物體速度最大的條件是否一定是合外力為零

摘要：通過對直線運動、圓周運動、一般曲線運動中最大速度問題的分解與解析詳細說明了物體速度最大的條件并不一定是合外力為零，從而糾正部分學生或教師腦海所存在的問題，并總結了解決此類問題的一般規律及解題思路，為科學備考建立了正確的物理模型.

關鍵詞：最大速度；直線運動；曲線運動

基金項目：江蘇省教育科學規劃十二五重點課題《用PCK理論優化高中物理難點內容教學的研究》（編號：B-b/2015/02/070）、南京市教育科學“十三五”規劃個人課題《用PCK理論優化“磁場”難點內容教學的研究》（編號：LK0618）的階段性成果.

作者簡介：熊耀華，男，湖北麻城人，高中物理一級教師，碩士研究生學歷，主要研究方向為高中物理教學.

一些教學參考資料或練習冊有關速度最大問題的解答中經常出現“（直線運動中）當物體所受合外力為零時，其速度達到最大值”字樣，久而久之，學生或教師很容易將此作為一個結論熟記心中，碰到類似題目，便不加分析地套用，此舉必將在高考中造成嚴重的后果，因此有必要對此問題進行糾正與深入剖析.本文將從直線運動、圓周運動、一般曲線運動三個方面分別以例證的方式對此結論的正誤進行詳細分析，并總結最大速度問題的一般規律和解題思路.

1直線運動中的最大速度問題

例1如圖1所示，傾角為α的絕緣斜面置于磁感應強度為B的勻強磁場中，一個質量為m、帶電量為+q的金屬塊在斜面頂端由靜止釋放，已知金屬塊與斜面的動摩擦因數為μ且滿足μ

（1）在斜面上金屬塊下滑能達到的最大速度是多少？

（2）若將題目中斜面是光滑的且磁場方向改為垂直紙面向外，其它條件不變，求金屬塊在斜面上由靜止下滑后能達到的最大速度又是多少？

（3）若將題目中斜面是光滑的且磁場方向改為垂直紙面向外，且斜面長度為L=3m，其它條件不變，若已知m=2kg，B=1T，q=2C，α=37°，g取10m/s2，求金屬塊在斜面上由靜止下滑后能達到的最大速度又是多少？

解析（1）要求金屬塊的最大速度，需要對金屬塊進行受力分析與運動過程分析.當金屬塊靜止釋放瞬間，因μμmgcosα，故金屬塊應沿斜面加速下滑，一旦滑動起來，會受到垂直斜面向下的洛侖茲力f洛=Bqv，受力情況如圖2所示，由牛頓第二定律mgsinα-μ（mgcosα+Bqv）=ma易知，隨著v的增大，洛侖茲力f洛=Bqv也增大，加速度a逐漸減小，當a=0時，金屬塊合外力為零，將開始做勻速直線運動，因此在斜面足夠長的情況下，當a=0時有最大速度vm=mgsinα-μmgcosαμBq.

（2）此問還是求金屬塊的最大速度，當a=0時是否有最大速度vm？同樣對金屬進行受力分析與運動過程分析.當金屬塊靜止釋放瞬間，因μμmgcosα，故金屬塊應沿斜面加速下滑，一旦滑動起來，會受到垂直斜面向上的洛侖茲力f洛=Bqv，受力分析如圖3所示，由力的正交分解法與牛頓第二定律有如下兩個方程：

mgsinα=ma（1）

N+Bqv=mgcosα（2）

由方程（1）知，此金屬塊做初速度為零、加速度為a=gsinα的勻加速直線運動，直到當N=0即Bqv=mgcosα時金屬塊就脫離斜面，因此在斜面足夠長的情況下，金屬塊在斜面上有最大速度的條件是當斜面對金屬塊的支持力N=0，其最大速度為vm=mgcosαBq，而此時滑塊的合力為mgsinα=ma.因此這種情況下“當物體所受合外力為0時，其速度達到最大值”的結論并不成立.

