可調諧局域共振梁帶隙模型改進

陳圣兵， 王 剛

(1. 中國空氣動力研究與發展中心， 四川 綿陽 621000；2. 湖南大學 機械與運載工程學院， 長沙 410082)

可調諧局域共振梁帶隙模型改進

陳圣兵1， 王 剛2

(1. 中國空氣動力研究與發展中心， 四川 綿陽 621000；2. 湖南大學 機械與運載工程學院， 長沙 410082)

局域共振聲子晶體具有彈性波帶隙特性，可用于結構振動與噪聲控制。通過引入壓電分流陣列也可以在基體結構形成彈性波帶隙，尤其是諧振分流電路可以產生局域共振帶隙。而且，通過調節分流電路參數可以方便地改變其局域共振帶隙特性。研究了含壓電分流陣列的局域共振梁帶隙計算建模方法，指出了傳統帶隙模型的不足，并提出了改進模型。利用傳遞矩陣法計算了傳統模型和改進模型彎曲波傳播常數，比較了兩種模型對帶隙預測的差異，發現傳統模型在局域共振帶隙內形成了較大誤差，利用改進模型可以大大提高局域共振帶隙的預測精度。

超材料；壓電分流；聲子晶體；帶隙

周期結構廣泛存在于實際工程結構中，人們對周期性結構的研究有著悠久的歷史[1-3]。Sigalas等[4]研究了球形散射體埋入某一基體材料中形成的三維周期性復合介質中彈性波的傳播特性，首次從理論上證實了三維周期點振結構中存在彈性波帶隙。Kushwaha等[5]在研究鎳/鋁二維固體周期復合介質時第一次提出了聲子晶體的概念，類比光子晶體分析了聲子完全帶隙在理論研究中的意義。Martínez-Sala等[6]對西班牙馬德里的一座具有百多年歷史的雕塑進行了聲學特性測試，該雕塑是由直徑為2.9 cm的中空不銹鋼圓柱周期性排布在一個4 m直徑的圓形平臺上，形成的晶格常數為10 cm，通過測試他們第一次從實驗角度證實了彈性波帶隙的存在。Liu等[7]將包覆軟硅橡膠材料的鉛球按立方晶格嵌入環氧樹脂基體中形成了一種三維三組元聲子晶體，理論和實驗結果均表明該聲子晶體帶隙所對應的波長遠大于晶格常數，由此提出了局域共振聲子晶體的概念。近年來，局域共振聲子晶體超常物理特性的揭示引起了大量學者的關注，并將這種具有超常物理特性的復合材料稱為超材料，其特性包括帶隙、負折射、負模量和聲學斗篷等[8-10]。

含分流陣列的周期性壓電復合結構也能夠產生帶隙，尤其是分流電路為諧振電路時能夠產生可調諧局域共振帶隙，可以通過電路參數的調節改變局域共振帶隙特性。Thorp等[11]首次提出將壓電分流技術應用于周期結構的帶隙控制，研究了一維周期性分流桿中的彈性波傳播的衰減和局域化。Thorp等[12]又利用周期性壓電分流環來控制充液殼的波傳播和衰減特性。Spadoni等[13]研究了含有諧振分流陣列薄板的波傳播特性，得到了特定方向(ΓX)的彈性波帶隙特性。Casadei等對此模型進行了實驗研究，分析了不同電阻值和電感值對帶隙的影響。Casadei等[15]研究了負電容和諧振電路共同對薄板振動的控制用，結果顯示諧振電路在負電容的作用下得到了加強。Collet等[16]研究了二維壓電分流陣列對鋁板中波傳播的影響，得出壓電分流陣列對整體的波傳播產生了大約17 dB的衰減。

本文作者及其合作者也對含有壓電分流陣列的輕質結構進行了理論和實驗研究，初步揭示了一維和二維壓電分流陣列的帶隙形成機理及其帶隙特性[17-20]。尤其是在文獻[19]中首次指出傳統帶隙模型在預測含有壓電分流陣列一維桿中縱波帶隙特性中存在的不足，并提出了改進建模方法。有關含有壓電分流陣列梁中彎曲波帶隙研究的文獻中，關于分流電路的建模大多依然沿用了傳統帶隙模型[21-22]，因此本文進一步研究了含壓電分流陣列梁的彎曲波帶隙模型，指出了傳統帶隙模型在計算彎曲波帶隙時也會存在較大誤差，并提出了改進模型，提高了彎曲波帶隙的預測精度。

1 帶隙模型改進

1.1 物理模型

可調諧局域共振梁由三個部分構成：基體梁、壓電片和分流電路，如圖1所示。長度為lp的壓電片分別粘貼在基體梁的上下表面，且每對壓電片之間的距離都為l。基體梁厚度為h，寬度為b，壓電片厚度為hp。壓電片沿著厚度方向極化，并忽略粘貼層對結構的影響。每對壓電片并聯后與一個分流電路相連，分流電路由電阻R和電感L串聯組成。

