基于動(dòng)力學(xué)共線剛度的空間隔振平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

張永亮， 郭百巍

(1. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三研究所， 北京 100015；2. 北京理工大學(xué) 飛行動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100081)

基于動(dòng)力學(xué)共線剛度的空間隔振平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

張永亮1， 郭百巍2

(1. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三研究所， 北京 100015；2. 北京理工大學(xué) 飛行動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100081)

針對(duì)空間隔振平臺(tái)的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，引入一個(gè)新的評(píng)價(jià)指標(biāo)——?jiǎng)恿W(xué)共線剛度。空間隔振平臺(tái)上下平臺(tái)的半徑和相鄰鉸接點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圓心角被選為設(shè)計(jì)變量，以最小動(dòng)力學(xué)共線剛度的最大化為目標(biāo)函數(shù)，以在指定的帶寬內(nèi)動(dòng)力學(xué)共線剛度滿足工程設(shè)計(jì)要求為約束條件，建立參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的模型，并以遺傳算法為優(yōu)化工具進(jìn)行數(shù)值求解。仿真結(jié)果表明，經(jīng)參數(shù)優(yōu)化后的空間隔振平臺(tái)滿足工程設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。

空間隔振平臺(tái)；動(dòng)力學(xué)共線剛度；遺傳算法；優(yōu)化設(shè)計(jì)

對(duì)于空間隔振平臺(tái)，要想獲得某些期望的性能，其結(jié)構(gòu)必須進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。空間隔振平臺(tái)的優(yōu)化包括結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和尺寸方面的優(yōu)化兩方面的內(nèi)容，但限于其應(yīng)用場(chǎng)合及特定目標(biāo)要求，本文要研究的空間隔振平臺(tái)結(jié)構(gòu)上選用Stewart[1]平臺(tái)結(jié)構(gòu)構(gòu)型，并在此基礎(chǔ)上研究結(jié)構(gòu)參數(shù)尺寸對(duì)期望性能的影響，通過(guò)某些優(yōu)化算法獲取最優(yōu)的尺寸參數(shù)組合?？臻g隔振平臺(tái)的優(yōu)化設(shè)計(jì)既是一個(gè)多性能指標(biāo)和多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，這些性能指標(biāo)包括運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜態(tài)性能指標(biāo)(各向同性[2-3]、操作數(shù)[4-5])；動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)(平衡性[6-7]、動(dòng)力學(xué)各向同性[8-9]、自然頻率[10]、動(dòng)力學(xué)響應(yīng)等[11])；精度性能和剛度性能[12-13]，同時(shí)，由于選取的目標(biāo)函數(shù)不同[14]，約束函數(shù)不同或優(yōu)化算法不同，使得空間隔振平臺(tái)的優(yōu)化問(wèn)題又是一個(gè)多解的問(wèn)題。

動(dòng)力學(xué)共線剛度[15]是靜力學(xué)剛度的擴(kuò)展，它的大小取決于空間隔振平臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和質(zhì)量慣性參數(shù)，其最大和最小取值可以作為優(yōu)化空間隔振平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)指標(biāo)。

1 空間隔振平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型

空間隔振平臺(tái)由基礎(chǔ)平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和六個(gè)支腿構(gòu)成，基礎(chǔ)平臺(tái)和支腿之間通過(guò)U型鉸連接，動(dòng)平臺(tái)和支腿之間通過(guò)球型鉸連接，支腿可以簡(jiǎn)化為只有彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)的彈性振子模型。其整體結(jié)構(gòu)圖,如圖1所示。

圖1 空間隔振平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The abridged general view of space-based vibration isolation platform

其中上、下平臺(tái)各鉸接點(diǎn)的分布圖如圖2所示。

圖2 上、下平臺(tái)鉸接點(diǎn)分布圖Fig.2 The distribution of the connect points on the top and bottom

為了方便對(duì)空間隔振平臺(tái)的模型進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，定義以下幾個(gè)坐標(biāo)系：

