(shù)中，都是平均分成了3份。

生2：我發(fā)現(xiàn)在兩種所測(cè)物要稱(chēng)的最少次數(shù)中，平均分成了3份后，每份都是3的倍數(shù)。

生3：我還發(fā)現(xiàn)要想使稱(chēng)的次數(shù)最少，所測(cè)物一定要分成3份最好。

……

師：對(duì)！在9個(gè)所測(cè)物、18個(gè)所測(cè)物中，最優(yōu)化的策略是把所測(cè)物平均分成3份。哪是為什么呢？我們來(lái)看表中9個(gè)所測(cè)物和18個(gè)所測(cè)物中的最后一列（教師指著各個(gè)方案的第二種方案講解）。

師：在9個(gè)和18個(gè)所測(cè)物中，第一次稱(chēng)的時(shí)候，如果天平平衡，說(shuō)明了什么？

生（齊答）：次品在剩下的幾個(gè)中。

師：也就是天平上的3個(gè)（所測(cè)物是18個(gè)時(shí)是6個(gè)）零件都是正品，次品就鎖定在剩下的3個(gè)（所測(cè)物是18個(gè)時(shí)是6個(gè)）中。這樣稱(chēng)一次，就能排除6個(gè)零件（所測(cè)物是18個(gè)時(shí)是排除12個(gè)）。那么，如果天平不平衡呢？

生：次品在翹起的哪個(gè)秤盤(pán)中。

（2）第四、五列的優(yōu)化策略。

師：我們接著把表填完。（只填第五列）觀察表的最后這一列，觀察“所測(cè)物的最少次數(shù)”與“排除所測(cè)物的個(gè)數(shù)”之間有著怎樣的關(guān)系？你發(fā)現(xiàn)什么？

生1：每次排除的零件個(gè)數(shù)越多，所秤的次數(shù)就越少。

生2：我還發(fā)現(xiàn)每次排除的零件個(gè)數(shù)越少，所稱(chēng)的次數(shù)就越多。

生3：我還發(fā)現(xiàn)有的方案雖然沒(méi)有平均分，但它也是分成了3份，這種方法可以排除的個(gè)數(shù)也比較多，稱(chēng)的次數(shù)也是最少的。

師：你這個(gè)發(fā)現(xiàn)很好，而且很重要！但是，它排除的零件個(gè)數(shù)最多嗎？稱(chēng)的次數(shù)最少嗎？

生：都不是。

師：對(duì)！那么，“所測(cè)物的最少次數(shù)”與“排除所測(cè)物的個(gè)數(shù)”以及“最優(yōu)化方案”之間到底有著怎樣的聯(lián)系呢？

生（齊答）：每次排除的零件個(gè)數(shù)越多，所秤的次數(shù)就越少，每次排除的零件個(gè)數(shù)越少，所秤的次數(shù)就越多一次排除的個(gè)數(shù)越少。

師：是啊！每次對(duì)次品鎖定的范圍越大，則所需要稱(chēng)的次數(shù)就會(huì)越少。那么，我們要對(duì)物品進(jìn)行怎么樣的分組，才能使稱(chēng)的次數(shù)最少呢？這里有什么樣的優(yōu)化方案？

生1：平均分成3份的最簡(jiǎn)單、最優(yōu)化的方法。

小結(jié)：你說(shuō)得非常好。我們把最熱烈的掌聲送給他！以后，在解決“找次品”這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要把所測(cè)物品平均分成3份，那就是最優(yōu)化的方法。但是，這種最優(yōu)化的策略如果遇到物品個(gè)數(shù)不能平均分成3份的，我們?cè)撛趺崔k呢？

例如：8個(gè)零件中有一個(gè)稍重的次品，應(yīng)怎樣分呢？

生：分成3份：3，3，2。（教師板書(shū)）：8（3，3，2）

……

師：我們?nèi)匀灰阉殖?份，每份的數(shù)量仍然盡可能相差最小。也就是說(shuō)：這種情況，我們不能把所測(cè)物平均分成3份，但是每份物品的個(gè)數(shù)卻很接近，像這種情況我們就叫它“盡量平均分”。以后，我們?cè)谡椅锲分械拇纹窌r(shí)，只要把物品平均分成3份，或盡量平均分成3份，使多的與少的一份只差1，就能用最少的次數(shù)保證找到次品，這就是找次品的最優(yōu)策略。

師：通過(guò)剛才的探索，你又知道些什么？

四、鞏固運(yùn)用，深化策略（優(yōu)化）

出示課件：

1.有10瓶水，其中有9瓶質(zhì)量相同，另有一瓶是鹽水，比其他的水略重一些，至少稱(chēng)幾次能保證找出這瓶鹽水？稱(chēng)2次有可能找出來(lái)嗎？

2.有15盒餅干，其中的14盒質(zhì)量相同，另有1盒少了幾塊，如果用天平稱(chēng)，至少稱(chēng)幾次可以找出這盒餅干？

3.在12個(gè)零件里有1個(gè)是次品（次品重一些），用天平秤，至少稱(chēng)幾次就一定能找出次品？

師：題中哪些是關(guān)鍵詞？各是什么意思？

生1：“至少”就是最少的意思。

生2：用最少的次數(shù)保證找到鹽水或者次品。

師：對(duì)！“至少”也就是要求我們用最優(yōu)化的策略來(lái)稱(chēng)。這就要求我們?cè)诜Q(chēng)的時(shí)候必須要全面考慮，即要考慮到天平秤平衡的情況，同時(shí)也要考慮到天平秤不平衡的情況。

