流出系數(shù)故障對三容水箱系統(tǒng)的影響

張 丹,劉 洋

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266590;2.山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院,山東 青島 266590)

流出系數(shù)故障對三容水箱系統(tǒng)的影響

張 丹1,劉 洋2

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266590;2.山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院,山東 青島 266590)

研究了三容水箱中流出系數(shù)故障對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，流出系數(shù)的變化直接影響了一步轉(zhuǎn)移矩陣的穩(wěn)定性，進(jìn)而影響了系統(tǒng)的整體性能。首先，通過建立三容水箱的模型，得出了系數(shù)矩陣與流出系數(shù)的關(guān)系，然后通過仿真模擬，得到了各個(gè)流出系數(shù)對系數(shù)矩陣特征值的影響的仿真圖。最終根據(jù)仿真圖分析了流出系數(shù)故障對三容水箱系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

三容水箱系統(tǒng)；流出系數(shù)；故障診斷

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，故障診斷與容錯(cuò)控制在現(xiàn)代工業(yè)中的應(yīng)用越來越廣泛。工業(yè)生產(chǎn)中如果出現(xiàn)某些故障，不僅會影響生產(chǎn)進(jìn)度，而且可能誘發(fā)大量安全隱患[1]。在工業(yè)過程中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性與安全性非常重要，不僅能保障操作人員的人身安全，也可提高生產(chǎn)效率和經(jīng)濟(jì)效益[2]。故障檢測技術(shù)對系統(tǒng)的輸入輸出進(jìn)行監(jiān)測分析，判斷是否有故障發(fā)生，是實(shí)現(xiàn)故障分離、故障估計(jì)和容錯(cuò)控制的必要前提。在過去的十多年里，故障診斷與容錯(cuò)控制技術(shù)快速發(fā)展，取得了大量研究成果[3]。

三容水箱系統(tǒng)是典型的過程控制實(shí)驗(yàn)設(shè)備之一，被廣泛應(yīng)用于國內(nèi)外大學(xué)和實(shí)驗(yàn)室，它不僅可以作為液位過程控制的實(shí)驗(yàn)設(shè)備，也可應(yīng)用于故障診斷研究中[4]。三容水箱是典型的非線性、延時(shí)對象，具有很好的代表性，通過對三容水箱系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究，可以模擬工業(yè)生產(chǎn)過程中對液位、流量參數(shù)進(jìn)行測量、控制，觀察其變化特征，從而使三容水箱成為過程控制教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和研究的理想實(shí)驗(yàn)平臺[5-6]。

流出系數(shù)定義為實(shí)際流量與理論流量的比值，是三容水箱建模中的一個(gè)重要參數(shù)，許多研究均圍繞這個(gè)參數(shù)展開[7]。隨著工業(yè)對流量測量精確度的要求越來越高，對三容水箱流出系數(shù)變化影響的研究引起關(guān)注，在實(shí)際系統(tǒng)中流出系數(shù)的標(biāo)稱值與真實(shí)值之間存在一定誤差。因此，研究流出系數(shù)對三容水箱中系數(shù)矩陣的影響是非常重要的[8]。

線性系統(tǒng)是最基本的一類動態(tài)系統(tǒng)，其研究在于認(rèn)識和避免線性系統(tǒng)中可能發(fā)生的有害運(yùn)動行為[9]，對其穩(wěn)定性研究非常重要。三容水箱系統(tǒng)在工作點(diǎn)附近線性化之后，流出系數(shù)的變化會直接影響一步轉(zhuǎn)移矩陣的穩(wěn)定性，進(jìn)而極大地影響系統(tǒng)性能。

本文針對三容水箱的實(shí)驗(yàn)平臺，構(gòu)造其機(jī)理模型，該模型物理意義明了、準(zhǔn)確度高、適應(yīng)性強(qiáng)，可為后續(xù)分析建立數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和保障；并通過流出系數(shù)故障對三容水箱系統(tǒng)的影響進(jìn)行討論，深入探究這一重要參數(shù)在系統(tǒng)動態(tài)演化中所起的作用。

1 系統(tǒng)建模

1.1 三容水箱系統(tǒng)建模

對于連續(xù)時(shí)刻t，用hi代表Ti的液位高度(i=1,3,2)，在h1>h3>h2假設(shè)下，由廣義的Torricel法則可得如下非線性系統(tǒng)：

(1)

對i=1,2，3,azi∈(0,1)為水箱Ti的流出系數(shù)，di為打水過程中液面波動及其他擾動的等效，m3/s，實(shí)驗(yàn)過程中由人工設(shè)置；Q1,Q2分別為水泵1和水泵2的進(jìn)水量，m3/s；H為箱截面積，m2；Sn為連接管道的截面積，m2；g為重力加速度，m/s2。

引入如下變量：

(2)

式中，x∈R3為系統(tǒng)狀態(tài)，u∈R2為控制輸入，y∈R2為測量輸出，d∈R3為擾動信號。

系統(tǒng)參數(shù)為：

(3)

