反應加速度法和反應位移法精度隨結(jié)構(gòu)埋深變化的研究

董正方， 蔡寶占， 姚毅超， 李鳳麗， 朱紅云

(1. 河南大學 材料與結(jié)構(gòu)研究所， 河南 開封 475004； 2. 中鐵二院華東勘察設計有限責任公司 杭州 310004)

反應加速度法和反應位移法精度隨結(jié)構(gòu)埋深變化的研究

董正方1， 蔡寶占1， 姚毅超2， 李鳳麗1， 朱紅云1

(1. 河南大學 材料與結(jié)構(gòu)研究所， 河南 開封 475004； 2. 中鐵二院華東勘察設計有限責任公司 杭州 310004)

從理論方程上，看不出反應加速度法和反應位移法的精度會隨地下結(jié)構(gòu)埋深而變化，因此為確定其精度，設定不同場地條件下、不同埋深的城市軌道交通箱型地下結(jié)構(gòu)為基準模型。使用反應加速度法、反應位移法、修正的反應位移法和時間歷程法計算基準模型的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，評價前三種方法隨埋深變化的精度。結(jié)果表明：前三種方法的精度會受到場地類型、土層厚度和結(jié)構(gòu)埋深的影響；若以時間歷程法為基準，反應位移法的精度要低于反應加速度法和修正的反應位移法；反應加速度法和修正反應位移法的精度受埋深影響較小，反應位移法在埋深較小時精度尚可。

反應加速度法；反應位移法；地下結(jié)構(gòu)；抗震設計

我國正在興建城市軌道交通結(jié)構(gòu)，其中大部分位于抗震設防區(qū)，因此其抗震設計日益重要。城市軌道交通結(jié)構(gòu)包括大量的地下車站和區(qū)間隧道，而對這些結(jié)構(gòu)的抗震設計一般分為橫向抗震和縱向抗震，橫向抗震一般采用擬靜力方法，目前常用的有反應加速度法和反應位移[1]，這類方法都有不同程度地簡化和假定，因此都有其適用范圍和精度[2]；橫向抗震的時間歷程法一般作為校核其他方法或深入研究使用。

20世紀60年代，日本通過松代群發(fā)地震中埋設管道的地震觀測研究，逐步提出了反應位移法，將地下結(jié)構(gòu)的橫斷面模型化為框架式結(jié)構(gòu)，周圍施加地基彈簧[3]。20世紀80年代，日本提出把地下結(jié)構(gòu)周圍的土體用平面單元來模擬的思路，Tateishi[4]的地層響應法、片山幾夫等[5]的地層反應加速度法，以此為基礎發(fā)展的一類方法就是反應加速度法。近年來，國內(nèi)逐漸接受并推廣反應位移法和反應加速度法，上海地方標準《地下鐵道建筑結(jié)構(gòu)抗震設計規(guī)范》(DG/T J08-2064—2009)、國家標準《城市軌道交通結(jié)構(gòu)抗震設計規(guī)范》(GB 50909—2014)都引入了上述方法。國內(nèi)的研究者，例如商金華等[6-7]對上述方法的荷載模式進行了研究，并提出了修正的方法，但都沒涉及方法隨結(jié)構(gòu)埋深的變化的精度問題；陶連金等[8]給出了不同埋深下的該類方法的精度研究，但土層厚度只有20 m，而實際的城市軌道交通地下結(jié)構(gòu)所處土層的厚度、埋深都不僅限于20 m，因此本文將做進一步的研究。

1 理論推導

為了說明兩種方法隨結(jié)構(gòu)埋深變化的精度問題，首先從理論上對兩種方法進行推導。

1.1 反應加速度法

反應加速度法的模型最初有兩種：①立石彰模型，如圖1(a)所示，在側(cè)向邊界和底部邊界上施加土層剪應力，土層剪應力可由一維土層反應得到；②片山模型，如圖1(b)所示，把側(cè)向邊界豎向約束、水平自由，底部邊界約束。實際上這兩種模型是等價的，圖1(b)的側(cè)向邊界的豎向約束力等于圖1(a)的土層剪應力，但是圖1(a)模型不適宜有限元建模，因此實際較多采用圖1(b)模型。

