基于正則化核最大邊界投影維數約簡的滾動軸承故障診斷

趙孝禮, 趙榮珍, 孫業北, 何敬舉

(蘭州理工大學 機電工程學院， 蘭州 730050)

基于正則化核最大邊界投影維數約簡的滾動軸承故障診斷

趙孝禮, 趙榮珍, 孫業北, 何敬舉

(蘭州理工大學 機電工程學院， 蘭州 730050)

針對旋轉機械故障診斷中故障樣本獲取困難的現狀，提出一種基于正則化核最大邊界投影(Regularized Kernel Maximum Margin Projection, RKMMP)維數約簡的滾動軸承故障診斷方法。該方法首先利用RKMMP對小樣本、少標記信息的混合故障樣本集進行訓練降維，然后將降維后的低維敏感特征子集輸入到核極限學習機( Kernel Extreme Learning Machine, KLEM)分類器中進行故障識別。上述方法的特點是所提出的RKMMP能充分利用少量標記樣本信息與大量無標記樣本的故障信息，避免過學習的缺陷，同時通過添加正則化項克服小樣本問題。滾動軸承故障模擬實驗表明：該方法結合了RKMMP在維數約簡和KLEM在模式識別上的優勢，在一定程度上能提升故障診斷的泛化能力與識別精度。該研究可為解決好故障診斷中樣本獲取困難的問題，提供理論參考依據。

故障診斷；正則化核最大邊界投影；核極限學習機分類器；維數約簡

滾動軸承作為旋轉機械中應用廣泛且容易損壞的零部件，其運行狀態正常與否直接影響到系統的工作性能，因此對滾動軸承進行故障診斷有著重大的現實意義[1]。振動信號分析是軸承故障診斷主要手段之一，從非線性、非平穩振動信號中提取出能綜合反映故障狀態的多域量化特征指標的方法，已被廣泛應用于軸承故障診斷中[2]。但多域特征的引入使得多元冗余信息滲入其中，這將導致特征信息之間的相關性增大、數據的分類能力被嚴重惡化的問題。因此，需用維數約簡方法對特征數據進行有效的二次特征提取，提取出低維敏感的主要特征矢量[3]。

故障特征數據的獲取是基于維數約簡的故障診斷方法的關鍵一環，故障數據常常具有“小樣本、高維數”的特點[4]。在實際問題中，無標記的監測數據容易獲取，而有標記的監測數據獲取困難。若只利用少量有標記樣本則會導致學習系統泛化能力差；若只利用無標記樣本，則會浪費標記樣本中有用信息。基于有監督與無監督降維算法的不足，綜合利用少量標記信息和大量無標記信息，“半監督降維算法”逐漸成為解決此類問題的關鍵[5]。

最大邊界投影(MMP)是He等[6]提出的半監督降維算法。該算法的特點是：通過有區別的構建不同類別標簽的權重，最小化類內緊湊圖的同時最大化類間分離圖；使得高維數據的低維流形嵌入后，同類數據點更加緊密，異類數據點更稀疏。但MMP本質上是線性化的降維方法，處理非線性數據比較困難；此外，面對“小樣本問題”僅通過PCA預處理效果不明顯，且無監督模式容易丟失大量有用信息[7]。針對這兩點不足，欲通過引入核方法，可將MMP的作用范圍引入到非線性領域；進一步地，通過向目標函數添加正則化項克服小樣本問題[8]，提出正則化核最大邊界投影(RKMMP)算法，并將其應用到“小樣本、少標記信息”故障數據維數約簡的問題中。

故障診斷另一個核心問題是分類器的構建。核極限學習機(KELM)是Huang等[9]根據極限學習機(ELM)[10]的隨機映射缺陷，提出的一種改進的新型網絡學習方法。與傳統分類器相比，KLEM具有學習速度快、泛化能力強、魯棒性好等優點，在故障診斷等方面得到了廣泛應用[11]。

鑒于上述分析，本研究擬對RKMMP與KLEM相結合的維數約簡滾動軸承故障診斷方法進行探討。欲為“小樣本、少標記信息”的滾動軸承故障數據集的維數約簡與類別劃分，提供一種理論參考依據。

