多失效模式下多狀態(tài)伺服轉塔刀架系統(tǒng)頻率可靠性分析

劉晨曦， 陳 南

(1.江蘇大學 機械工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.東南大學 機械工程學院，南京 211189)

多失效模式下多狀態(tài)伺服轉塔刀架系統(tǒng)頻率可靠性分析

劉晨曦1， 陳 南2

(1.江蘇大學 機械工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.東南大學 機械工程學院，南京 211189)

根據頻率響應函數特性曲線的連續(xù)性，傳統(tǒng)頻率可靠性分析中僅將共振區(qū)與非共振區(qū)二分化值得商榷。提出了多失效模式下多狀態(tài)頻率可靠性分析方法，綜合考慮影響系統(tǒng)固有頻率各結構參數的隨機性、激勵頻率的隨機性，應用Monte Carlo仿真估計出系統(tǒng)頻率可用度，并根據相關性分析識別各結構隨機參數對系統(tǒng)頻率可靠性的影響。將該方法用于基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法所建立的伺服轉塔刀架系統(tǒng)動力學模型中，研究了其頻率可用度以及與系統(tǒng)狀態(tài)最為相關的結構參數，所得分析結果為系統(tǒng)優(yōu)化設計提供了依據。

伺服轉塔刀架；多失效模式；多狀態(tài)；頻率可靠性；相關性

伺服轉塔刀架(以下簡稱為刀架)是一種利用伺服電機驅動工位快速轉換，依靠液壓鎖緊的中高檔數控轉塔刀架。刀架配備在數控車床上，作為切削加工的動作執(zhí)行部件參與制造生產，直接承受著動態(tài)切削載荷，其本身的動態(tài)性能是車床整體動態(tài)性能的重要部分。當刀架系統(tǒng)所承受的動載頻率接近其固有頻率時將會發(fā)生共振，從而嚴重影響車床的加工精度甚至對系統(tǒng)穩(wěn)定造成破壞性的危害，因此需要對刀架系統(tǒng)進行頻率可靠性分析，評估系統(tǒng)不發(fā)生共振失效的概率。系統(tǒng)結構參數中，零件的材料密度、制造尺寸以及裝配部件的配合尺寸、位置尺寸等均存在一定的不確定性，相應地將帶來整個刀架系統(tǒng)固有頻率的不確定性，而不同隨機參數所產生的影響程度不同，如何定量評價影響的高低將對系統(tǒng)優(yōu)化提供指向。

以往對系統(tǒng)頻率可靠性研究中，通常根據激勵頻率與固有頻率的差值[1-3]或者比值[4]是否在特定區(qū)間范圍內來建立共振失效準則；對于不同的結構系統(tǒng)，所定義的區(qū)間范圍往往不同[5-8]，但狀態(tài)函數的建立均基于“共振準則”，即根據激勵頻率所處位置二分為共振區(qū)或安全區(qū)，相應地以評定系統(tǒng)失效或正常。事實上，頻率響應特征函數是一條平滑的連續(xù)曲線，對某一階固有頻率而言，激勵頻率與之越鄰近系統(tǒng)響應放大因子越大，越遠離則不存在放大效應，而在理想共振與理想安全之間存在著中間過渡狀態(tài)。因此，本文綜合考慮結構參數以及激勵頻率的隨機性，提出了多失效模式下多狀態(tài)頻率可靠性分析方法。

多狀態(tài)特性的引入帶來了分析問題維度和復雜性的增加。Monte Carlo仿真作為基于隨機試驗的數值模擬方法，具有通用性好、收斂速度與基本隨機參數維數、功能函數復雜程度無關的優(yōu)點，因此特別適于多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析[9]。本文選取可用度作為系統(tǒng)頻率可靠性的評價特征量，采用Monte Carlo仿真方法進行估計，并根據相關性分析識別各結構隨機參數對系統(tǒng)頻率可靠性的影響。

1 多失效模式下多狀態(tài)頻率可靠性分析方法

1.1 定義及必要性說明

根據頻響函數特性曲線，激勵頻率和系統(tǒng)固有頻率的比值與振幅放大系數所對應的關系反映了系統(tǒng)動態(tài)特性。因此，將固有頻率左、右鄰域劃分為不同的子區(qū)間，用于描述系統(tǒng)響應的優(yōu)劣狀態(tài)。

