每個困難都是向上的臺階（下）

張思明

碩士研究生畢業(yè)后，我選擇了回學校工作。我希望自己做一個基礎教育崗位上平凡但不平庸的老師。

我曾在自己的班里做過一項調查，題目是“在你們心目中數(shù)學是什么？”，一個學生寫道：“數(shù)學是一些居心叵測的成年人為學生挖的陷阱！”另一個學生也有同感：“數(shù)學是一些僅僅出現(xiàn)在課本和試卷上的，讓某些老師看著學生崴腳而感到竊喜的東西。”學生的“黑色幽默”令我感到震驚、悲哀，原來我們這些盡心力教學的老師在學生心目中，無非是一些挖坑布雷的高手，而數(shù)學竟被視為老師懲治學生的工具。從那時起，我開始重新審視自己的數(shù)學教學，不再滿足于自己數(shù)學專業(yè)知識的嫻熟，也不再滿足于學生能安靜地聽數(shù)學課，而是需要思考我們要給學生怎樣的數(shù)學和數(shù)學教育？

跟我學數(shù)學，孩子們覺得數(shù)學“好玩兒”

我國的數(shù)學教育具有基礎扎實、訓練嚴格的傳統(tǒng)優(yōu)勢。但知識面窄、形式刻板、重理論輕應用的傾向也是現(xiàn)實問題。很多數(shù)學教師常常把主要精力放在知識點的傳授上，然后讓學生進行大量的反復訓練，以為這樣就能讓學生掌握數(shù)學。但忽視了告訴學生這些數(shù)學知識的來源、應用，知識點沒有了“源”和“流”，沒有了生命力。實際上，數(shù)學不僅僅是“思維的體操、皇冠上的明珠、理工科的基礎”，還是表達和交流的語言，它承載著思想和文化，是現(xiàn)代文明的重要組成部分，是文明人的標志性素養(yǎng)，成為人才必備的核心競爭力。

作為數(shù)學教師，如何讓學生通過高中數(shù)學課程的學習，學會用數(shù)學眼光觀察世界，感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關聯(lián)；用數(shù)學思維分析世界，學會用數(shù)學解決實際問題，積累數(shù)學實踐的經(jīng)驗；用數(shù)學語言表達世界，學會交流與合作，加深對數(shù)學內容的理解，提升應用能力，增強創(chuàng)新意識和科學精神？這是我們的努力方向。只有讓學生感受到數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，讓他們學會自己提出問題，逐步學會解決問題，讓學生了解數(shù)學的源和流，要讓學生感覺數(shù)學可親、可用，才能產生學習的興趣，這才是學習的內動力。

在課堂上，我讓學生接觸并解決一些有真實感的應用問題，使學生覺得數(shù)學有用。比如：結合函數(shù)的學習，調查銀行現(xiàn)行利率，計算若干年后可能的存款收益；等差數(shù)列求和與實物堆垛；排列組合與自行車變速原理；購買“平安保險”到底是虧還是賺？電視塔的高度與覆蓋面的問題，足球射門問題，等等。在課外，我經(jīng)常組織學生到大自然中去“玩”。我把學生帶到北京近郊的關溝山谷，讓他們測量一塊叫“仙枕”的大石頭的體積；每人采集一味中草藥；判斷一棵銀杏樹的雌雄并找到它的配偶，以此推算銀杏樹的傳粉半徑；用相機拍下古跡并判斷它們的年代；用曾經(jīng)講過的分形知識，找出具有“生物全息現(xiàn)象”的植物學生們體驗了游玩的快樂，也培養(yǎng)了解決實際問題的能力。

在我的引領下，學生們在“玩”中感受了從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的樂趣，開始在學數(shù)學、用數(shù)學方面表現(xiàn)出空前的主動性與熱情，嘗試著提出和解決生活中的數(shù)學問題。一個學生說：當我們憑自己的知識和智慧成功地解決了一個實際問題時，我們的喜悅心情絕對不亞于得第一、拿滿分。張老師讓我們體會到數(shù)學的魅力與學以致用的樂趣。

“數(shù)學好玩”，這是國際數(shù)學大師陳省身老先生致中國少年數(shù)學論壇開幕的題詞。筒單的四個字折射出他的數(shù)學情懷。不愧是大師，望百之人，在參悟了人生百味后，又回復了童心童語——好玩兒；與科學相伴終身的他老人家，竟把最復雜、應用最廣泛的科學，用最筒單的語言向垂髫幼童介紹——好玩兒！