1 正則化核最大邊界投影(RKMMP)算法簡介

1.1 RKMMP算法的原理

MMP是LSDA[12]算法的半監督擴展，半監督學習的理論依據是根據先驗一致性假設：即同類標簽的樣本具有相同的流形結構，異類標簽的樣本具有不同的流形結構[13]。MMP既可以利用大量無標記樣本，避免過擬合問題；又可利用少量標記樣本刻畫數據的流形結構。為解決MMP算法無法有效處理小樣本問題與非線性數據的缺陷，提出全新的RKMMP算法。

所提出的RKMMP算法基本思路為：首先，通過核函數將數據點映射到高維特征空間F中；然后，充分利用有標簽與無標簽信息，構造有區別的權重矩陣來描述類內與類間近鄰圖Gw、Gb，即最大化同類標簽的數據點間的權重，最小化不同類別標簽的數據點間的權重；通過向目標函數中添加正則化項并優化，使得映射后的同類樣本間的點距離更近、異類更遠。具體描述如下：

將樣本點xi的近鄰集合N(xi)分為:近鄰樣本集中與xi同類別的數據子集Nw(xi)和近鄰樣本集中與xi不同類別的數據子集Nb(xi)。定義Nw(xi)、Nb(xi)分別為：

(1)

Nb(xi)=N(xi)-Nw(xi)

(2)

式中:c(xi)表示xi的類別標簽，k表示xi的近鄰個數。

(3)

(4)

式中，γ為衡量權值數，參考文獻[6]取值50。為使高維特征空間投影到低維特征空間后，類內近鄰圖數據點更加緊湊，同時類間圖數據點更加離散，建立兩個優化目標函數,即：

(5)

(6)

式中:Dw、Db分別為類內、類間對角矩陣，Lb=Db-Wb。對式(5)施加一個約束條件aTXDwXTa=1，進一步地將式(5)簡化為：

(7)

綜合兩目標函數式(6)、(7)，得到MMP的優化目標函數，即：

(8)

將式(8)轉換成求解廣義特征值問題見式(9)，即

X(βLb+(1-β)Ww)XTa=λXDwXTa

(9)

當訓練樣本數目小于樣本的特征維數時,MMP算法會出現病態奇異矩陣問題，也就是“小樣本問題”。這容易導致MMP無法計算出最佳投影矩陣或計算結果不穩定。為使奇異矩陣變成正定矩陣，通過添加一個正則化常數δ與單位矩陣I乘積所得常數矩陣δI作為正則因子，即將式(9)轉變為RMMP的廣義特征值問題：

X(βLb+(1-β)Ww)XTa=λ(XDwXT+δI)a

(10)

RKMMP則是通過引入式(11)所示的RBF核函數，將RMMP的應用擴展到非線性領域。

Ki,j=<φ(xi),φ(xj)>=exp(-‖xi-xj‖/t)

(11)

式中:φ表示非線性函數;t表示核參數。在Hilbert空間F中式(10)變形為

φ(X)[βLb+(1-βWw](X)Taφ=
λ[φ(X)Dwφ(X)T+δI]aφ

(12)

式中，aφ是由F空間所有向量線性組合而成的解向量，則存在向量aφ=[a1,a2,..,an]滿足：

(13)

結合式(12)、(13)，對式(12)兩邊做內積，可得KRMMP優化目標式(14)：

K[βLb+(1-β)Ww]Ka=λ(KDwK+δI)a

(14)

1.2 RKMMP算法的實現流程

RKMMP算法具體步驟如下：

輸入：高維空間數據集X={(x1,c1), (x2,c2),..(xl,cl),xl+1,...xl+u},xi∈Rd,

輸出：低維特征向量Y，投影映射矩陣A。

(1)將原始數據集X進行數據歸一化，得到Xo。

(2)將Xo通過核函數K(·)映射到高維特征空間F中，得到φ(Xo)。

(3)利用有標記樣本和未標記樣本，根據式(5)、(6)通過k近鄰法對數據集構造類內、類間近鄰圖。

(4)根據權值矩陣，求解式(14)的廣義特征值和特征向量。得前m個最小非零特征值對應的特征向量，構成投影向量aφ={a1，a2,…，am}，并將φ(Xo)通過a進行降維投影，得到映射后的低維特征集Y=aTφ(Xo)。

