三重積分的應用探討

余小飛，劉 斌

(河南工業職業技術學院，河南 南陽 473000)

三重積分的應用探討

余小飛，劉 斌

(河南工業職業技術學院，河南 南陽 473000)

本文根據三重積分的應用，主要研究空間立體的體積、物體的質心、轉動慣量等。

三重積分；體積；質心；轉動慣量

1 空間立體的體積

根據三重積分的定義可知，空間區域Ω的體積為

案例1 求由曲面x2+y2+z2=2az與z2+y2≤z2所界的立體的體積．

解析將其變換為柱面坐標，有

r2+z2=2az，r2≤z2，

因而區域Ω為

于是，所圍成立體的體積為

2 物體的質心

設有一物體，占有R3中閉區域Ω，在點(x,y,z)處的密度為ρ(x,y,z)，假設ρ(x,y,z)在Ω上連續，該物體對xOy平面、yOz平面、zOx平面的靜矩Mxy，Myz，Mzx分別為

解析因為均勻物體的密度為常數，即ρ(x,y,z)≡c(c為常數)，因此

又由對稱性，知

Myz=Mzx=0，

所以

3 轉動慣量

設在R3內有一質點，其坐標為(x,y,z)，質量為m，由力學知，該質點對x軸，y軸，z軸的轉動慣量為

Ix=(y2+z2)，Iy=(z2+x2)，Iz=(x2+y2)．

如果設點(x,y,z)處的密度為ρ(x,y,z)，且在閉區域Ω內連續，則根據三重積分的概念可知，

例3 設球在動點P(x,y,z)的密度與該點至球心距離成比例，求質量為M的非均勻球體x2+y2+z2≤R2對于其直徑的轉動慣量：

解析不失一般性，取Oz軸在球內的一段作為直徑．令

x=rcosφcosθ，y=rsinφcosθ，z=rsinθ，

則其質量為

由此，得

從而，密度為

于是，所求的轉動慣量為

[1]費定輝，周學圣．數學分析習題集題解[M]．濟南：山東科學技術出版社，2008：368-369．

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].第三版下冊.北京:高等教育出版社，2006：247-251.

[3]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社，2004：709 -718.

(編輯 趙欣宇)

Discussion on the Application of Three Integral

YU Xiaofei, LIU Bin

(Henan Polytechnic Institute, Nanyang 473000, China)

In this paper, based on the application of three integral, the volume of space, the center of mass and the rotational inertia are mainly studied.

three integral; volume; center; rotational inertia

2017-03-10

余小飛(1986-)，男，理學碩士，講師。主要研究方向：基礎數學。

G712

A

1672-0601(2017)06-0119-02