定義一 (多狀態(tài))對系統(tǒng)第i階固有頻率ωi，將頻率范圍(0,ωi]∪[ωi,+∞)劃分為ni個子區(qū)間，子區(qū)間j對應頻率范圍

(1)

以下將通過一個典型單自由度彈簧-質量系統(tǒng)來闡述頻率可靠性分析中引入多狀態(tài)特性的必要性。為方便說明，這里假定質量、剛度參數均為定值，僅考慮兩類服從不同分布規(guī)律的隨機激勵頻率，其中Y1服從正態(tài)分布Y1～N(μ,σ2)，Y2服從均勻分布Y2～U(0,σ/0.135 5)。系統(tǒng)固有頻率為ω，根據傳統(tǒng)共振準則界定失效域為(ka·ω,kb·ω)，恰好處在區(qū)間(μ+σ,μ+2σ)，如圖1所示。顯然在兩類激勵作用下，系統(tǒng)處于失效狀態(tài)的概率分別為區(qū)域A1、B1的面積，均為13.55%。因此，依據正常、失效狀態(tài)二分化，將認為該系統(tǒng)在兩類隨機激勵頻率下具有相同的頻率可靠性。

根據本文提出多狀態(tài)定義，由振幅放大因子將系統(tǒng)劃分為完全正常、臨界、完全失效3個離散狀態(tài)，對應激勵頻率所處子區(qū)間分別為(0,μ]∪[μ+3σ,+∞)、(μ,μ+σ]∪[μ+2σ,μ+3σ)、(μ+σ,μ+2σ)，如圖2所示。同理，概率密度函數曲線在各子區(qū)間下的面積即為系統(tǒng)處于不同狀態(tài)的概率。則在Y1、Y2兩類激勵下，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)的概率對應區(qū)域A2、B2面積，分別為36.3%、27. 1%。顯然傳統(tǒng)準則下將系統(tǒng)頻率可靠性視為等同有失妥當。

從以上說明可以看出，多狀態(tài)特性的引入將使得系統(tǒng)頻率可靠性模型更為精細化。

圖1 單自由度系統(tǒng)傳統(tǒng)兩狀態(tài)劃分Fig.1 Traditional two-state divide of a single-degree-of-freedom system

多自由度系統(tǒng)存在多階固有頻率，在傳統(tǒng)頻率可靠性分析中，激勵頻率處于任意一階固有頻率的共振區(qū)時，即認為系統(tǒng)將產生共振失效。換言之，系統(tǒng)失效與否的判定基于各階固有頻率下失效判定的串聯(lián)結構。同理，在引入“多狀態(tài)”特性后，以下將定義“多失效模式”的概念以確定系統(tǒng)狀態(tài)值。

定義二 (多失效模式)多自由度系統(tǒng)存在多階固有頻率ω1,ω2,…，根據定義一，對任意隨機激勵頻率相應地可以得到系統(tǒng)在各階固有頻率下的狀態(tài)判定值分別為g1,g2,…，且滿足各數值之間相互獨立。因此，系統(tǒng)狀態(tài)g可視為各階固有頻率下狀態(tài)判定值的或門運算[10]，滿足關系式

g=max(g1,g2,…)

(2)

式中：第i階固有頻率下的狀態(tài)判定值滿足gi∈(1,2,…,ni)；假定各階固有頻率下判定值的離散狀態(tài)個數相等，即具有n1=n2=…n，則系統(tǒng)狀態(tài)滿足g∈(1,2,…,n)。