(1)坐標(biāo)系{W}，坐標(biāo)原點(diǎn)位于基礎(chǔ)平臺(tái)的質(zhì)心，與基礎(chǔ)平臺(tái)固連；

(2)坐標(biāo)系{P}，坐標(biāo)原點(diǎn)位于上平臺(tái)的質(zhì)心，與上平臺(tái)固連；

(3)坐標(biāo)系{G}，全局慣性坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)與動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心重合。

設(shè)上平臺(tái)半徑為rp、基礎(chǔ)平臺(tái)半徑為rb、上平臺(tái)相鄰鉸接點(diǎn)之間的夾角為α、基礎(chǔ)平臺(tái)相鄰鉸接點(diǎn)之間的夾角為β，平臺(tái)高度為h(各支腿保持平衡時(shí))，支腿的初始長(zhǎng)度為l0，上平臺(tái)質(zhì)心相對(duì)于平衡位置的廣義位移為

χp=[xpypzpαpβpγp]T

基礎(chǔ)平臺(tái)質(zhì)心相對(duì)平衡位置的廣義位移為

χb=[xbybzbαbβbγb]T

則上、下平臺(tái)各鉸接點(diǎn)在全局慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量為

(1)

(2)

上、下平臺(tái)各鉸接點(diǎn)在全局慣性坐標(biāo)系中的速度矢量為

(3)

(4)

則各支腿的方向矢量為

忽略支腿特性且假設(shè)支腿對(duì)上平臺(tái)的作用力僅僅體現(xiàn)在支腿方向上，則各個(gè)支腿對(duì)上平臺(tái)的作用力分別為：

(5)

令f=[f1f2f3f4f5f6]T，則有

(6)

其中

對(duì)于質(zhì)量慣性矩陣為M的上平臺(tái)，由牛頓-歐拉方程可得

(7)

在支腿特性和載荷的質(zhì)量慣性特性已經(jīng)設(shè)定的情況下，慣性質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均為常矩陣；隔振平臺(tái)的自由模態(tài)只和平臺(tái)的參數(shù)尺寸和姿態(tài)有關(guān)。對(duì)于空間隔振平臺(tái)，平臺(tái)姿態(tài)變化是一個(gè)微小量，可以認(rèn)為在振動(dòng)過(guò)程中，其姿態(tài)不發(fā)生變化。因此隔振平臺(tái)的自由模態(tài)僅僅和平臺(tái)的參數(shù)尺寸有關(guān)。

設(shè)定各個(gè)支腿的特性相同，則當(dāng)平臺(tái)的廣義剛度矩陣為

(8)

2 優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

優(yōu)化算法設(shè)計(jì)主要包括根據(jù)待優(yōu)化的性能指標(biāo)確定目標(biāo)函數(shù)模型，根據(jù)實(shí)際的各種限制確定約束函數(shù)模型，并根據(jù)目標(biāo)函數(shù)模型和約束函數(shù)模型確定合適的優(yōu)化算法。

2.1 目標(biāo)函數(shù)模型

針對(duì)所要研究的問(wèn)題，忽略空間隔振平臺(tái)的阻尼項(xiàng)，則牛頓—?dú)W拉動(dòng)力學(xué)方程可簡(jiǎn)化為

(-ω2M+K)δ=f

(9)

式中:f為受到的力和力矩矢量;δ為線位移和角位移矢量。定義矢量

δ=[δxδyδzδθδψδφ]T
f=[TxTyTzFxFyFz]T

其中，F(xiàn)x，F(xiàn)y和Fz分別是沿X軸，Y軸和Z軸方向的主動(dòng)力；Tx，Ty和Tz為主動(dòng)力矩；δx，δy和δz分別為沿X軸，Y軸和Z軸方向的線性位移；δθ，δψ和δφ分別為繞X軸，Y軸和Z軸的旋轉(zhuǎn)角位移。根據(jù)其單位的不同，可以劃分為

力矢量F=[FxFyFz]T，
力矩矢量T=[TxTyTz]T，
線位移矢量δt=[δxδyδz]T
和角位移矢量δr=[δθδψδφ]T

進(jìn)而剛度矩陣也可以根據(jù)單位的不同，劃分為4個(gè)3×3的塊矩陣，即：

(10)

