基于自適應遺傳算法彈簧剛度優化的可調頻多維減振平臺設計

劉乃軍, 牛軍川

(山東大學 機械工程學院 高效潔凈機械制造教育部重點實驗室,濟南 250061)

基于自適應遺傳算法彈簧剛度優化的可調頻多維減振平臺設計

劉乃軍, 牛軍川

(山東大學 機械工程學院 高效潔凈機械制造教育部重點實驗室,濟南 250061)

依據特定工況下的振動激勵頻率設計得到的多維減振平臺，不能滿足多場所、多工況下減振的要求。通過改變彈簧剛度值調節減振平臺的固有頻率可實現其不同工況下多維減振的目標。給出了基于空間對稱3-PRC并聯機構設計的多維減振平臺模型；采用閉環矢量方法建立其運動學、動力學理論模型；采用自適應遺傳算法對滿足特定要求固有頻率的彈簧剛度值進行優化，得到了滿足誤差要求的彈簧剛度值，實現了多維減振平臺的調頻目標。為設計工作于變激勵工況下的多維減振平臺提供了一種新的思路。

減振平臺；調節頻率；彈簧剛度；自適應遺傳算法

多維振動和沖擊已成為影響諸如車輛、艦艇和航天器等機械設備工作性能和壽命的主要因素[1-3]。近年來，眾多學者將具有結構緊湊、強承載能力、高剛度等優點的并聯機構應用于多維隔振領域，取得了一定的效果。馬履中等[4]提出了將并聯機構作為減振裝置的主體，并在主動副處施加彈簧阻尼使其成為多維減振裝置的全新思想；許子紅等[5]以三平移并聯機構為例，驗證了并聯機構應用于多維減振的可行性，并列舉了部分適于做多維減振平臺的多自由度機型；之后以6-SPS[6]、3-PUU[7]、3-PRC[8]、3-RRC[9]等并聯機構作為多維減振機構的可行性相繼得到了驗證。此外，牛軍川等[10]給出了一種基于變胞并聯機構的多維減振平臺，可很好的解決維數可變的多維振動問題。

為此本文將通過改變彈簧剛度實現減振平臺的調頻問題轉化為已知減振平臺所需固有頻率對其彈簧剛度值進行優化的問題。通過建立多維減振平臺的運動學及動力學模型，推導得到其固有頻率表達式。采用交叉概率和變異概率可依據種群適應度大小進行自動調整的自適應遺傳算法(AGA)對減振平臺所需固有頻率相對應的彈簧剛度值進行優化，并通過算例對該方法進行驗證。

1 多維減振平臺簡介

基于對稱3-PRC并聯機構設計得到的多維減振平臺模型，如圖1所示。該平臺由上平臺(動平臺)、下平臺(靜平臺)及連接上、下平臺的三條相同運動支鏈組成，每條鏈均由移動副(A1、A2、A3)、轉動副(B1、B2， B3)及圓柱副(C1、C2、C3)構成。各分支鏈中移動副與轉動副布置在下平臺平面，圓柱副布置在上平臺平面，圓柱副軸線與轉動副軸線相互平行且均垂直于移動副軸線。在機構移動副A1、A2，A3處安裝彈簧阻尼裝置便構成多維減振平臺，其可實現空間三維移動方向的減振。通過調節彈簧剛度值可調節該多維減振平臺的固有頻率，實現調頻目的，以滿足多維減振平臺多工況下減振的要求。

圖1 多維減振平臺原理圖

2 運動學分析

如圖1所示，在靜平臺中心O處建立坐標系O{x，y，z}，在動平臺中心點P處建立固連于動平臺的坐標系P{u，v，w}，其中z、w坐標軸分別垂直于靜平臺與動平臺，x、u坐標軸沿第3支鏈轉動副軸線方向，y、v坐標軸由右手定則確定。在第i支鏈中，Ei,Fi分別為移動副與圓柱副在其相應軸線上滑動的起始點；didi0為移動副的移動位移矢量，其中di0為移動副的軸線方向單位矢量；sisi0為圓柱副的滑動位移矢量，其中si0為圓柱副軸線方向的單位矢量；lli0為豎直桿件矢量，其中li0為桿件所指向方向的單位矢量；動平臺中心點P在坐標系O中的位置向量為p；由點O指向Ei的矢量為ai，由點P指向Fi的矢量為bi，由移動副中心點指向轉動副中心點的矢量為ci。得閉環矢量方程為

(1)

設φi為矢量di0與固坐標系x軸方向的夾角，可得

(2)

由式(1)得

(3)

(4)

其中,

Di=p+bi+sisi0-ai-ci

(5)

由式(4)得機構的運動學逆解為

(6)

考慮到本文設計減振平臺構型中豎直桿件均向靜平臺中央內側傾斜，式(6)中應取負號。篇幅所限，運動學正解不再給出。

對式(1)兩邊求關于時間的導數，可得

(7)

式中,ωi為豎直桿件角速度。

對式(7)兩邊同時點乘li0，可得

(8)

進而得到

(9)

若矩陣Jd非奇異，則式(9)可寫為

(10)

式中,J為并聯機構的雅可比矩陣。

(11)

對式(3)兩邊求時間導數，由i=1,2,3可得

(12)

(13)

3 動力學分析

忽略移動副、豎直桿件的質量以及各關節摩擦力由虛位移原理可得

(14)

由式(10)、式(12)可得

δd=Jδp,δs=s0δp

(15)

將式(15)代入式(14)得

(16)

因式(16)對任意虛位移δp均成立，可得

(17)

考慮平衡狀態下微幅運動,將各慣性力代入式(17)整理可得

(18)

式中,Mp,Mc,K均為對角矩陣。

(19)