圖3 多狀態(tài)“或”門Fig.3 Multi-state OR Gate

1.2 可靠性分析

考慮系統(tǒng)因材料、加工制造、裝配等因素所導致固有頻率特性的不確定性，定義結構隨機參數向量X=；另外系統(tǒng)在服役期間所承受的激勵頻率Y也為典型隨機變量，因此定義系統(tǒng)基本隨機參數列向量Z=，系統(tǒng)狀態(tài)顯然與Z直接相關，記為g(Z)。綜合考慮以上不確定性因素，本文采用Monte Carlo仿真方法以估計系統(tǒng)處于不同狀態(tài)的概率，鑒于其直觀精確且通用性強的優(yōu)點。本文所設計的嵌套式仿真試驗如圖4所示，基于以下思路：根據相同設計參數加工制造出的多臺機械設備因結構隨機參數向量X的不確定性，相應的固有頻率特性也具有隨機性；但是對一臺完成裝配調試的機械設備，可以認為系統(tǒng)固有特性是一定的，而在其服役期間，所承受的激勵頻率具有隨機性。

圖4 基于Monte Carlo仿真頻率可靠性分析流程圖Fig.4 Frequency reliability analysis flow chart based on Monte Carlo simulation

整個試驗流程可以描述為：

(1)定義計數數組Num1×n，并將所有元素均初始化為零，維數n為系統(tǒng)具有的離散狀態(tài)個數，第j個元素對應系統(tǒng)處于狀態(tài)j的次數；

(2)設置外層試驗總次數M1，并初始化外層試驗次數p=1；

(3)在一次外層試驗中，根據隨機參數所具有的已知分布規(guī)律抽樣產生結構隨機參數向量X，以健全系統(tǒng)動力學模型并求解系統(tǒng)固有頻率ωi(i=1,2,…)；

(5)在一次內層試驗中，根據已知的分布規(guī)律抽樣產生隨機激勵頻率參數Y，再由式(2)求解本次試驗的系統(tǒng)狀態(tài)g(Z)；

(6)更新計數數組Num：若本次試驗判定系統(tǒng)處于狀態(tài)j，則將Num中第j個元素數值增1，其他元素數值不變；

(7)判斷內層試驗次數q是否達到設定值M2，若q

(8)直到共計M=M1×M2次隨機試驗全部完成，則計算得到多失效模式下系統(tǒng)處于狀態(tài)j的概率估計值為

(3)

式中，Num(j)為計數數組的第j個元素數值。

(4)

結合概率估計值式(3)，則采用Monte Carlo仿真試驗方法得到系統(tǒng)頻率可用度估計值為

(5)

1.3 相關性分析

系統(tǒng)頻率可用度是結構隨機參數向量X的函數，如何定量識別不同隨機參數的變化對系統(tǒng)固有頻率特性改變，以至頻率可靠性變化的影響程度和影響方向，是對系統(tǒng)進行優(yōu)化設計的基礎。相關性分析可以用于定量兩個隨機變量之間的相互依賴與影響程度[12]，若相關系數的絕對值相對較大，則二者相關程度較高，反之二者依賴程度較低；因此依據隨機參數與系統(tǒng)狀態(tài)的相關性系數可以評判出影響程度最大的隨機參數，用于指導系統(tǒng)結構優(yōu)化。在圖4所示借助Monte Carlo仿真分析系統(tǒng)頻率可靠性的基礎上，可以同時得到隨機參數設計變量Xi與系統(tǒng)狀態(tài)g(Z)之間的相關性系數估計值為

(6)

2 刀架系統(tǒng)動力學模型

2.1 工作原理及結構模型簡化

如圖5所示為刀架結構三維模型：伺服電機提供的轉位動力通過三級齒輪傳動系傳遞到主軸上，經由內端齒盤過渡，通過螺栓連接再傳遞到刀盤上，完成目標工位的初步定位；另一方面，右端齒盤在箱體腔內的油缸中沿軸向滑動，通過內、外、右三片式端齒盤鎖緊結構，實現工位的精確定位。根據功能流模型的模塊劃分方法，可以將整機劃分為4大塊結構部件，如圖5所示。