2 核極限學習機(KELM)算法簡介

2.1 KELM分類器

KELM作為ELM算法的擴展，是由Huang等根據SVM與ELM的優化角度，將核函數引入到極限學習機中，克服了隨機初始值導致的不穩定問題。

(15)

式中：β表示輸出權重矩陣；h(xp)表示輸入xp經隱含層映射后的輸出矩陣；若ELM的隱含層輸出函數G(w,x,b)已知，則計算h(xp)形式如下

h(xp)=[G(w1·xp+b1),…,G(wL·xp+bL)]

(16)

式中:w為輸入權值，b為偏值；w、b在訓練中隨機賦值。

由Karush-Kuhn-Tucker (KKT)定理可知，ELM的訓練學習等效為求解如式(17)的對偶優化問題：

(17)

式中：C為懲罰系數，用以權衡結構風險和經驗風險之間的比例；τp表示理論輸出tp與實際輸出f(xp)的誤差；αp為拉格朗日算子，求解式(17)可得：

(18)

式中：H為隱含層輸出矩陣，T=[t1,t2,...,tN]表示輸入樣本集的目標向量。HHT在求解廣義逆過程中，因數據存在復共線性導致HHT非奇異，容易引起不穩定現象。故將核函數思想引入ELM中，根據Mercer條件定義核矩陣：

Ψ=HHT∶Ψi,j=h(xi)·(xj)=K(xi,xj)

(19)

通過核矩陣K代替HHT，由式(18)、(19)代入式(15)中得KLEM輸出模型：

f(xp)=[K(xp,x1),…,K(xp,x1)]ζ

(20)

(21)

式中，ζ即為KELM網絡的輸出權值。

由以上過程可知，通過向KELM添加偏值常量1/C，可增加系統的穩定性與泛化能力；同時KLEM無需設置眾多參數，只需選擇合適的核函數。相對于ELM，KELM解決分類與回歸問題效果更好，具有更強大的非線性逼近能力。

2.2 KELM分類器故障辨識流程

KLEM算法故障辨識流程圖見圖1。它的具體實現步驟如下：

圖1 KELM分類器的故障辨識流程圖Fig.1 The flow chart of fault identification of the KELM classifier

(1)將輸入樣本分為訓練樣本集與測試樣本集，確定核參數及懲罰因子。

(2)求解出輸出權值β，寄存KELM參數，得訓練學習后的KELM分類器。

(3)將測試樣本與訓練樣本輸入KLEM分類器中進行故障診斷。

3 設計的RKMMP維數約簡的故障診斷方法

3.1 混合故障數據集、RKMMP與KELM相結合的故障診斷方法的探討

為解決故障診斷過程中，訓練樣本與有標記信息樣本較少導致故障診斷困難的現狀。擬以軸承故障數據集為實驗對象，提出RKMMP維數約簡與KELM分類器相結合的故障診斷方法。該方法所提出的RKMMP半監督降維方法，一方面能綜合利用少量有標記故障樣本與大量無標記故障樣本，提取出最佳分類的低維特征子集，另一方面正則化與核方法的引入能有效克服小樣本問題，增強其處理非線性問題的能力。故障診斷的實質是模式識別，方法中的KELM分類器能快速、穩定、精確地實現故障類別的量化表征。

所設計的故障診斷方法主要思路為：首先，以滾動軸承的振動信號為對象，從時域、頻域、時頻域等多方面構建能全面反映故障信息的高維、小樣本、少標記信息的混合故障數據集，然后將數據集輸入到RKMMP中降維處理，得到低維敏感的特征子集；最后，將低維特征子集輸入到KELM分類器中進行訓練學習與故障辨識，得出故障診斷結果。