立石彰以子結(jié)構(gòu)的方法對反應加速度法進行了理論推導，基于三個假定：①設地下結(jié)構(gòu)與近場土為子結(jié)構(gòu)，其邊界設置在較遠處，則地下結(jié)構(gòu)不影響邊界反應；②忽略阻尼力；③地下結(jié)構(gòu)的加速度認為等于相同位置的土層加速度。實際上反應加速度方法基本公式的推導完全可以考慮阻尼的作用，對圖1(c)考慮土-結(jié)構(gòu)動力相互作用模型，其地震作用下的運動方程如下[9]：

(1)

式中:K、M、C分別為剛度、質(zhì)量、阻尼矩陣;其下標b為邊界；上標T為轉(zhuǎn)置；上標ve為黏彈性邊界；u為位移向量，位移向量上的“·”和“··”分別為對時間的一階和二階導數(shù)；pb,eff為邊界上的等效作用力；方程左邊第一項為慣性力，第二項為阻尼力項，第三項為恢復力。

(a)立石彰模型 (b)片山模型 (c)土-結(jié)構(gòu)動力相互作用模型圖1 反應加速度法模型Fig.1 Model of response acceleration method

依照立石彰的思路，將慣性力和阻尼力移到右邊，則地震運動方程可以化為

(2)

(3)

這就是基于圖1(b)模型的反應加速度法理論方程，因為阻尼力不方便計算，實際使用時經(jīng)常省略阻尼力。

1.2 反應位移法

反應位移法也可以從上述運動方程導出，由于是擬靜力計算，因此忽略阻尼影響，人工邊界采用地基彈簧模擬，如圖2(a)所示。將人工邊界上的輸入地震作用分解為兩個等效地震動荷載：自由場地震動引起的對應于人工邊界處的應力場；使人工邊界上的彈簧阻尼器到達人工邊界處的自由場位移所需要的力，即將人工邊界的彈簧阻尼器強制拉到人工邊界處的自由場位移時所需的力[10]。則運動方程化簡為

(4)

(5)

式中:下標b即土與結(jié)構(gòu)交界面，因為邊界取在結(jié)構(gòu)周邊；pbf為入射波場(自由場)在結(jié)構(gòu)周邊產(chǎn)生的作用力；ubf為入射波場(自由場)在結(jié)構(gòu)周邊產(chǎn)生的位移。把式(5)代入式(4)，并把慣性力項移到方程右邊，可得：

(6)

這就是反應位移法的理論方程，其中方程右邊第一項表示的自由場土層相對位移引起的等效荷載；第二項是土層對地下結(jié)構(gòu)的作用力；第三項是慣性力；如果地震動垂直入射，則位移只有水平位移分量，土層對結(jié)構(gòu)作用力只有剪切分量，即土與結(jié)構(gòu)交界面土層剪應力，由自由場一維地震反應分析得到。

為了直接反映土-結(jié)構(gòu)相互作用，同時避免計算地基彈簧系數(shù)的復雜性，劉晶波等采用如圖2(b)所示的土-結(jié)構(gòu)有限元模型。常用的反應位移法中包括三部分荷載：土層相對位移、結(jié)構(gòu)周圍土層剪力、慣性力。對于第一部分作用，反應位移法在地基彈簧端部施加相對變形，此時在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的反力即為土層相對變形引起的等效荷載，由于地基彈簧模擬的是周圍土層約束作用，因此為了直接計算圖2(b)中位移等效荷載，可在挖去結(jié)構(gòu)的土體模型中沿著孔洞周圍施加相對位移，此時孔洞周邊結(jié)點(要施加約束)反力即為等效荷載。結(jié)構(gòu)周圍剪力及結(jié)構(gòu)慣性力與反應位移法完全相同。