（3）與第2問比較，只是將“斜面足夠長”改成了“斜面長度為L=3m”，并賦予具體數據，那第（3）問的結果與第（2）問是否完全一致？由于第（3）問金屬塊受力情況、運動情況與第（2）完全相同，也是做勻加速直線運動，因此在解析第（3）問時，我們不妨沿著第（2）問的解析思路進行思考：如果斜面足夠長時，則由第（2）問解析過程不難得到最大速度vm=8m/s2.由勻加速直線運動公式或動能定理知，此時金屬塊沿斜面下滑的位移為Lx=v2m2gsinα=163m > L=3m，說明第（3）問中金屬塊到達斜面底端時并沒達到第（2）問的最大速度，即金屬塊到達斜面底端時，斜面對金屬塊還有支持力，并沒有脫離斜面.故由勻加速直線運動公式或動能定理有vm=2gLsinα，代入相關數據得vm= 6m/s，此即第（3）問正確答案.此時“當物體所受到的合外力為零時，其速度達到最大值”的結論也不成立.

2圓周運動中的最大速度問題

例2如圖4所示，用一根長為L的塑料絕緣細繩將質量為m的金屬球拴住，細繩另一端固定在某懸點O，把金屬球拉到和懸點O水平的位置自靜止釋放，不計空氣阻力，則

（1）金屬球在向下擺動過程中哪個位置有最大速度？最大速度是多少？

（2）若金屬球帶電量為+q，并且處于大小為E、方向水平向右的勻強電場中（Eq=mg），把金屬球拉到和懸點O在同一水平面的位置自靜止釋放，金屬球在向下擺動過程中哪個位置有最大速度？最大速度是多少？

解析（1）由于只有重力做功，小球由靜止釋放到最低點過程中重力勢能與動能的總能量守恒，因此重力勢能最小的位置即最低點動能最大（速度最大）.若選最低點為零勢能面，則由能量守恒定律有mgL+0=0+12mv2m，故vm=2gL.對小球最低點受力分析不難得出，繩子對小球的拉力與小球的重力的合力給小球做圓周運動提供向心力，即動力學方程為T-mg=mv2mL，顯然此時小球所受合外力是3mg，而并不等于零.

（2）與第1問比較，第（2）問多了電場，我們可以采用“等效重力”法仿照（1）一樣定性分析得出結論.當然也可以采用動力學分析法進行定量分析，分析過程如下：運動過程中金屬球受力分析如圖5所示，將力沿半徑和切向進行分解，半徑方向力Fx改變速度的方向，而切向力Fy改變速度的大小，兩者各司其職.其對應動力學方程如下：

Fx=T-mgsinθ-Eqcosθ=mv2L

Fy=mgcosθ-Eqsinθ=may

隨著θ的增大，Fy先減小后反向增大，因此金屬球作的是切向加速度ay先減小后反向增大的變加速曲線運動，當切向力Fy=0（ay=0）時有最大速度vm，考慮到mg=Eq即可知當θ=450有最大速度vm，此時其合力指向O點，大小為mv2m L，也并不等于0.由動能定理有mgLsin45°-EqL（1-cos45°）=12mv2m，故vm=2（2+1）gL，此時小球所受到的合力為2（2+1）mg，繩子對小球的拉力為（32+2）mg.通過以上兩種情況的分析可以看出，在物體做圓周運動過程中，速度最大的條件依然不是“物體所受到的合外力零”.

3一般曲線運動中的最大速度問題

例3設空間存在豎直向下的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場，如圖6所示.已知一離子在電場力和洛侖茲力的作用下，從靜止開始自A點沿曲線ACB運動，到達B點時速度為零.C點是運動的最低點.忽略重力，以下說法中正確的是

A.離子必帶正電荷；

B.A點和B點位于同一高度；

C.離子在C點時速度最大；

D.離子到達B點后，將沿原曲線返回A點.