3.2 故障診斷方法實現的流程與步驟

設計的基于RKMMP維數約簡的故障診斷方法流程，見圖2。整個故障診斷方法由如下幾個步驟實現：

圖2 故障診斷方法流程圖Fig.2 The flow chart of fault diagnosis method

步驟1 對機械振動信號進行采集，從時域、頻域和時頻域方面做特征提取，得到原始數據特征集X。

步驟2 根據故障數據的具體特性確定核參數t，并將特征集經高斯核函數K(·)映射到高維特征空間F，在此空間進行RMMP降維，得到低維特征集Y。

步驟3 將低維特征集Y輸入KELM進行模式識別，得到測試樣本的故障類型。

4 實驗結果與分析

4.1 實驗數據的來源

實驗中所采用的實驗數據來源于美國凱斯西儲大學(CWRU)電氣工程實驗室的滾動軸承實驗數據[14]。實驗軸承的型號為6205-RS JEM SKF深溝球軸承。軸承的具體參數為：內徑25 mm，外徑52 mm，厚度15 mm，滾動體直徑8.18 mm。實驗所選取的數據是在如下條件下測得：電機負載為2 hp，在采樣頻率為48 kHZ，轉速為1 750 r/min情況下，通過驅動端軸承座上的加速度傳感器拾取振動信號。實驗中軸承的損傷是用電火花加工模擬，選取故障尺寸為直徑0.53 mm、深度為0.28 mm(故障等級為嚴重)的三種典型故障類型：外圈故障、內圈故障、滾動體故障。以2 048個采樣點為一組樣本，分別截取軸承外圈、軸承內圈、滾動體故障以及正常四種狀態下的振動信號各50組，以其中每種狀態的20組作為訓練樣本(其中前5組為有標記故障樣本，后15組為無標記樣本)，余下的30組作為測試樣本。為建立高維、小樣本混合故障特征集，需從時域、頻域、時頻域多個角度構建如表1的特征集合，共得到108個特征參數(得到4×20×108維的小樣本故障數據特征集)。其中，因軸承信號包含四種故障類型，故EMD最少能分解出4個固有模態函數(IMF)和一個余項信號，為充分把握原數據的特征信息，提取前5層IMF分量及復雜度作為能量特征，即35～44號特征；同時采用db4小波包函數對振動信號進行6層正交小波包分解，分解出的各頻帶的能量特征，即45～108號特征。

表1 特征參數

4.2 應用情況與分析

從實驗數據中構建高維混合故障特征集，輸入到RKMMP中進行維數約簡，再通過KELM分類器進行故障識別。根據文獻[6]，設置參數近鄰值k=5、調節因子設置為0.5、正則化因子設置為1；為充分涵蓋原始數據集的本質信息，目標維數統一降維到3維(目標維數=故障類別數-1)；為驗證所提方法的有效性，分別采用PCA、KPCA、KLSDA、MMP、KMMP算法對原始故障數據集進行維數約簡(其中，KLSDA、MMP、KMMP經過PCA預處理)，作對比試驗。為方便后續工作，分別記六種算法{PCA, KPCA, KLSDA, MMP, KMMP, RKMMP}={R1, R2, R3, R4, R5, R6}。對核函數參數選取，采用五折交叉法選取最優高斯核參數，得到KPCA、KLSDA、KMMP、RKMMP的核參數分別為t=88、75、20、60。在降維過程中，半監督算法只利用有標記故障樣本，無監督算法利用所有樣本，但不利用故障標簽信息；有監督算法只利用有標記樣本進行降維學習。為評估方法的有效性，實驗從以下三個角度進行驗證：

4.2.1可視化降維與故障辨識結果對比

將故障數據集輸入到降維算法中，得六種方法的降維后測試樣本三維嵌入圖，見圖3。

(a)PCA (b)KPCA (c)KLSDA

(d)MMP (e)KMMP (f)RKMMP圖3 測試樣本基于不同方法的降維結果Fig.3 The test sample results based on different methods of dimensionality reduction

從圖3可以看出：RKMMP降維后的聚類與分類效果最好，其降維后的各故障類內距離小、類間間距明顯；PCA的降維后測試樣本聚類與分類效果最差；其他四種算法聚類與分類效果介于二者之間。除RKMMP外，其他五種降維方法的故障間都存在著一定程度的交叉混疊現象，其中外圈與滾子故障降維效果六種算法都不理想；正常狀態的各類算法降維結果都較為成功。

