感應電機定子參激彈性振動分析

夏 營， 王世宇,2， 孫文嘉

(1.天津大學 機械工程學院，天津 300072； 2. 天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室，天津 300072)

感應電機定子參激彈性振動分析

夏 營1， 王世宇1,2， 孫文嘉1

(1.天津大學 機械工程學院，天津 300072； 2. 天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室，天津 300072)

針對感應電機定子在旋轉磁拉力的作用下所產生的參激彈性振動問題，采用能量法建立機、電、磁多場耦聯動力學模型。利用伽遼金離散得到了常微分形式的動力學模型，并應用多尺度法揭示了重要基本參數與穩定性之間的映射關系，還給出了解析形式的不穩定邊界。研究結果表明，該邊界與定子支撐剛度、柔度、相電流和線圈節距等機、電、磁參數有關。采用Floquét理論計算了不穩定域，并應用龍格-庫塔方法求解響應，驗證了解析結果的正確性。該研究結果為參數的合理選擇提供了理論借鑒。

感應電機；彈性定子；參激振動；穩定性

旋轉磁拉力是感應電機的典型激振源，可引起振動和噪聲甚至定轉子碰磨，造成嚴重破壞。研究磁拉力激振規律對機組設計和運行維護均十分重要。

針對感應電機的振動特性，國內外學者已經開展了系統的研究。文獻[1]采用數值方法研究了不平衡磁拉力及其對偏心轉子振動的影響。文獻[2]利用三維有限元法分析了三相電機的定子模態。文獻[3]建立了電機動力學模型，揭示了參激振動現象，但并未對其進行深入分析。文獻[4]分析了由不平衡磁拉力造成的參激振動。文獻[5]建立了大功率感應電動機含時變系數的常微分方程，研究了不穩定和不平衡響應。需要指出的是：上述研究均采用了剛性定子假設。事實上，旋轉磁拉力還將引起定子彈性變形，該變形可導致氣隙長度減小，因而磁拉力劇烈增加，最終導致運動失穩。因此，即使不含偏心的理想定子仍然存在參激振動問題。

現有文獻已深入研究彈性結構的參激振動問題。其中，文獻[6]以永磁電機為研究對象，分析了旋轉永磁載荷產生的參數穩定性。文獻[7]探討了由時變嚙合剛度產生的齒圈參激振動問題，得到了不穩定邊界。文獻[8]從理論上對一般周期結構的參激振動進行了研究。文獻[9]采用能量法建立了星型傳動的剛彈耦合動力學模型，并應用數值法求解了不穩定域。上述研究的參激源本質上均為時變剛度。在感應電機中，旋轉磁場將產生相互作用的時變徑向磁拉力和時變氣隙，因此導致磁致參激振動及相應穩定性問題。

本文擬采用能量法建立感應電機彈性定子的多場耦合動力學模型，并使用伽遼金和多尺度法進行分析，以揭示相電流、節距和柔度等基本參數對參激振動行為的影響。為了驗證解析結果的正確性，還將開展數值計算研究。

1 數學建模

1.1 分析模型

圖1為感應電機定子的動力學模型。圖1中變量u和v分別表示定子中性面處的切向和徑向位移。P(θ,t)表示定子單位面積磁拉力。定子的厚度、寬度、中性圓半徑、材料密度和彈性模量分別為h、c、R、ρ和E。o-rθ為傳統的慣性坐標系。

圖1 感應電機定子及坐標系Fig. 1 Stator of induction motors and coordinates

1.2 數學建模

現有文獻通常采用能量法對環狀彈性結構進行數學建模。在建模時需計算定子動能、定子勢能、支撐勢能和磁拉力所做的功。其中，定子動能為

(1)

式中：A(A=ch)為定子截面積。定子的勢能為

(2)

式中：I(I=ch3/12)為主慣性矩。支撐勢能為

(3)

式中：ku和kv分別表示定子的切向和徑向支撐剛度。單位面積磁拉力為

(4)

式中：μ0為真空磁導率，b(θ,t)為氣隙磁密，且

b(θ,t)=μ0Fmmf(θ,t)Λ(θ,t)

(5)

式中：Fmmf(θ,t)為磁動勢；可寫為

Fmmf(θ,t)=Fmaxcos(pθ-ωt)

(6)

式中：Fmax是最大磁動勢；且

(7)

式中：N為線圈匝數，Im為相電流，p為極對數，kN1為基波繞組系數，可表示為

(8)

式中：m為相數，y1為定子節距，z為定子齒數。式(5)中，Λ(θ,t)為氣隙磁導率，且

(9)

式中：g為平均氣隙長度。磁拉力做功可表示為

(10)

將式(4)～式(6)和式(9)代入式(10)，可得

(11)

根據哈密頓原理，有

(12)

(13)

式中：M、K(0)、K(1)和K(2)分別為定子的質量算子、剛度算子、電磁剛度算子和支撐剛度算子

2 模型求解

根據伽遼金方法，系統的一階響應可表示為[11]

uθ(θ,t)=ηn(t)einθ+cc

(14)

式中：n為波數，i為虛數單位；cc為共軛。定義內積

(15)

式中：“～”表示復共軛。將式(14)代入式(13)，并與einθ作內積可得

(16)

為了利用多尺度法[12]求解，需引入多個時間尺度

τr=εrt，r=0，1，2，3,……

(17)

并視這些尺度為獨立變量，式(16)的一階近似解可表示為

ηn(t)=ηn0(τ0,τ1)+εηn1(τ0,τ1)