圖5 刀架結構三維模型Fig.5 Three-dimensional model of turret structure

刀架固定安裝在數控車床托板上，在工作工位夾持刀具參與切削加工時，端齒盤結構在油壓作用下保持鎖緊，以保證刀盤結構部件直接承受的切削動載荷能平穩(wěn)傳至箱體并導入車床床身。在承載過程中，刀架各個零部件之間均無相對運動，因此在建立刀架系統(tǒng)動力學模型時需要針對研究重點，將其簡化為合理的分析模型。根據刀架承受切削載荷時的力傳遞路徑，安裝在箱體中的轉位結構部件(即三級減速齒輪系)不承受任何方向的外載荷，因此將前兩級軸系的質量(含伺服電機)作為配重加在箱體上視為箱體座整體，將第三級軸系視為主軸整體，忽略零件間連接剛度的影響；刀具安裝在刀盤工作工位，將其質量累計在刀盤上，并忽略刀具與刀盤連接剛度的影響。

2.2 動力學模型搭建

系統(tǒng)動力學模型的搭建是分析其固有頻率特性的基礎。多體系統(tǒng)傳遞矩陣法(MS-TMM)是一種快捷有效的分析方法[13]，其總體思路為：首先將復雜多體系統(tǒng)“化整為零”，分割成若干個具有通用特性的元件，如“剛體”、“彈性鉸”、“梁”等；每一元件的力學特性分別用矩陣表示，并將各項綜合聯(lián)立成系統(tǒng)總傳遞矩陣。這種方法的主要優(yōu)點在于：無需建立系統(tǒng)總體動力學方程，程式化程度高能靈活拼裝不同結構型式的多體系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣階次低且涉及的矩陣總是實矩陣。

根據刀架各個部件的自然屬性，基于MS-TMM將系統(tǒng)劃分為多個元件，分別視為空間剛體和彈性鉸，建立如圖6所示的多體動力學模型。根據“體”和“鉸”統(tǒng)一編號原則，基座(機床托板)編號為0，從箱體到刀盤，各元件依次編號為1、2、…、13。其中箱體座2、外端齒盤4、右端齒盤6、主軸9、內端齒盤11、刀盤13均視為相互獨立的空間振動剛體；而各振動剛體之間的結合部則采用空間彈性鉸元件來表征，通過三向彈簧和三向扭簧同時描述各個方向的剛度特性：其中箱體座與基座、外端齒盤與箱體座、內端齒盤與主軸、刀盤與內端齒盤之間的螺栓聯(lián)接依次編號為1、3、10、12；右端齒盤與外端齒盤、內端齒盤與右端齒盤之間的油壓鎖緊接觸分別編號為5、7；主軸與箱體之間的軸承支承則視為空間彈性鉸8。因此刀架的多體動力學模型即為：在基座支撐下，由7個空間彈性鉸聯(lián)接的6個剛體所組成的多剛體系統(tǒng)。

2.3 系統(tǒng)傳遞矩陣建立

根據MS-TMM所建立的多體系統(tǒng)傳遞矩陣庫以及符號約定，定義刀架動力學模型中不同振動剛體間各個聯(lián)接點的狀態(tài)矢量。狀態(tài)矢量是一維列陣，用于描述系統(tǒng)不同振動剛體之間各聯(lián)接點狀態(tài)的位移、轉角、內力矩和內力，共計15個節(jié)點的狀態(tài)矢量分別為Z0,1、Z2,1、Z2,3、Z2,8、Z4,3、Z4,5、Z6,5、Z6,7、Z11,7、Z9,8、Z9,10、Z11,10、Z11,12、Z13,12、Z13,14，形式均可表示為

Z=

(7)

式中，X、Y、Z分別為慣性坐標系下位移的模態(tài)坐標，Θx、Θy、Θz分別為慣性坐標系下角位移的模態(tài)坐標，Mx、My、Mz分別為慣性坐標系下內力矩分量的模態(tài)坐標，Qx、Qy、Qz分別為慣性坐標系下內力分量的模態(tài)坐標。

根據圖6所示動力學模型，由各元件傳遞矩陣聯(lián)立得到系統(tǒng)矩陣形式為

Uall·Zall=O36×1

(8)

圖6 刀架系統(tǒng)動力學模型Fig.6 Dynamic model of turret system

式中系統(tǒng)總傳遞矩陣、總狀態(tài)矢量分別為

(9)

(10)