圖1 可調諧局域共振梁示意圖Fig.1 Sketch of the tunable locally resonant beam

由于每個分流電路和壓電片參數都相同，所以該無限周期復合梁結構可以看作是由單個元胞(如圖2所示)沿著軸向平移形成的一維超晶格結構。因此，只需要對單個元胞進行力學建模，并結合Floquet定理就可以得到整個梁中的波傳播特性。

圖2 元胞示意圖Fig.2 Schematic of the cell

1.2 分流電路建模與改進

對于如圖2所示的壓電片和分流電路組成的壓電分流系統，假設壓電片除了垂直于x軸方向的端面外，其余表面都自由，且壓電片只受到沿z軸方向的電場作用，那么簡化后的d-型壓電方程可以表示為

(1)

求解式(1)可得

(2)

(3)

由基本電路學公式，可得分流電路中電流可以表示為

(4)

式中:s為Laplace算子;V為壓電片電極上的電勢差;Q為電荷;Z=Ls+R為分流電路復阻抗。

而壓電片內電場與電極上電勢差之間的關系為

V=E3hp

(5)

式中:hp為壓電片厚度。

將式(5)代入式(4)可得

(6)

傳統模型假設壓電內應變和電極上電位移處處相等，那么壓電片電極上電荷表達式可以簡化為

Q=D3As

(7)

式中:As為壓電片電極的面積，且As=blp。

可見，傳統模型得到的結果是建立在長波假設基礎上的近似求解，因此其結果存在誤差，并不能反映真實情況，而且這種誤差隨求解頻率的增大而增加。

本文對傳統模型進行改進，放棄長波假設，改用精確的積分模型代替，即電極上電荷Q為

(8)

那么將式(2)代入式(8)得

(9)

假設該周期性梁中僅傳播彎曲波ψ(x,t)，則壓電片在x處的應變可以分別表示為

(10)

將(10)式代入式(9)

(11)

聯立式(6)和式(11)得

(12)

最后，再將式(12)代入式(1)可得

(13)

其中

(14)

而傳統模型采用長波假設得到的應力表達式為

(15)

比較式(13)和(15)可以看出，改進模型和傳統模型得到的結果存在較大差別：改進模型表明分流電路對壓電片的作用等效為一個恒定的附加應力Ta，而不是傳統模型得到的附加彈性模量。

1.3 基于傳遞矩陣法的彎曲波傳播常數

對圖2所示的元胞進行動力學建模，忽略剪切變形和截面繞中心軸轉動慣量產生的影響，采用Euler-Bernoulli梁模型，其彎曲波控制方程為

(16)

式中:ψi(x,t)(i=1, 2)表示x處質點在t時刻的橫向位移;下標1和2分別代表未貼壓電片的梁段A和貼有壓電片的梁段B，ξi可以表示為

(17)

式中:ρ、ρp和E、Ep分別為基體梁和壓電片對應材料的密度和楊氏模量；A、Ap和I、Ip分別為基體梁和壓電片的橫面面積和截面慣性矩。

那么利用元胞內以及元胞間的邊界連續性條件，包括位移、轉角、彎矩和剪力連續，可以得到梁中彎曲波對應的傳遞矩陣T，其滿足

ψn+1=Tψn

(18)

式中:ψn和ψn+1分別為n和n+1個元胞中彎曲波待定系數向量。

值得注意的是，通過模型的改進，分流電路的作用等效為附加應力，使得每對壓電片對基體梁的作用等效為集中力偶M=TaAp(h+hp)。那么在邊界條件中，彎矩連續條件要將該集中力偶考慮進去。

根據Floquet定理可知，周期結構中彈性波系數滿足

ψn+1=eμψn

(19)

式中:μ為傳播常數，其實部α為衰減常數，虛部β為相位常數。

因此，聯立式(18)和式(19)可得

(T-eμ)ψn=0

(20)

即傳播常數可以通過傳遞矩陣T的特征值求出。

當彎曲波的頻率位于某些頻率范圍內時，衰減常數為零(α=0)，表明這些頻率范圍內的彈性波可以在梁中無衰減傳播。而當衰減常數不為零(α≠0)時，則僅存在衰減傳播模式，這些頻率范圍形成帶隙。