(18)

(19)

將式(18)和式(19)代入式(16)，比較ε同次冪系數可得

(20a)

(20b)

假設式(20a)的解形如

ηn0=An(τ1)eiωnτ0+Bn(τ1)e-iωnτ0

(21)

(22)

系統產生參激振動的條件為ω≈ωn。假定

(23)

式中：σ為調諧參數。將式(23)代入式(22)可得消永年項條件[13]

(24)

假設式(24)的解為

(25)

式中：xB(τ1)和yB(τ1)均為實數，將式(25)代入式(24)，并分離實、虛部可得

(26a)

(26b)

由式(26)可知

(27)

式中：

式(27)的特征方程為

(28)

當所有特征根均具有負實部時，系統處于穩定狀態。穩定條件為

(29)

由此可得，定子參激振動的穩定邊界

(30)

式中ξ=1/2或3/2。

3 數值仿真

本節擬采用Floquét方法[14-15]求解定子振動模型，并研究機電參數對參激振動的影響。假設

(31)

(32)

式中：

式(32)可改寫為

(33)

式中：

0和I分別表示2×2階零矩陣和單位陣。表1為感應電機定子的基本參數。

表1 基本參數

圖2描述了不同支撐剛度下，感應電機相電流對電機穩定性的影響。圖中曲線是由式(29)得到的解析邊界，由“.”構成的不穩定域由Floquét方法得到。顯然，兩種結果嚴格一致。隨著電流的增加，電磁剛度逐漸增大，定子的振動不穩定域也逐漸變大。此外，該結果還表明：支撐剛度可以改變不穩定域的位置。由式(16)可知，當波數為2和3時，固有頻率ωn分別為2.683 3和7.589 5。

圖2 相電流對參激振動的影響Fig. 2 Effect of phase current on parametric vibration

式(30)表明節距周期性地影響不穩定邊界。因此，當y1=2Yz/p(Y為整數)時，系統穩定，而當y1=(2Y+1)z/p時，不穩定域的寬度最大，且有

(34)

假設定子以2和3波數振動，圖3給出了節距對穩定性的影響。當節距為y1=36Y時，系統恒穩定，當節距y1=18(2Y+1)時，不穩定域的寬度最大，且最大寬度Δωmax=0.58。支撐剛度越大，系統出現不穩定狀態所需轉速越高，因此，增大支撐剛度有利于抑制不穩定。

圖3 節距對參激振動的影響Fig. 3 Effect of tooth pitch on parametric vibration

小參量(ε=1/EI)表示定子的柔度。假設定子的切向和徑向支撐剛度分別為20 kN/m和50 kN/m。圖4(a)描述了柔度和相電流對穩定性的影響。圖4(b)揭示了柔度和節距對穩定性的影響。當節距為y1=2Yz/p時，系統處于穩定狀態。由式(30)可知，柔度以線性方式影響電機穩定性，隨著柔度的增大，不穩定域的寬度逐漸變大。

圖4 柔度對參激振動的影響Fig. 4 Effect of flexibility on parametric vibration

為了進一步驗證上述結論的正確性，選取兩組參數{n=2，ω=1.5，Im=80 A，y1=40}和{n=2，ω=2.6，Im=80 A，y1=40}。根據圖2，此時系統分別處于穩定和不穩定狀態。采用龍格-庫塔法分別求解時域響應，具體結果如圖5所示。其中，圖5(a)呈現顯著的周期特征，而圖5(b)則呈現發散特征。顯然，數值計算與理論預測結果一致。

圖5 穩定與不穩定狀態的定子時域響應Fig. 5 Stator response under stable and unstable conditions

4 結 論

本文研究了感應電機定子參激彈性振動穩定性問題，揭示了基本參數對穩定性的影響。主要工作和結論如下：

(1)采用能量法建立感應電機定子的動力學模型。在旋轉磁拉力和彈性振動影響下，該模型呈現典型的參激振動特征。

(2)采用多尺度方法研究了基本參數與不穩定行為之間的關系，并確定了不穩定邊界，該邊界將參數平面劃分為穩定和不穩定區域。

(3)利用Floquét和龍格-庫塔方法分別計算了不穩定域和響應，驗證了理論分析結果的正確性。

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Parametric elastic vibration of induction motor stators

XIA Ying1, WANG Shiyu1,2, SUN Wenjia1

(1. School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, Tianjin 300072, China)

The work aims at the parametric vibration of the elastic stator of induction motors excited by rotating magnetic loads. A mechanical-electromagnetic coupling model was established by using the energy method and a corresponding ordinary differential equation was obtained by using the Galerkin method. The multi-scale method was employed to reveal the relationship between the important basic parameters and stability and also to provide the analytical unstable boundary. The results imply that the boundaries are dependent on the mechanical-electromagnetic parameters, including the support stiffness, bending flexibility, phase current and tooth pitch. The Floquét and Runge-Kutta methods were used to obtain the instability regions and the responses, respectively. The numerical results verify the conclusions from the analytical method. The results lay a theoretical reference for the parameter’s selection.

induction motor; elastic stator; parametric vibration; stability

國家自然科學基金(51175370)；天津市應用基礎與前沿技術研究計劃重點項目(13JCZDJC34300)

2016-01-21 修改稿收到日期： 2016-05-26

夏營 男，碩士生，1990年生

王世宇 男，博士，副教授，1974年生

TM306

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.14.030