刀架固定在基座0上，即Z0,1中慣性坐標系下位移、角位移的模態(tài)坐標元素均為零；刀架不參與切削加工時，刀盤不承受外載荷作用處于自由狀態(tài)，即Z13,14中慣性坐標系下內力、內力矩的模態(tài)坐標元素均為零。因此，系統(tǒng)邊界條件為

Z0,1=<0,0,0,0,0,0,Mx,My,Mz,Qx,Qy,Qz>0,1

(11)

Z13,14=13,14

(12)

(13)

通過求解式(13)即可計算出系統(tǒng)各階固有頻率ωi(i=1,2,3,…)。

3 基本隨機參數向量

3.1 結構隨機參數確定

在所建立的刀架動力學模型中，零部件自身及相互之間的質量、剛度特性體現在不同類型元件的傳遞矩陣當中，矩陣元素中所包含的隨機參數使得系統(tǒng)固有頻率特性也具有隨機性。定義刀架結構隨機參數向量

X=

(14)

3.1.1 空間彈性鉸

空間彈性鉸元件用以描述機械結構中零部件之間“結合部”的剛度特性，其理論依據來自于普遍采用的通過若干彈簧構成的動力學模型來等效結合部的動態(tài)特征。

箱體與基座、外端齒盤與箱體、內端齒盤與主軸，以及刀盤與內端齒盤均采用螺紋連接以實現不同零件之間的固連。吉村允孝研究指出當平均接觸壓力相同時，單位面積結合面的動態(tài)性能數據相同[14]。根據吉村允孝積分法，空間彈性鉸元件1、3、10、12各個方向上的等效線性/扭轉剛度隨機參數均值通過分別對結合面積求積分來確定，如表1所示。

右端齒盤與外端齒盤、內端齒盤與右端齒盤之間通過油壓鎖緊實現零件之間齒牙彼此相嵌的嚙合接觸。李浦等[15]提出運用有限元方法和應變能理論，通過對等截面圓環(huán)柱體的拉伸剛度EA和抗扭剛度GIP進行修正，得到端齒連接段的軸向剛度和扭轉剛度，其中圓環(huán)柱體的內外直徑分別等同于端齒的內外徑。采用該方法即得到空間彈性鉸元件5、7各個方向等效線性/扭轉剛度隨機參數均值，如表1所示。

主軸與箱體之間采用深溝球軸承16009支承，軸承主要參數為鋼球直徑DW=12 mm，鋼球中心節(jié)圓直徑dm=60 mm，鋼球個數Z=10，內、外圈溝道曲率半徑系數分別為fi=0.515、fe=0.520，實際工作接觸角α=15°。滾動軸承不承受扭矩，當徑向位移δr=0.001 mm，軸向位移δa=0.005 mm，根據經驗公式[16]即可計算得到空間彈簧元件8各個方向的等效線性剛度隨機參數均值，如表1所示。

表1 空間彈性鉸元件隨機參數均值

3.1.2 空間振動剛體

空間振動剛體元件直接對應著刀架零部件，統(tǒng)計得到各個剛體元件的質量隨機參數均值，如表2所示。

表2 空間振動剛體隨機參數均值

3.2 激勵隨機參數確定

刀架系統(tǒng)在工作過程中，切削載荷為隨機激勵作用在刀盤上，作用位置為刀盤體輸出點O。假設激勵頻率Y～N(μ,σ2;Yl,Yr)為服從截斷正態(tài)分布的隨機參數，則Y的概率密度函數[17]為

f(Y;μ,σ2,Yl,Yr)=

(15)

式中，φ()、Φ()分別為標準正態(tài)分布隨機變量的概率密度函數、累積分布函數，并記激勵頻率服從Y～N(650,416.672;0,2 500)。

因此，系統(tǒng)基本隨機參數均值向量、協(xié)方差矩陣分別表示為

E(Z)=<μK1,…,μK12,μm2,…,μm13,μY>

(16)

(17)

式中，對任意空間彈性鉸i有(i=1,3,5,7,8,10,12)有

(18)

(19)

4 系統(tǒng)頻率可靠性分析

(20)