(11)

式中：m為載荷質(zhì)量；Ix，Iy和Iz為軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(注：慣性質(zhì)量矩陣的劃分是基于載荷的質(zhì)心和上平臺(tái)中心完全重合，且載荷的慣性主軸和所定義的上平臺(tái)坐標(biāo)系完全重合的假設(shè)。)

引入動(dòng)態(tài)剛度矩陣

Kdyn=Kdyn(ω)=-ω2M+K

(12)

(13)

K1=-ω2Mm+Ktr,K2=-ω2Sst+Kmix
K3=-ω2Sin+Krot

(14)

(15)

式中，cr和ct為螺旋軸的單位矢量，n為由于旋轉(zhuǎn)角θ引起的沿坐標(biāo)軸方向的平移位移且滿足：

現(xiàn)已知螺距為pr，螺旋軸上位置矢量為r0的任一點(diǎn)，則螺旋量可以表示為

n=prcr+r0×cr

pr=ncr=nxcrx+nycry+nzcrz
r0=[cr×n]=[δr×δt]/θ2

(16)

則動(dòng)力學(xué)共線剛度kdcs定義為單位旋量方向上的主動(dòng)扭矩在相同旋量方向上產(chǎn)生的響應(yīng)位移，即

kdcs(ω)=sTKdyn(ω)s

(17)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是否存在，則動(dòng)力學(xué)共線剛度可表示為如下形式：

(18)

對(duì)于給定的平臺(tái)結(jié)構(gòu)，最小動(dòng)力學(xué)共線剛度可表示為頻率和結(jié)構(gòu)尺寸的函數(shù)，即

則可以證明，如下關(guān)系成立

kt,min=λr,min=min[λt1,λt2,λt3]

其中λti為矩陣K1的特征根

kr,min=λr,min=min[λr1,λr2,λr3]

(19)

λti=-mω2+A(i,i)ki=1,2,3
λr3=-Izω2+A(6,6)k
λr1=-Ixω2+A(4,4)k+A(2,4)2k2/(-ω2m+A(2,2)k)
λr2=-Iyω2+A(5,5)k+A(1,5)2k2/(-ω2m+A(1,1)k)

由上述公式可知，在支腿特性一定的情況下，λti和λri的取值不僅取決于頻率，而且和空間隔振平臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。定義空間隔振平臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)矢量為X=[rbrpαβ]T，其中，rp和rb分別為上、下平臺(tái)的平臺(tái)半徑；α和β分別為上、下平臺(tái)相鄰鉸接點(diǎn)之間的夾角，則優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為

2.2 約束函數(shù)模型

在空間隔振平臺(tái)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，往往是先進(jìn)行支腿的設(shè)計(jì)。所以研究在支腿長(zhǎng)度一定的情況下的空間隔振平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有一定的工程實(shí)踐意義。在支腿長(zhǎng)度一定或支腿長(zhǎng)度受限的情況下，各變量滿足下面的約束關(guān)系：

(20)

由于空間隔振平臺(tái)對(duì)工作空間的要求不高，參數(shù)的設(shè)計(jì)主要避免結(jié)構(gòu)奇異。引入結(jié)構(gòu)奇異性判別矩陣

(21)

對(duì)于空間隔振平臺(tái)的應(yīng)用要求，其最小動(dòng)力學(xué)剛度需滿足

kr,min(ω)≥(kr)lim且kt,min(ω)≥(kt)lim

其中(kr)lim,(kt)lim是在設(shè)計(jì)階段選定的固定值。通常來(lái)說(shuō)(kr)lim,(kt)lim的選取原則滿足

(kr)lim=(0.2-0.4)(kr)ISO
(kt)lim=(0.2-0.4)(kt)ISO

(22)

(kt)ISO=2k

(23)

(24)

3 優(yōu)化算法

鑒于待優(yōu)化模型中設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)函數(shù)和約束條件之間的非線性關(guān)系，結(jié)合遺傳算法在非線性優(yōu)化方面的優(yōu)良性能，這里采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解，有關(guān)參數(shù)選取如下