進而可得系統動力學方程為

(20)

若減振系統在平衡位置自由振動，令Γp=0，可得系統特征值方程為

(21)

(22)

4 自適應遺傳算法優化

4.1 目標函數

由式(21)、式(22)可得系統的固有頻率fi(i=1,2,3)是關于彈簧剛度ki(i=1,2,3)的非線性、強耦合動力學方程。若得到與多維減振平臺所需固有頻率fid相對應的彈簧剛度值kid，則該優化目標函數可表示為

s.t.kmin

(23)

式中,kmin,kmax分別為彈簧剛度的上、下限值。

4.2 算法設計

依據優化目標函數，可設計關于該多變量、多目標優化的自適應遺傳算法流程圖如圖2所示。

圖2 彈簧剛度遺傳算法流程圖

(2) 將種群中每個個體進行二進制編碼，得到個體數字串。

(3) 采用保守估計界限[14]構造法構造適應度函數

(24)

式中:βi為加權因子;αi為保守估計界限。

(4) 為防止遺傳控制參數中交叉概率(Pc)和變異概率(Pm)選擇不當致使產生計算效率低、易于早熟收斂等問題，為此在保持群體的多樣性的同時，保證算法的收斂性，提高算法的優化能力，采用自適應調整參數Pac,Pam，其表達式為

(25)

(26)

式中:p1,p2,p3,p4為自適應控制參數;Fmax分別為群體中的最大適應度值;Favg為每代群體的平均適應度值，F′為交叉兩個個體中較大適應度值。為保證每一代的優秀個體不被破壞，只需采用最優保存策略即可[15]。

4.3 算例分析

多位減振平臺的初始參數：a1=a2=a3=0.50 m，b1=b2=b3=0.25 m，c1=c2=c3=0.10 m，l1=l2=l3=0.20 m，上平臺質量mP=5 kg；圓柱副質量mc1=mc2=mc3=0.01 kg，多維減振平臺所需固有頻率f1d=20 Hz,f2d=50 Hz，f3d=40 Hz。遺傳控制算法中的初始參數：群體規模P=100，仿真代數T=300，個體字符串長度L=15，加權系數β1=β2=β3=0.33，保守估計界限α1=α2=α3=100 Hz。分別采用自適應遺傳算法及遺傳算法，得仿真優化結果如表1～表2所示，種群適應度變化如圖3～圖4所示。

表1 自適應遺傳算法仿真優化結果

表2 遺傳算法仿真優化結果

由表1～表2可得，采用自適應遺傳算法優化所得頻率誤差均小于3%，且與遺傳算法優化結果相比較，其精度更高,優化性能更好。由圖3～圖4可得，自適應遺傳算法在仿真80代時就到達最優值,而遺傳算法在仿真210代時達到最優值，且在種群進化過程中自適應遺傳算法所得種群適應度更高。因此與遺傳算法相比較，自適應遺傳算法優化速度更快，優化效率更高。由此可得，采用自適應遺傳算法優化后的彈簧剛度值可滿足實際工程中多維減振平臺所需固有頻率的要求,從而實現了調節多維減振平臺固有頻率的目標，為工作于多場所、多工況下多維減振平臺的設計提供了一種新的思路。

圖3 自適應遺傳算法種群適應度趨勢

圖4 遺傳算法種群適應度趨勢

5 結 論

(1) 將空間對稱3-PRC并聯機構作為主體機構并在主動副處施加彈簧阻尼得到了多維減振平臺模型。

(3) 鑒于多維減振平臺具有高度非線性、強耦合性動力學特征，本文將通過改變彈簧剛度以實現減振平臺的調頻問題轉化為已知減振平臺固有頻率對其彈簧剛度值進行優化的問題。

(2) 采用自適應遺傳算法對滿足特定要求固有頻率的彈簧剛度值進行優化。通過與遺傳算法進行比較，可看出自適應遺傳算法在求解效率和求解精度方面均具優勢，且得到了滿足誤差要求的彈簧剛度值，實現了多維減振平臺的可調頻目標，為工作于多場所、多工況下多維減振平臺的設計提供了一種新的思路。

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Design of an adjustable-frequency multi-dimensional vibration isolation platform based on spring stiffness optimization with adaptive genetic algorithm

LIU Naijun, NIU Junchuan

(Key Laboratory of High Efficiency and Clean Mechanical Manufacture Shandong University, Ministry of Education，School of Mechanical Engineering, Shandong University， Ji’nan 250061, China)

A multi-dimensional vibration isolation platform designed based on the specific vibration excitation frequency can’t meet the requirement of vibration isolation for multi-working place or multi-operational condition. Changing its spring stiffness to adjust the natural frequency of the vibration isolation platform can realize the goal of multi-dimensional vibration isolation under different operational conditions. Here, a multidimensional vibration isolation platform model based on a spatial symmetric 3-PRC parallel mechanism was built. Its kinematic and dynamic theoretical models were established with the closed-loop vector method. The adaptive genetic algorithm (AGA) was adopted to optimize the spring stiffness value satisfying the requirement of the specific natural frequency, and obtain the spring stiffness value to satisfy the error requirement and realize the goal of adjusting the natural frequency of the platform. The results provided a new idea for designing a multi-dimensional vibration isolation platform under the varying excitation working condition.

vibration isolation; platform; adjusting natural frequency; spring stiffness; adaptive genetic algorithm(AGA)

國家自然科學基金(51275275;51675306);山東省優秀中青年科學家科研獎勵基金(BS2010ZZ006)

2016-01-19 修改稿收到日期：2016-05-26

劉乃軍 男，碩士，1989年生

牛軍川 男，博士，教授，1974年生

TH112

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.025