為了更為直觀說明系統(tǒng)狀態(tài)的劃分區(qū)間，以某一次隨機試驗為例，表3列出了0～3 000 Hz范圍內的系統(tǒng)固有頻率，以及相應的狀態(tài)區(qū)間劃分。

表3 系統(tǒng)狀態(tài)對應激勵頻率所處子區(qū)間

表4 結構隨機參數與系統(tǒng)狀態(tài)相關性系數估計值(原系統(tǒng))

基于以上分析結論，擬定采用刀盤輕量化的優(yōu)化方案：刀盤是刀架企業(yè)的配件產品，具有一定的互換性要求，因此其結構尺寸的設計既要兼顧刀架配套數控車床的加工行程要求，又要與行業(yè)內基本規(guī)范相匹配。鑒于此，為了使得優(yōu)化后系統(tǒng)頻率可用度最高，以刀盤對邊寬度Ch、刀盤總厚度l作為可變參數建立優(yōu)化模型。刀盤體與其他零部件的連接尺寸均保持不變，可變參數Ch、l具有離散取值的約束條件。假定在任意可變參數組合下求得的刀盤體質量均服從正態(tài)分布，變異系數CV=σ/μ=0.01，因此建立單目標離散變量優(yōu)化函數為

(21)

式中Function表示基于Monte Carlo仿真的系統(tǒng)頻率可用度求解過程。

圖7顯示了離散尋優(yōu)的分析結果，可以清晰地看出隨著刀盤體質量增大，系統(tǒng)處于完全正常狀態(tài)的概率逐漸減小，而處于臨界、完全失效狀態(tài)的概率呈遞增趨勢。在尺寸約束條件下得到的最優(yōu)刀盤體對邊寬度Ch=270 mm、總厚度l=70 mm，刀盤體質量均值為25.04 kg，輕量化達到30%，此時系統(tǒng)頻率可用度估計值為

(22)

比較式(20)、(22)可知，對刀盤進行輕量化后，在多失效模式下多狀態(tài)刀架系統(tǒng)固有頻率可靠性有了明顯的提升。

圖7 系統(tǒng)狀態(tài)概率隨刀盤體尺寸變化Fig.7 Changes of system status probability along with the cutter body dimensions

5 結 論

(1)本文針對傳統(tǒng)頻率可靠性分析中共振準則二分化的不足，提出了多失效模式下多狀態(tài)系統(tǒng)頻率可靠性分析方法，綜合考慮結構參數以及激勵頻率的隨機性，應用Monte Carlo仿真估計出系統(tǒng)頻率可用度，并根據相關性分析識別各結構隨機參數對系統(tǒng)頻率可靠性的影響。

(2)基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法建立了刀架動力學模型，將各階固有頻率左、右鄰域劃分為3個子區(qū)間以定義系統(tǒng)3個離散狀態(tài)，將本文所提出方法應用于系統(tǒng)不同狀態(tài)的概率估計，并根據所識別出的影響最大的刀盤體質量隨機參數提出優(yōu)化方案，結果顯示輕量化后系統(tǒng)頻率可用度明顯提升。

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Frequency reliability analysis on multi-state servo turret systems with multiple failure modes

LIU Chenxi1， CHEN Nan2

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China;2. School of Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China)

According to the continuity of frequency response function curves, the method of simply dichomizing into resonant and non-resonant zones in conventional frequency reliability analysis is debatable. A new method for multi-state frequency reliability analysis with multiple failure modes was proposed, in which, the randomness of structural parameters and excitation frequency were taken into account. The Monte Carlo simulation was applied to estimate the system frequency availability, simultaneously, in accordance with the correlation analysis, the influences of each structural random parameter were identified. The new method was applied in a servo turret system, whose dynamic model was established by the transfer matrix method for multibody systems. Then, its frequency availability and the most related structural parameter were obtained, which provides a basis for further optimization.

servo turret; multiple failure modes; multi-state; frequency reliability; correlation

國家“高檔數控機床與基礎制造裝備”科技重大專項(2012ZX04002-032；2013ZX04012-032)

2016-02-17 修改稿收到日期： 2016-06-03

劉晨曦 女，博士，1988年生

陳南 男，教授，博士生導師，1953年生

TG659；TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.14.012