同時，將降維后的低維特征子集輸入ELKM分類器中進行故障模式識別。KLEM核函數取RBF型，交叉優化參數得C=100，t=40。訓練得到六種算法降維后各類故障的識別準確率，見圖4所示(其中，外圈、軸內圈、滾動體以及正常四類狀態分別記為F1、F2、F3、F4，而F5為四類故障的總體平均識別率)。圖4中，六種降維方法的總體平均識別率逐漸上升，平均識別率RKMMP最高，PCA最低；針對單個故障，滾子故障的識別率六類算法都未能準確劃分出；正常狀態識別率最好，六種算法都能準確識別出來。

圖4 六類算法的故障診斷結果Fig.4 Fault diagnosis result of six algorithms

由圖3、圖4得如下結論：

1) PCA的降維效果及識別正確率最差，這由于PCA是基于二階統計信息，只能保持數據的最大方差方向投影，忽略了原始特征空間的非線性特征結構，故效果較差；KPCA降維效果及識別率一般，這是因為KPCA雖然具有較強的非線性提取能力，但其保持局部信息的能力較低；PCA、KPCA無監督方式導致其無法在類別信息的指導下進行維約簡，易丟失大量利于分類的信息，整體識別率較低。

2) KLSDA、MMP的降維效果及識別正確率一般。這是由于KLSDA雖然能挖掘出局部流形結構信息，但過度依賴于少量有標記的故障樣本，導致過學習問題，無法取得理想的故障診斷結果；MMP雖然能夠綜合利用有類別標簽與無類別標簽信息，但MMP本質是線性降維方法，故降維與辨識結果未能取得最優。

3) RKMMP降維與故障識別結果比KMMP等其它五種方法都好的原因是，KMMP無法克服小樣本問題，PCA處理后容易丟失大量有用信息，導致無法取得最優。RKMMP既能利用無標記故障樣本中的故障信息，又能克服KLSDA等有監督算法出現的過學習問題，核方法及正則化的改進提高了其應用范圍及泛化能力，故取得最優的故障診斷結果，圖3的降維情況與圖4的結果證明了基于RKMMP維數約簡的故障診斷方法的有效性。

4.2.2 RKMMP解決小樣本與少標記信息的性能驗證

為測試RKMMP算法對小樣本問題處理能力，通過改變各類故障的訓練樣本與測試樣本的比例，設置每組10/40、15/35、20/30、25/25、30/20、40/10(其中訓練樣本小于25時為小樣本情況，有標記故障樣本為前5個不變)。并得六類降維算法低維測試樣本輸入KELM分類器所得的平均識別率，見圖5。

圖5 不同訓練樣本數對應的平均識別準確率Fig.5 The average recognition accuracy of different training sample

從圖5中可以看出：①總體上，除KLSDA只利用有標記故障樣進行訓練不變外，其他五種降維方法的識別準確率都隨著訓練樣本數的增加而增加，這是因為訓練樣本越多，就越能表征數據的整體情況，故障識別率得到一定提升;②PCA、KPCA在少訓練樣本情況下，準確率下降明顯；MMP、KMMP雖然在一定程度能夠克服小樣本問題，但效果不明顯，這是因為PCA預處理作為無監督方式，容易丟失大量分類信息，不能有效處理“小樣本問題”，導致故障診斷效果下降;③其中，RKMMP的穩定性能最好，即使在小樣本情況下也能取得較高的識別率，這是因為正則化的改進對小樣本問題處理效果明顯，從而說明RKMMP能夠有效處理小樣本問題，推廣適應能力較強。

為進一步地驗證方法中RKMMP綜合利用有標記與無標記樣本的能力，即測試算法中標記樣本與無標記樣本比例對降維效果的影響。設置如下實驗選取訓練樣本與測試樣本比例為30/20不變(去除小樣本因素影響)，分別依次增加各類故障有標記樣本數目，設置各狀態有標記訓練樣本分別為2、5、10、15、20、25、30個。經RKMMP等算法訓練降維后，并得低維測試樣本輸入KELM分類器所得的平均識別率，見圖6。

從圖6中可以看出：

(1)隨著訓練類別標簽樣本數的增加，KLSDA、MMP、KMMP、KRMMP的分類識別率隨之增加，這是因為隨著故障標記的增加，先驗信息越多，過擬合現象隨之減少，故障識別率增加。而PCA、KPCA無監督算法無法利用有標記故障樣本，故無影響。