(a)常用模型 (b)修正模型圖2 反應位移法計算示意圖Fig.2 Model of response displacement method

由上述兩種方法的理論推導，看不出方法的精度隨結(jié)構(gòu)埋深變化，下面通過典型算例進行精度的研究。

2 典型算例

2.1 算例參數(shù)

選取矩形混凝土地下結(jié)構(gòu)，高10 m，寬12 m，壁厚1 m，其材料參數(shù)見圖3。為了考慮一般性，分別取II類、IV類兩種場地，II類場地土層厚度為25 m和80 m，IV類場地土層厚度為80 m，其中土層參數(shù)見圖3。其中“()”內(nèi)表示IV類場地土層性質(zhì)。25 m厚土層的結(jié)構(gòu)埋深分別是5 m和10 m；80 m厚土層結(jié)構(gòu)埋深分別為5 m、25 m和45 m。土體及結(jié)構(gòu)假定為線彈性，阻尼比采用0.05?；鶐r處地震波采用Elcentro波，如圖4所示，峰值加速度調(diào)整為0.097g。以時間歷程法為基準，校核反應加速度法、反應位移法、修正反應位移法的精度。

圖3 車站橫截面及土層參數(shù) 圖4 地震動參數(shù)Fig.3 The cross section of station and soil parameters Fig.4 Ground motion parameters

2.2 計算模型

時間歷程法、反應加速度法、修正反應位移法模型中，土體采用平面應變單元，地下結(jié)構(gòu)采用梁單元，土體與地下結(jié)構(gòu)不考慮滑移和脫離。由于基巖剪切波速較大，模型底部考慮為約束；其中時間歷程法和反應加速度法模型側(cè)向邊界豎向約束、水平自由，時間歷程法(采用ANSYS建模)側(cè)向邊界取離模型中心5 000 m處，以減少邊界的影響，其模型見圖5，反應加速度法側(cè)向邊界取離模型中心60 m處；修正反應位移法側(cè)向邊界約束，側(cè)向邊界距離中心60 m。豎向網(wǎng)格尺寸取為1 m，反應加速度法和修正反應位移法水平網(wǎng)格尺寸也取為1 m，但時間歷程法水平網(wǎng)格尺寸有變化，變化處有過渡網(wǎng)格，如圖5。時間歷程法采用振型疊加法，取模型前300階振型，振型阻尼比取為0.05。

圖5 時間歷程法模型Fig.5 Model of the time history method

反應位移法地下結(jié)構(gòu)采用梁單元，周圍土層采用彈簧單元模擬，彈簧剛度采用靜力有限元模型計算。反應加速度法、反應位移法和修正反應位移法采用SAP2000建模，需要的土層反應采用一維場地反應分析，將土層厚沿深度劃分，分層厚度取1 m，利用ProShake軟件計算，土層的阻尼比取為0.05，土層為線彈性。

2.3 計算結(jié)果

四種方法的計算結(jié)果見表1～表3，只考慮地下結(jié)構(gòu)側(cè)板上端C點和側(cè)板下端D點的內(nèi)力，以時間歷程法(法1)為基準，校核反應加速度法(法2)、反應位移法(法3)和修正反應位移法(法4)的精度，表中的誤差為三種方法相對時間歷程法的相對誤差。其中時間歷程法結(jié)果是結(jié)構(gòu)頂?shù)紫鄬ξ灰撇钭畲髸r刻的截面內(nèi)力。