師：個(gè)人單獨(dú)嘗試后到黑板上來(lái)與同學(xué)們分享你們的分法。

生1：分成3份，10（3，3，4）——3（1，1，1）（師板書(shū)）。

生2：也是分成3份，即：15（5，5，5）——5（2，2，1）（師板書(shū)）。

生3：仍然把它平均分成3份，12（4，4，4）——4（1，1，2）——2（1，1）（教師板書(shū)）。

師：現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們選擇其中的一個(gè)問(wèn)題，用優(yōu)化的策略，簡(jiǎn)潔地說(shuō)一說(shuō)稱(chēng)的過(guò)程。

課后反思：

1.挖掘教學(xué)資源，讓學(xué)生初步感知“找次品”策略的可操作性。

在日常生活中，雖說(shuō)學(xué)生對(duì)“次品”這一概念并非一片空白，會(huì)從平時(shí)家長(zhǎng)的一些談話(huà)中有所耳聞，但都停留在字面的感覺(jué)上，并沒(méi)有和數(shù)學(xué)產(chǎn)生聯(lián)系。因此，我的課堂教學(xué)便從“次品老師”引入課題，并且對(duì)次品做詳細(xì)的介紹，接著出示三瓶木糖醇中一瓶被少裝了兩顆，怎樣才能找出少裝了兩顆的那瓶呢（也就是次品）？學(xué)生回答“可以稱(chēng)稱(chēng)看”在讓學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)、親手稱(chēng)一稱(chēng)的過(guò)程中，學(xué)生感受到“3瓶木糖醇中有一瓶是次品、用秤稱(chēng)一稱(chēng)找次品的表象，建立了幫助學(xué)生形成初步的簡(jiǎn)單策略。

2.動(dòng)手操作，讓學(xué)生親歷“找次品”策略的多樣性。

本節(jié)課采用的歸納法在本質(zhì)上是一種不完全歸納法。本課首先從所測(cè)物是3的倍數(shù)中找次品，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題多樣性的數(shù)學(xué)分析模式，完善“找次品”的基本策略和方法。然后再逐步脫離具體的實(shí)物操作，讓學(xué)生獨(dú)立思考，采用圖示、文字列表的方式進(jìn)行抽象的分析，得出“找次品”的多種策略，實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象的過(guò)渡，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到解決問(wèn)題策略的多樣性。在這一過(guò)程中，無(wú)論是讓學(xué)生“感知5瓶木糖醇中有一瓶是次品”，秤時(shí)策略的簡(jiǎn)單多樣化，還是讓學(xué)生“感知9瓶木糖醇中有一瓶是次品”“18瓶木糖醇中有一瓶是次品”，稱(chēng)時(shí)策略逐漸多樣的各個(gè)環(huán)節(jié)，都為學(xué)生提供足夠的動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考、動(dòng)眼觀察、動(dòng)口表達(dá)、動(dòng)耳傾聽(tīng)的時(shí)間和空間，讓學(xué)生親歷“找次品”策略的多樣性，體驗(yàn)“找次品”策略多樣性的形成過(guò)程，從而為學(xué)生后面總結(jié)規(guī)律優(yōu)化策略奠定了厚實(shí)的基礎(chǔ)。

3.總結(jié)規(guī)律，讓學(xué)生深化“找次品”策略的最優(yōu)化。

體會(huì)運(yùn)用優(yōu)化的思想解決問(wèn)題的有效性，這也是本課的重要目標(biāo)。為了達(dá)成這一目標(biāo)，本課設(shè)計(jì)了兩個(gè)大的問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、探究規(guī)律。首先是請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察填表（只填倒數(shù)第二列）、比較表中第三、四兩列數(shù)據(jù)之后提問(wèn)：所測(cè)物“要稱(chēng)的最少次數(shù)”與“分成的份數(shù)”有什么關(guān)系？你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生的回答是“我發(fā)現(xiàn)在兩種所測(cè)物要稱(chēng)的最少次數(shù)中，都是平均分成了3份”。然后再讓學(xué)生接著把表填完。（只填第五列）觀察表的第三、第五列，“所測(cè)物的最少次數(shù)”與“排除所測(cè)物的個(gè)數(shù)”之間有著怎樣的關(guān)系？你發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生的回答是“每次排除的零件個(gè)數(shù)越多，所稱(chēng)的次數(shù)就越少”“我還發(fā)現(xiàn)每次排除的零件個(gè)數(shù)越少，所稱(chēng)的次數(shù)就越多”。

在列表比較的基礎(chǔ)上，從“排除”與“鎖定”的角度解釋最優(yōu)化策略，使學(xué)生探究并且得出“找次品”策略最優(yōu)化的結(jié)論，從而使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)深化為理性認(rèn)識(shí)。緊接著再讓學(xué)生經(jīng)歷由一般到特殊的數(shù)學(xué)分析模式，從而完善“所測(cè)物不是3的倍數(shù)”找次品的基本策略和方法，最后讓學(xué)生鞏固并運(yùn)用優(yōu)化策略解決問(wèn)題。在學(xué)生總結(jié)與探究的過(guò)程中，始終在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、思考、比較、總結(jié)、歸納等進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，可謂層層遞進(jìn)，而且體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題始終堅(jiān)持時(shí)時(shí)有挑戰(zhàn)性、趣味性、探究性和有效性，這才是本課最重要的教學(xué)理念。

◇責(zé)任編輯：徐新亮◇

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