(2)其中，有監督學習算法KLSDA受故障標記影響較大，識別率變化比較明顯，說明有監督算法嚴重依賴故障標記信息；而半監督算法對少量類別標記的訓練樣本也有著良好的故障分類性能，說明半監督算法能夠同時利用樣本的有標記與無標記故障信息。

(3)RKMMP的穩定性能最好，識別準確率一直高于其他算法；尤其是在標記樣本極其少量的情況下，RKMMP、KMMP、MMP等半監督算法就能獲得較高的故障診斷精度，進而說明半監督學習算法的在處理少量有標記故障樣本時的優越性。

圖6 有故障標記數目對故障診斷的影響Fig.6 The influence of fault labeled number for fault diagnosis

4.2.3 方法中KELM分類器的性能驗證

為進一步驗證分類器KELM優異的魯棒性與穩定性，訓練與測試樣本之比為20/30等參數不變的情況下。參考文獻[15]向原始混合故障數據集中添加系數a=0.1、0.2、0.4、0.8的隨機干擾噪聲，將經RKMMP降維后的結果輸入到KELM、BP、SVM、ELM分類器進行的故障辨識結果作對比，得到故障識別平均準確率，如表2所示。

由表2中可以看出：添加隨機噪聲后，ELM的故障診斷結果波動較大，而KELM變化小；說明KELM的識別率的穩定性要優于ELM，原因是ELM初始值的隨機性導致其訓練不穩定且泛化能力差，KELM在核映射條件下穩定性能更好；由此證明了經RKMMP降維后的KELM分類器具有較好的魯棒性能，穩定性好、泛化能力強的特點。

表2 不同分類器的抗干擾能力對比

5 結 論

為解決故障診斷過程中故障樣本獲取困難的現狀，提出基于改進的半監督降維算法RKMMP維數約簡的滾動軸承故障診斷方法。首先，新提出的RKMMP算法具有良好的維數約簡能力，能充分利用有標簽與無標簽信息，克服小樣本問題，提取出低維敏感、具有鑒別能力的特征子集；然后，將低維特征子集輸入到KELM分類器中，KELM分類器能更精確、穩定地實現故障類別的劃分，適應多類樣本問題。實驗結果表明，所提方法能夠對少訓練樣本、少標記信息的軸承故障數據集進行有效地維數約簡與故障辨識，為滾動軸承故障診斷提供了一種新的解決思路。該研究后續工作可以從以下幾個方面進行：

(1)只對軸承的嚴重故障進行診斷，尚未涉及對早期、輕度等故障類型進行診斷。

(2)KELM分類器的核參數選取只采用交叉驗證獲得，需要進一步的優化。

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Fault diagnosis of rolling bearings based on the dimension reduction using the regularized kernel maximum margin projection

ZHAO Xiaoli, ZHAO Rongzhen, SUN Yebei, HE Jingju

(School of Mechanical and Electronical Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

In view of the difficulty of fault samples’ acquisition in the fault diagnosis of rotating machinery, a novel fault diagnosis method for rolling bearings based on the dimension reduction using the regularized kernel maximum margin projection (RKMMP) was proposed. In the method, the RKMMP was used to reduce the dimension of the mixed fault data set of small samples and less labeled information. Then the low-dimensional sensitive feature subset was input into a kernel extreme learning machine (KLEM) classifier for training and fault identification. The characteristics of the method is that the proposed RKMMP can make full use of the labeled information of small samples and the fault information of numerous unlabeled samples, and avoid the problem of over-fitting. At the same time, a regularization term was added to overcome the disadvantage of small samples. The simulations on rolling bearing fault diagnosis show that the method combines the advantages of RKMMP in dimension reduction and of KLEM in pattern recognition. To a certain extent, it can improve the generalization ability of fault diagnosis and the accuracy of recognition. The study solves the problem of samples’ acquisition and provides a theoretical support to the rolling bearing fault diagnosis.

dynamic response ; multiaxial random excitation; vibration fatigue; modal shape

國家自然科學基金(51675253)；高等學校博士學科點專項科研基金(20136201110004)

2016-04-20 修改稿收到日期： 2016-06-12

趙孝禮 男，碩士生，1991年生

趙榮珍 女，博士，教授，博士生導師，1960年生

TP18; TH165

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.14.016