從計算結(jié)果可知，反應位移法精度的變化規(guī)律：埋深小時比埋深大時高，埋深小時相對誤差僅有1%，埋深大時的相對誤差近60%；IV類場地時比II類場地高；在土層厚度較小(例如25 m)時，結(jié)構(gòu)內(nèi)力相對誤差隨埋深增加(5 m到10 m)變大(8%到42%)；在土層較厚的II類場地(例如80 m)時，側(cè)板下端內(nèi)力相對誤差隨埋深增加(5 m到25 m到45 m)時變大(7%到57%)，但最大相對誤差出現(xiàn)在中等埋深時(25 m)；側(cè)板上端內(nèi)力相對誤差最大值出現(xiàn)在埋深最小時(5 m時達62%)；在土層較厚的IV類場地(例如80 m)時，內(nèi)力相對誤差隨埋深增加(5 m到25 m到45 m)時逐漸變大(1%到53%)，只有側(cè)板下端的剪力和軸力最大相對誤差出現(xiàn)在中等埋深淺時(25 m)。

表1 25 m厚土層的框架內(nèi)力誤差

表2 80 m厚土層的框架側(cè)板下端內(nèi)力誤差

表3 80 m厚土層的框架側(cè)板上端內(nèi)力誤差

修正反應位移法和反應加速度法有類似的規(guī)律：在土層厚度較小(例如25 m)時，結(jié)構(gòu)內(nèi)力相對誤差隨埋深增加(5 m到10 m)變大(1%到12%)，但側(cè)板上端軸力正好相反；在土層較厚的II類場地(例如80 m)時，側(cè)板下端內(nèi)力相對誤差隨埋深增加(5 m到25 m到45 m)時變小(12%到1%)，但最小相對誤差出現(xiàn)在中等埋深時(25 m)；在土層較厚的IV類場地(例如80 m)時，側(cè)板下端內(nèi)力相對誤差都不是很大(個別大的也小于10%)，側(cè)板上端內(nèi)力相對誤差隨埋深增加(5 m到25 m到45 m)時變大(1%到14%)，但最大相對誤差出現(xiàn)在中等埋深時(25 m)。

3 結(jié) 論

雖然反應加速度法和反應位移法在理論上隨結(jié)構(gòu)埋深沒有精度變化的問題，但數(shù)值算例表明有精度變化的問題，因此本文以時間歷程法為基準，評價地下結(jié)構(gòu)埋深變化時的反應加速度法、反應位移法、修正的反應位移法的精度，得出了下列結(jié)論：

(1)場地類別、土層厚度、結(jié)構(gòu)埋深都會影響三種方法的精度。

(2)整體上看，修正的反應位移法、反應加速度法的精度比反應位移法高。

(3)反應位移法在埋深較小、土層較軟時精度尚可接受，埋深較大時，精度較差；而反應加速度法和修正的反應位移法在不同埋深和土層時精度都較高。

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Accuracy of the response acceleration method and response displacement method considering different imbedding depths of underground structures

DONG Zhengfang1, CAI Baozhan1, YAO Yichao2, LI Fengli1, ZHU Hongyun1

(1. Institute of Materials and Structures, Henan University, Kaifeng 475004, China；2. CREEC East China Survey and Design Co., Ltd., Hangzhou 310004, China)

The conclusion that the accuracy of the response acceleration method (RAM) and response displacement method (RDM) is unchange with different imbedding depths of underground structures is only based on the theoretical equations of the above two methods. The performances of three methods, the RAM, RDM and modified response displacement method (MRDM), were evaluated and compared with that of the dynamic time history method through a selected benchmark numerical example.The internal forces in the underground structure were computed in different geological conditions and with different depths. It is found that if the time history method is selected as a benchmark, the RAM, RDM and MRDM are affected by the site classification, soil thickness and embedment depth. The RAM and MRDM are generally superior to the RDM. It is also found that the RAM and MRDM are slightly affected by the embedment depth and RDM is only suitable for shallow underground structures.

response acceleration method;response displacement method; underground structure; seismic design

國家自然科學基金資助項目(51408195)；河南省教育廳科學技術(shù)研究重點項目(14B560031)；河南大學科研基金項目(2013YBZR002)

2016-01-08 修改稿收到日期： 2016-05-25

董正方 男，博士，講師，1980年生

TU311.41；TU93

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.14.034