玩也是我們的“問題源”，“實驗”也是我們的研究手段，比如用數(shù)學實驗的方法探索計算器的“不動點”，學生的好奇心被充分調動起來。其實這里面蘊含著“極限”的思想。因此，這是介紹極限知識時很適合的引入材料。在我的鼓勵下，所教的兩個班中，有四位學生經(jīng)過自己的探索寫出了“不動之數(shù)”等多篇數(shù)學小論文。實際上，學生的這些發(fā)現(xiàn)還可以在學習極限、用遞推關系求解超越方程、了解不動點和混沌理論時發(fā)揮很好的作用。這些發(fā)現(xiàn)有很好的數(shù)學背景，教師可以利用它們引導學生更快地走近現(xiàn)代數(shù)學。

跟著我學數(shù)學，學生們真的感受到了數(shù)學的“好玩”。其實，只要學生覺得數(shù)學好玩，他們就會玩好數(shù)學。數(shù)學也在期望著，在它的宮殿里，不要只是愁眉不展的苦修者，更多的應該是快樂的、幸福的，覺得數(shù)學真正好玩的研究者。為了讓我和學生把數(shù)學“玩”得更深刻、更有味兒。

尊重每一個學生，是我做建模教學的核心理念

從1992年起，我又開始嘗試在中學開展數(shù)學建模的教學實踐與探索。

我在中學開展數(shù)學建模，起步階段是從國外引入了一些數(shù)學建模的教材，把它們翻譯過來，加工后逐步引入中學數(shù)學教育。有了應用國外建模案例的經(jīng)驗，我對數(shù)學建模的認識不斷提高，同時也深深感到，在我們的數(shù)學教育中應開發(fā)出適合學生使用的本土化建模問題。20多年來，我與我的研究團隊一起，與我的學生一起，花費大量的時間和精力，尋求、開發(fā)了應用數(shù)學問題，積累了幾十萬字的資料和求解報告，其中多項案例被國家《高中數(shù)學課程標準》和高中數(shù)學教材選用。我把數(shù)學建模引入中學數(shù)學教學的做法，在全國數(shù)學教育界產生了廣泛影響，我的學生200多人次在美國西屋“Inter”大賽、全國創(chuàng)新大賽，北京市數(shù)學知識應用競賽中獲獎。

做建模“問題意識”是關鍵。課堂上，都是老師給問題，學生被動地做教師提供的問題。而我特別在意把學習的機會、權利和責任還給學生。做建模的開始，老師和學生都提不出可做的問題，我就采取現(xiàn)場激發(fā)的辦法。一組組問題在相互激發(fā)的狀態(tài)下，很快就被提出來了，不少問題成為學生實際進行數(shù)學建模學習的素材。

小李同學通過觀察分析發(fā)現(xiàn)：人在一個規(guī)則的鋪滿地板磚的地面上，蒙上眼睛行走，踩線（地磚縫）的可能性大小，與行人所穿鞋的幾何尺寸以及地磚相對尺寸有關，通過幾何概率模型他找到了兩者之間的關系。論文的第一稿已經(jīng)不錯了，但我還是希望他進一步挖掘造成理論計算和實際統(tǒng)計結果之間誤差的原因，小李同學經(jīng)過進一步細致觀察和查閱文獻，發(fā)現(xiàn)“人在全盲狀態(tài)，在一塊開闊地上，在朝一個方向走的意念下，實際行走的軌跡不是直線，而是一個大圓”，從而較好地解釋了論文中誤差產生的原因，論文的第二稿又進了一步。但我還是對他說，你的工作做得不錯，但到現(xiàn)在還停留在“解釋世界”的層面，能不能提高到“改造世界”的層面呢？小李同學帶著這樣的要求又繼續(xù)觀察，他在動物園的兒童樂園里，看孩子們玩碰碰車，車帶著一個像無軌電車一樣的長導電桿與頂棚相觸，車的動力電源靠全金屬的頂棚供應。這時小李同學聯(lián)想到自己的研究結果，如果把頂棚換成金屬網(wǎng)格，導電桿與頂棚接觸部分的尺度超過網(wǎng)格的寬度，就像一只大鞋踩在小的地板磚上，不管碰碰車在什么位置，導電桿都會與金屬網(wǎng)格接觸，從而導電，這樣既節(jié)省金屬材料，降低造價，還能改善采光、通透和視覺效果。他把這種想法寫進了小論文，這個結果在北京市當年的某項論文競賽中獲一等獎。

尊重每一個學生，給他們提供更多的發(fā)展機會，是我做建模教學的核心理念，特別是一些學業(yè)成績不出色的學生。學生在課堂學習中由于各種原因，如基礎知識、個人興趣、教師水平、家庭環(huán)境等，造成了他們的成績分化。但考試成績中有不少是“應試能力”的表現(xiàn)，不一定是學生能力的全面體現(xiàn)。有的人“急中生智”，有的人“慢功出細活”，建模學習常常可以為不同能力結構的學生提供展示才能的機會。建模學習中適當分組，將有各種特長（或短處）的學生放在一起，有時常常會使學生產生意外的收獲。在數(shù)學建模活動中，提倡兩三位學生一起做一個課題，一位學生可能擅長計算機，另一位學生擅長實驗，還有一位學生可能擅長與人打交道，這樣在做調查時就可以承擔“公關”的任務。

