鴿巢問題”教學片段對比評析

鐘淑燕

“鴿巢問題”是六年級下冊第五單元數學廣角的內容?！傍澇苍怼弊钤缡怯?9世紀的德國數學家運用于解決數學問題而提出的，又稱“抽屜原理”或“鞋筒問題”。運用鴿巢原理可以解決許多有趣的問題，并且常常會得到一些令人驚異的結果。

甲教師教學片斷：

出示練習，學生思考：

1.把6本書放進5個抽屜里，會有什么情況？

2.把7本書放進6個抽屜里，會有什么情況？

3.把100本書放進99個抽屜里，又會有怎樣的情況？

教師根據學生交流板書：

6÷5=1（本）……1（本）

7÷6=1（本）……1（本）

100÷99=1（本）……1（本）

以上三種情況都總有一個抽屜里至少放了2本書，即至少數是2本。

師：通過剛才的思考，你有什么發現嗎？

學生交流發現：只要書的數量比抽屜的數量多1，總有一個抽屜里至少有2本書。

教師小結，介紹“抽屜原理”：像上面所說的，我們把6本書放進5個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進2本書，這種數學現象蘊含著一個數學原理，數學家們把這種原理叫做“抽屜原理”，又稱“鴿巢原理”，這種原理最先是由德國數學家狄里克雷提出的。

師：把7本書放進3個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進3本書，為什么？

生：我先把“7本”平均分成“3份”， 7÷3=2（本）……1（本），每個抽屜里先放2本，剩余的一本不管放進哪個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進3本書。

教師接著出示：

如果有8本書、9本書、10本書分別放進3個抽屜里，又會怎樣呢？

（學生交流，教師板書）

7÷3=2（本）……1（本），至少數=2+1=3（本）；

8÷3=2（本）……2（本），至少數=2+1=3（本）；

9÷3=3（本）， 至少數=3（本）；

10÷3=3（本）……1（本），至少數=3+1=4（本）。

師：觀察上面各式中的至少數，你發現了什么？

生1：當“物體數”比“抽屜數”多時，能平均分要平均分，不能平均的也要盡量平均分，很容易看出至少數。

師追問：什么叫“盡量平均分”？

生1：比如8本書放進3個抽屜里，把8平均分成3份后，每個抽屜里先放進2本書后還剩余2本，再把2本分成2份放進2個抽屜里，有2個抽屜各放進1本，與原來的2本合起來共就有3本。

師：還有不同的發現嗎？

生2：我發現當“物體數÷抽屜數”不能整除時，不管余數是幾，至少數總是等于商加1（至少數=商+1）。

……

總結：如果“物體數÷抽屜數”有余數，用所得的商+1，就能確定總有一個抽屜里至少放進幾個物體了。

乙教師教學片段：

出示思考練習：

1.把6本書放進5個抽屜里，會有什么情況？

2.把7本書放進6個抽屜里，會有什么情況？

3.把100本書放進99個抽屜里，又會有怎樣的情況？

學生交流小結：

6÷5=1（本）……1（本）；

7÷6=1（本）……1（本）；

100÷99=1（本）……1（本）。

先把“物體數”平均分，剩余的一本書不管放進哪一個抽屜，總有一個抽屜里至少放進了2本書。只要書的本數比抽屜的數量多1，總有一個抽屜里至少有2本書。

教師出示：把7本書放進3個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進3本書，為什么？

生：7÷3=2（本）……1（本），即把“7本”平均分成“3份”，每個抽屜里先放2本，剩余的一本不管放進哪個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進3本書。

教師板書：

6÷5=1（本）……1（本），至少數=2（本）；

7÷6=1（本）……1（本），至少數=2（本）；

100÷99=1（本）……1（本），至少數=2（本）；

7÷3=2（本）……1（本），至少數=3（本）。

師：觀察上面的算式，你發現了什么？

生1：我發現了至少數等于商+余數。（板書：至少數=商+余數）

生2：我認為至少數應該等于商+1。（板書：至少數=商+1）

師：怎樣求至少數呢，有兩種不同的發現，哪一種說法更準確呢？就請同學們一起來驗證。

教師課件出示驗證練習：

（1）把8本書放進3個抽屜里，總有一個抽屜至少放進幾本書？

（2）把11本書放進4個抽屜里，總有一個抽屜至少放進幾本書？

學生驗證解釋：

（1）把8平均分成3份，8÷3=2（本）……2（本），先在每個抽屜里放進2本書，剩余的2本再分別放進2個抽屜，總有一個抽屜里至少放進了3本書。至少數是3本，至少數≠商+余數，至少數=商+1。

（2）把11平均分成4份，11÷4=2（本）……3（本），先在每個抽屜里放進2本書，剩余的3本再分別放進3個抽屜，總有一個抽屜里至少放進了3本書。至少數是3本，至少數仍然等于商+1。

（3）學生自由舉例驗證。

師生共同總結：如果“物體數÷抽屜數”有余數，至少數=商+1。即用所得的商+1就可以確定總有一個抽屜里至少放了幾個物體。

（教師簡單介紹“抽屜原理”）

評析：同樣的教學內容，因兩位教師的設計思路不同，對學生思維能力的發展影響也不同。甲教師在教學過程中引導過多，看似“面面俱到”，實則沒有真正體現小學數學“數學廣角”的教學目標。乙教師在教學過程中只僅僅是一個“主持者”，把學習的主權放給學生，并巧用不同結論“至少數=商+余數”及“至少數=商+1”之間的沖突，讓學生通過嘗試驗證，從而得出結論：“物體數÷抽屜數”有余數時，至少數=商+1，整個教學過程讓學生在經歷猜想、嘗試、驗證的過程中逐步從直觀走向抽象。本單元的學習，教學的目的不是讓學生計算抽屜原理、去應用，而更多的是給出一個結論，讓學生去證明這種結論的正確性，這實質上是一種數學證明思想的滲透教學。因此，教學時應讓學生經歷猜測、嘗試、驗證的探究過程，并在此過程中引導學生逐步從直觀走向抽象，這才是教學的重點。另外，針對“抽屜原理”的問題變式多，應用具有靈活性，教師還應在練習設計中幫助學生思考如何將具體問題與“抽屜原理”建立聯系，引導學生探究如何建立問題中的具體情境和“抽屜原理”一般化模型之間的內在關系。

◇責任編輯：徐永壽◇

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