解析粒子在點A由靜止釋放，只受到電場力，粒子能夠從A向C運動，說明了電場力方向一定豎直向下，而電場線豎直向下，故該離子一定帶正電，故A正確；由于運動過程中只有電場力做功，洛侖茲力不做功，由能量守恒可AB必位于同一高度，B正確；而在整個運動過程中，相對于初始位置A點，AC的豎直高度最大，電場力做功最多，此時即C點動能最大.此時C點的速度水平向右，電場力與洛茲力的合力豎直向上，即F合垂直于vc，故選項C正確，而此時由曲線運動的條件可知，其合外力一定不等于0，結論還是不成立；而到達B點后，離子將向右重復ACB的曲線運動過程.故此題正確選項為ABC.

4規律總結

通過對直線運動、圓周運動、一般曲線運動三種類型的最大速度問題詳細分析，我們不難發現：物體達到最大速度的條件并非一定是合外力為零（即加速度a=0）.對于做直線運動的物體而言，在軌道足夠長的前提下，其最大速度的條件一定是合外力為零（或加速度a=0）；而對于物體做圓周運動或一般的曲線運動，其速度最大的位置合外力并非一定為零，而是沿速度方向的合外力為零（即F合垂直于v）時才有最大速度.因此無論是直線運動、圓周運動還是一般的曲線運動，我們可以給出一般規律性結論：在軌道足夠長的前提下，當物體沿速度方向的合外力為零時物體必將達到最大速度.

對于高中物理學習而言，弄清楚物體達到最大速度的條件是非常必要的，在不同省份的高考題中也有呈現，例如2008年江蘇高考題及2011年上海高考題.

例4（2008·江蘇卷）如圖7，在場強為B的水平勻強磁場中，一質量為m、帶正電q的小球在O靜止釋放，小球的運動曲線如圖7所示.已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到z軸距離的2倍，重力加速度為g.求

（1）小球運動到任意位置P（x，y）的速率v

（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym

（3）當在上述磁場中加一豎直向上場強為E（E>mgq）的勻強電場時， 小球從O靜止釋放后獲得的最大速率vm.

例5（2011·上海卷）如圖8，電阻可忽略的光滑平行金屬導軌長S=115m，兩導軌間距L=075m，導軌傾角為30°，導軌上端ab接一阻值R=15Ω的電阻，磁感應強度B=08T的勻強磁場垂直軌道平面向上.阻值r=05Ω，質量m=02kg的金屬棒與軌道垂直且接觸良好，從軌道上端ab處由靜止開始下滑至底端，在此過程中金屬棒產生的焦耳熱Qr=01J.（取g=10m/s2）求

（1）金屬棒在此過程中克服安培力的功W安；

（2）金屬棒下滑速度v=2m/s時的加速度a.

（3）為求金屬棒下滑的最大速度vm，有同學解答如下：由動能定理W重-W安=12mvm2，…….由此所得結果是否正確？若正確，說明理由并完成本小題；若不正確，給出正確的解答.

以上兩高考題的解析過程略，若學生套用習題冊上的“合外力為零時有最大速度”結論必錯無疑.解決此類“最大速度”問題的關鍵在于分析最大速度應滿足的條件，一般而言，其具體處理方法有以下兩種視角：

第一種方法是動力學角度.首先選定研究對象并對研究對象進行受力分析，寫出研究對象的牛頓第二定律方程，即研究對象所受外力或加速度隨速度變化的函數關系，然后分析其運動情況，找出其速度達到最大時所滿足的條件，最后由此條件求出速度最大值，不過需要注意的是軌道是否足夠長；

第二種方法是功能關系的角度.首先選定研究對象，并具體分析其做功情況、能量變化情況，然后用功能關系定性分析研究對象達到速度最大值時的條件，最后用功能關系定量列式求解.