記得有一次，3位初一的學生組成一個課題小組完成了一篇小論文，在發(fā)表前找到了我，問應該署誰的名字做第一作者，這種問題在以前的學生中不太會遇到。一是很少有這樣的機會，二是很少去考慮這樣的問題。面對這個“與時倶進”的問題，我先和學生們座談，請大家談一談各自在論文中的貢獻，自己的發(fā)現(xiàn)及別人的長處。然后給學生們提議，誰對這項研究的貢獻大，起主要作用，做出關鍵結果，誰就可以署第一作者，這篇文章誰做第一作者，相信你們能統(tǒng)一認識。作為老師，我的建議是，你們這個研究小組是一個非常好的研究集體，希望你們再繼續(xù)做第二個、第三個小課題，我想你們每一個人都可以做一次“第一作者”。一年過去了，“三人小組”已經(jīng)做完了三個小課題，在正式出版物上發(fā)表了兩篇文章，“第一作者”流動著。

小光同學是我班的體育特長生，學習上有些吃力，在我們的探究發(fā)現(xiàn)交流課上，頗不自信地介紹自己的“發(fā)現(xiàn)”：“我假期觀察的各種年歷，發(fā)現(xiàn)平年時，1、10月；2、3、11月；4、7月；9、12月的月歷表一致；而閏年時，1、4、7月；2、8月；3、11月；9、12月的月歷表一致。”

同學們聽到小光的介紹，表情頗有幾分不屑。我馬上心里一動，一個體育特長生能抓住身邊的小事，觀察發(fā)現(xiàn)，還會分類討論，實屬不易，應該鼓勵。我接過小光同學的話茬兒，說：你們就沒體會小光同學發(fā)現(xiàn)的“偉大的現(xiàn)實意義”和“深遠的歷史意義”。比如，有一種計算機病毒叫“黑色的星期五”，它的發(fā)作條件是計算機的日期如果是某月的13日是星期五，它就發(fā)作。請你找出距今天較近的3個使“黑色的星期五”發(fā)作的年、月、日。

再如，有人說：“最好的‘辦喜事的日子應該是‘6月6日，又是星期六，可這樣的日子是千載難逢的”，你同意這種說法嗎？你能找出幾個“6月6日，又是星期六”的具體年、月、日。

還有，印刷廠為了印刷每年的整張年歷，需要制作“年歷模板”。如果標題的年號和農歷不寫的年歷稱為年歷模板，不同的年歷模版只要有多少種？2016年的年歷模板，下一次哪年能用？

說到這里，小光眼里放光，露出得意的笑容。同學們被帶進了新的思考和討論。同學們用計算機發(fā)現(xiàn)“6月6日是星期六”的日子有2009年、2015年、2020年。因此“千載難逢”的說法不對。經(jīng)過建模學習的學生們還發(fā)現(xiàn)了更筒單的規(guī)律。之后的討論被小光“順理成章”了。半年后，小光成為班里數(shù)學建模的骨干，他的論文“澳門網(wǎng)球單打公開賽獎金分配的分析和揭秘”，在北京市獲獎。我真為他高興，重拾自信對于一個成長中的孩子多么重要！

去年假期，在學校值班。一位19年前畢業(yè)的學生專程來看我，進門后她就贈給我一本680頁厚的心理學經(jīng)典的中文譯著，這是她完成的作品。這我不吃驚，因為她曾是我教過的班級英語課代表，后來她選擇了文科，高考上了北京外國語大學。她和我談了19年來的成長和變化，特別感謝我?guī)袑W做的數(shù)學建模，使她在后來的英國華威大學做博士、德國馬克斯·普朗克研究所以及美國哥倫比亞大學做博士后工作時，能夠有勇氣選擇研究了有關心理測量和評估的數(shù)學模型，并取得了成就。這次回國創(chuàng)業(yè)，她成功地被清華大學聘為教授。我想，她的成就是她的努力和正確選擇的結果，我們的作用非常有限，唯一欣慰的是，我的學生們走出我的課堂時知道了，數(shù)學可用、有用、能用，從而他們自己進一步完成了想用、會用、善用數(shù)學的旅程。

我并不期盼每個學生都成為數(shù)學家，但如果通過我的教學，能使學生有一種在生活和學習中應用數(shù)學的思維觀念和習慣，使他們有追求卓越、不斷探索的創(chuàng)新精神和追求真理、勤奮求實、一絲不茍的理性精神，他們自身和我們的國家都將受益無窮。