2 結果與討論

利用以上參數計算得到梁中彎曲波對應衰減常數如圖3所示，其中電阻和電感的取值分別為R=20 Ω和L=50 mH。從圖中可以看出，在0～2 kHz頻率范圍內出現了兩個衰減區域(帶隙)，其中第一帶隙(FG)受到分流電路的影響較小，主要由壓電片與基體間的阻抗失配引起，為布拉格帶隙；第二帶隙(SG)頻率與分流電路的諧振頻率強相關，主要由電路的諧振作用引起，為局域共振帶隙。圖中虛線(LM)和實線(IM)分別為傳統模型和改進帶隙模型得到的結果，可以看出兩種模型得到的衰減常數在布拉格帶隙和局域共振帶隙中都產生了一定的差別，但局域共振帶隙內的差異較布拉格帶隙內顯著很多。在布拉格帶隙中，改進模型得到的帶隙上邊界頻率比長波近似模型稍高(約9 Hz，占帶隙寬度的3.6%)，而局域共振帶隙中改進模型得到的衰減常數(約為0.49)比傳統模型得到的值(約為0.90)要小很多，大約只有傳統模型的一半多，其中最大衰減常數對應的頻率也稍有不同(相差約43 Hz)。

圖3 衰減常數對比Fig.3 Comparison of attenuation constants

為了更進一步分析長波近似模型與改進模型相比產生的誤差，首先不考慮阻尼產生的影響(R=0 Ω)，分別用兩種模型計算不同電感L下布拉格帶隙和局域共振帶隙的帶邊頻率，如圖4所示。其中虛線和實線分別為傳統模型(LM)和改進模型(IM)計算得到的結果，IM-L表示帶隙下邊界，IM-U表示帶隙上邊界。圖4(a)為布拉格帶隙，從圖中可以看出，兩種模型計算得到的布拉格帶隙下邊界頻率基本一致，但帶隙上邊界頻率卻有較大差別。改進模型計算得到的上帶邊頻率更高，從而導致預測的帶隙寬度更大。而且隨著電感L的增大，兩種模型得到的結果在上邊界頻率處產生的差異增大。圖4(b)為局域共振帶隙，從圖中可以看出，兩種模型計算得到的局域共振帶隙上邊界頻率差別較小，但帶隙下邊界出現了較大差異。傳統模型計算得到的局域共振帶隙下邊界頻率要比改進模型得到的結果低很多，使得該模型得到的帶隙寬度較大。隨著電感L的增大，兩種模型在局域共振帶隙下邊界頻率處產生的差異基本保持不變。總的來說，兩種模型對帶邊頻率位置的預測大體相同，尤其是帶邊頻率隨電感的變化趨勢預測一致，但在數值上還是存在較大差異。

(a) 布拉格帶隙

(b) 局域共振帶隙圖4 帶邊頻率對比Fig.4 Comparison of bounding frequencies

采用兩種模型計算得到的帶隙內衰減隨電阻R的變化如圖5所示，其中電感取值L=80 mH，色譜代表衰減常數的大小。從圖中可以看出對于布拉格帶隙(第一帶隙)，兩種模型對布拉格帶隙的預測結果較一致，隨著電阻的變化，布拉格帶隙內衰減常數的變化類似。而對于局域共振帶隙，差別主要表現在傳統模型得到的帶隙內衰減明顯大于改進模型得到的數值，由于改進模型結果更加符合真實情況，那么也就是說傳統模型在預測局域共振帶隙時得到的衰減常數誤差較大。

(a) 傳統模型

(b) 改進模型圖5 不同模型的帶隙內衰減對比Fig.5 Comparison of decay in the band gaps

3 結 論

本文指出了可調諧局域共振梁彎曲波帶隙的傳統建模方法存在的不足，并提出了改進模型。傳統模型是建立在長波近似假設基礎上，而改進模型采用了更加精確的積分建模，提高了帶隙模型的精度。通過比較改進模型和傳統模型得到的彎曲波傳播常數差異，可以發現傳統模型在局域共振帶隙的預測上產生了較大誤差。改進模型得到的局域共振帶隙內衰減常數比傳統模型得到的值要小很多，大約只有傳統模型的一半多，其中最大衰減常數對應的頻率也稍有不同。但隨著分流電感的增大，兩種模型在局域共振帶隙下邊界頻率處產生的差異基本保持不變。

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Band-gap model improvement for tunable locally resonant beams

CHEN Shengbing1, WANG Gang2

(1. China Aerodynamics Research and Development Center, Mianyang 621000, China；2. College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Locally resonant crystals possess elastic wave band-gaps, which can be used for vibration and noise control of structures. By introducing piezoelectric shunting arrays in host structures, band gaps can also be generated. Particularly, locally resonant gaps can be induced by resonant shunting circuits. Moreover, the properties of locally resonant gaps are conveniently tuned by modifying the circuit parameters. The modeling method for beams with piezoelectric shunting arrays was investigated, where the deficiency of the conventional model was pointed out and an improved model was proposed. By using the transfer matrix method, the propagation constants of the conventional and improved models were predicted and compared. The results demonstrate that the conventional model presents great errors. Hence, the improved model effectively boosts the accuracy of locally resonant gap prediction.

metamaterial; piezoelectric shunting; phononics; band gap

國家自然科學基金(51322502)

2015-12-28 修改稿收到日期： 2016-06-02

陳圣兵 男，博士，助理研究員，1984年10月生

TH113; O48

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.14.019