(1)適應(yīng)度函數(shù)：由于遺傳算法求解時(shí)適應(yīng)度函數(shù)Fitness常取最大值，故取如下適應(yīng)度函數(shù)：

(2)種群規(guī)模：M=100

(3)子代生成：設(shè)定交叉算子pc=0.85

選擇算子采用隨機(jī)一致選擇算子；變異算子采用高斯變異算子。

(4)終止條件：適應(yīng)度函數(shù)值較前一代函數(shù)值變化小于其0.01%，說(shuō)明個(gè)體穩(wěn)定在最優(yōu)解，終止計(jì)算。

4 仿真算例

空間隔振平臺(tái)的各項(xiàng)仿真時(shí)的約束條件及待優(yōu)化變量的取值范圍如表1所示。

將上述各參數(shù)及各變量的取值約束與適應(yīng)度函數(shù)結(jié)合，經(jīng)遺傳算法尋優(yōu)計(jì)算，得到如表2所示的變量參數(shù)。

優(yōu)化得到的空間隔振平臺(tái)的構(gòu)型如圖3所示。

表1 載荷和支腿參數(shù)及變量的取值范圍

表2 各變量的優(yōu)化值

圖3 優(yōu)化后的空間隔振平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 The optimal structure for the vibration isolation platform

平臺(tái)各個(gè)方向的共線動(dòng)力學(xué)剛度隨頻率的變化曲線如圖4所示(考慮到平臺(tái)的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，只給出了Z軸和Y軸的平移和旋轉(zhuǎn)方向)

圖4 空間隔振平臺(tái)各方向的共線動(dòng)力學(xué)剛度Fig.4 Dynamic collinear stiffness in different directions

由圖4可知，經(jīng)優(yōu)化后的空間隔振平臺(tái)最小靜剛度為支腿剛度的1.8倍，在滿足式(23)和式(24)要求的前提下，系統(tǒng)的帶寬可以達(dá)到100 Hz，充分滿足控制要求。對(duì)于Cubic結(jié)構(gòu)的平臺(tái)構(gòu)型，其最小靜剛度為單個(gè)支腿剛度的0.83倍，相對(duì)于優(yōu)化結(jié)果，空間隔振平臺(tái)的最小剛度值有顯著提高。

5 結(jié) 論

研究了空間隔振平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)：上、下平臺(tái)半徑，上、下平臺(tái)與支腿相鄰連接點(diǎn)之間的夾角與動(dòng)力學(xué)共線剛度之間的關(guān)系。通過(guò)一個(gè)仿真算例，對(duì)空間隔振平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并將優(yōu)化結(jié)果與Cubic構(gòu)型的空間隔振平臺(tái)進(jìn)行了比較，其指標(biāo)明顯優(yōu)于Cubic構(gòu)型的空間隔振平臺(tái)。

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Structure optimization for a space-based vibration isolation platform based on dynamic collinear stiffness

ZHANG Yongliang1, GUO Baiwei2

(1.The Third Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation, Beijing 100015, China;2.Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle, Ministry of Education School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

A new performance appraisal index, dynamic collinear stiffness, was introduced to deal with the optimizing design about structure parameters of a space-based vibration isolation platform. The radii of the top and bottom platforms and the central angle corresponding to the adjacent connection points were taken as the design variables, the maximization of the minimum of the dynamic collinear stiffness was taken as the objective function and the engineering design requirements with respect to the dynamic stiffness within a specified frequency range were taken as the constraints. A mathematical model was built based on the design variables, the objective function and the constraints and the optimal solution was gotten by the GA tools. The simulation shows that the optimal solution meets the engineering design requirements and the performance appraisal index is better than the conventional ones.

vibration isolation platform; dynamic collinear stiffness; genetic algorithm(GA); optimization

北京理工大學(xué)基礎(chǔ)研究基金項(xiàng)目(20130142015)

2015-12-30 修改稿收到日期： 2016-05-25

張永亮 男，博士生，1984年生

郭百巍 男，博士，副教授，1976年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.14.018