一種擬插值算子的改進(jìn)

周 琴

（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009）

一種擬插值算子的改進(jìn)

周 琴

（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009）

為更好地提高擬插值算子的精度，文章對(duì)MQ擬插值算子的構(gòu)造及其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行改進(jìn)，得到一種具有3次方精度的擬插值算子。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明改進(jìn)的擬插值具有良好的逼近精度。

徑向基函數(shù)；擬插值算子；精度

1 MQ算法概述

MQ方法是由Hardy[1-2]在20世紀(jì)60年代提出，并探討了在地理、遙感和信號(hào)系統(tǒng)等方面的應(yīng)用；Powell等[3]構(gòu)造了3種擬插值算子LAf，LBf，LCf，并計(jì)算誤差；Wu等[4]對(duì)LCf進(jìn)行改進(jìn)，得到了擬插值算子LDf；Ling[5]在LDf(x)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了LRf(x)；同時(shí)陳榮榮[6]對(duì)LDf改進(jìn)，得到擬插值算子L4f。

本文主要是基于陳榮榮[6]提出擬插值算子L4f，運(yùn)用吳宗敏等[7]提出改進(jìn)的思想，得到一種具有3次方精度擬插值算子，并運(yùn)用數(shù)值算例驗(yàn)證新構(gòu)造的算子具有良好精度。

2 擬插值基本性質(zhì)

陳榮榮[6]通過(guò)在LBf(x)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，同時(shí)對(duì)LCf的端點(diǎn)處的進(jìn)行，并對(duì)其適當(dāng)改進(jìn)，加入一階導(dǎo)數(shù)，再用差商代替一階，最終變成L4f(x)的形式，其中xj為等距插值節(jié)點(diǎn)：

3 新的擬插值算子L4*Rf(x)改進(jìn)過(guò)程

定義公式3取插值結(jié)點(diǎn)：a=x0＜x1＜…＜xn=b，h=max(xj－xj－1)，對(duì)于已知函數(shù)f∈C1[x0,xn]→R和數(shù)據(jù){xj,fj}nj=0，j=0,1,…,n，新構(gòu)造的算子L4*Rf(x)按照3個(gè)步驟改進(jìn)：

（2）對(duì)定義相應(yīng)序列建立相對(duì)應(yīng)新的擬插值問(wèn)題，即{xk(j),fk(j)}mj=0；同時(shí)將新的擬插值問(wèn)題帶入陳榮榮[6]構(gòu)造的擬插值格式L4f(x)；經(jīng)變形可得到新的擬插值問(wèn)題誤差函數(shù)方程：

對(duì)公式3用節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)xj上進(jìn)行擬插值，可得{xj,εj}nj=0函數(shù)L4{xk(j)}f(x)的定義域?yàn)镽，已知函數(shù)值fj=f(xj)，由0≤j≤n，可計(jì)算得εj=ε(xj)。

（3）利用上一步得到的數(shù)據(jù)集{xj,εj}nj=0對(duì)L4{xk(j)}f(x)再次擬插值，得到新的擬插值：

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)選取幾種擬插值算子：Wu等[4]構(gòu)造的擬插值算子LDf，Ling[5]在LDf(x)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了LRf(x)，陳榮榮[6]提出擬插值算子L4f，新構(gòu)造的擬插值算子L4*Rf(x)作為被逼近函數(shù)，并且選擇不同步長(zhǎng)的h和形狀參數(shù)c在最大模度量下比較誤差，得到結(jié)果如表1—3所示，實(shí)驗(yàn)函數(shù)為：f(x)=sin(4.5x)。

表1—3表示實(shí)驗(yàn)函數(shù)的誤差數(shù)據(jù)，分析對(duì)比以上誤差數(shù)據(jù)可得：隨著步長(zhǎng)h和形狀參數(shù)c減小時(shí)，4種擬插值算子誤差都減小，而擬插值L4*Rf(x)算子誤差都是最小；在每一列中，步長(zhǎng)h和形狀參數(shù)c取相同的情況下，隨著插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，L4*Rf(x)算子誤差是最小的，逼近程度是最佳的. 這說(shuō)明擬插值L4*Rf(x)是可行的。

表1 在區(qū)間[0,1]之間取10個(gè)點(diǎn)，取h=0.1

表2 在區(qū)間[0,1]之間取100個(gè)點(diǎn)，取h=0.01

表3 在區(qū)間[0,1]之間取1 000個(gè)點(diǎn)，取h=0.001

[1]HARDY R L. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces[J].Journal of Geophysical Research, 1971（8）：1905-1915.

[2]HARDY R L.Theory and applications of the multiquadric biharmonic method[J].Computers & Mathematics with Applications, 2010（19）：163-208.

[3]BEATSON R K, POWELL M J. Univariate multiquadric approximation: quasi-interpolation to scattered data[J].Constructive Approximation, 1992（8）：275-288.

[4]WU Z M, SCHABACK R. Shape preserving properties and convergence of univariate multiquadric quasi-interpolation[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,1994（4）：441-446.

[5]LING L.An univariate quasi-multiquadric interpolation with better smoothness[J].Computers and Mathematics with Applications, 2004（48）：897-912.

[6]陳榮榮. MQ擬插值算子的構(gòu)造及其相關(guān)性質(zhì)[D].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2015.

[7]吳宗敏.散亂數(shù)據(jù)擬合的模型、方法和理論[M].北京：科學(xué)出版社，2007．

An improved quasi-interpolation operator

Zhou Qin
（Mathematics and Information College of China West Normal University, Nanchong 637009, China）

In order to improve the accuracy of the quasi-interpolation operator, the construction of MQ quasi-interpolation operator and its related properties are improved in this paper, a quasi interpolation operator with 3 cubed accuracy is obtained. Numerical experiments show that the improved quasi interpolation has good approximation accuracy.

radial basis function; quasi-interpolation operator; accuracy

周琴（1988— ），女，四川武勝，碩士，助教；研究方向：偏微分方程數(shù)值解。