定義向量為：

(4)

定義矩陣為：

(5)

至此建模完成。

1.2 線性化求解

利用輸入Q1=38×10-6m3/s,Q2=18×10-6m3/s，得到系統(tǒng)的穩(wěn)定工作點(diǎn)為：

h1=0.413 5 m,h2=0.177 7 m,h3=0.295 8 m

以下用泰勒公式對系統(tǒng)在工作點(diǎn)處線性化，將公式：

(6)

表示的非線性系統(tǒng)圍繞工作點(diǎn)線性化后的線性系統(tǒng)可以表示為：

(7)

系數(shù)矩陣為：

(8)

根據(jù)三容水箱的數(shù)學(xué)模型，利用泰勒公式的線性化求解，對系數(shù)矩陣進(jìn)行化簡與整理，得出未知參量為流出系數(shù)az的系數(shù)矩陣，因此需要分析流出系數(shù)的變化對系數(shù)矩陣穩(wěn)定性的影響，從而得出系數(shù)矩陣的穩(wěn)定范圍。接下來，通過仿真驗(yàn)證來研究在不同環(huán)境下，不同az的變化對于系數(shù)矩陣A的特征值和穩(wěn)定性的影響。

2 仿真驗(yàn)證

2.1 假設(shè)驗(yàn)證

定義在h1>h3>h2前提下，分別通過對az1,az2,az3取值變化來分析系數(shù)矩陣A穩(wěn)定性的影響。

2.1.1 az1對矩陣A的影響變化

把a(bǔ)z1看為變量，代入所對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)值得：

(9)

接下來研究流出系數(shù)az1對系數(shù)矩陣A穩(wěn)定性的影響。矩陣A的特征方程為：

=λ3+0.074 2λ2+(1.101 43×10-4az1+9.922×10-5)λ+2.073 69×10-5az1。

(10)

用MATLAB仿真得到圖1。可看出隨著流出系數(shù)取值的變化，各個(gè)特征值也隨之改變，當(dāng)流出系數(shù)取值越接近于1，一步轉(zhuǎn)移矩陣的特征值離虛軸越來越遠(yuǎn)，系數(shù)矩陣的穩(wěn)定性也隨之變化。

2.1.2 az2對矩陣A的影響變化

通過對az2取值分析，并代入所對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)值得：

(11)

研究帶有未知參量az2的系數(shù)矩陣A穩(wěn)定性，先計(jì)算出矩陣A的特征方程為：

=λ3+(0.043 4+0.017 1az2)λ2+(0.031 6+0.017 1az2)λ-0.005 8×10-5+0.198 6×10-5az2。

通過計(jì)算可以求得矩陣A帶有未知參量az2的特征值和特征向量，并改變未知參量的取值觀察其特征值的變化，然后通過特征值的變化范圍來觀察系數(shù)矩陣的穩(wěn)定性。

對于變量az2進(jìn)行賦值，找到系數(shù)矩陣最穩(wěn)定時(shí)az2的取值點(diǎn)。用MATLAB仿真得到圖2。

圖1 流出系數(shù)az1對矩陣A特征值的影響Fig.1 Influence of outflow coefficient az1on the eigenvalues of matrix A

圖2 流出系數(shù)az2對矩陣A特征值的影響Fig.2 Influence of outflow coefficient az2on the eigenvalues matrix A

通過仿真圖可看出，當(dāng)az2的取值越大時(shí)，一步轉(zhuǎn)移矩陣特征值越遠(yuǎn)離虛軸，系數(shù)矩陣越穩(wěn)定，從而得到流出系數(shù)與系數(shù)矩陣的穩(wěn)定性關(guān)系。

2.1.3az3對矩陣A的影響變化

定義az3為變量，帶入所對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)值得：

(12)

進(jìn)而研究流出系數(shù)az3對系數(shù)矩陣A穩(wěn)定性的影響。對于矩陣A，其特征方程有

(13)

通過求解矩陣A的特征值和特征向量，并研究流出系數(shù)az3的變化，觀察系數(shù)矩陣的穩(wěn)定性。用MATLAB來做仿真圖，如圖3。

圖3 流出系數(shù)az3對矩陣A特征值的影響Fig.3 Influence of outflow coefficient az3on the eigenvalues of matrix A

根據(jù)圖3可以看出，對于流出系數(shù)az3，當(dāng)取值越接近于1時(shí)，特征值離虛軸越遠(yuǎn)，系數(shù)矩陣也越穩(wěn)定。

因此，通過三容水箱的系統(tǒng)建模，得出系數(shù)矩陣與流出系數(shù)的關(guān)系式；通過定義三容水箱的3個(gè)液位高度，通過3組仿真實(shí)驗(yàn)，均得出同一結(jié)論：當(dāng)流出系數(shù)的取值越接近于1時(shí)，一步轉(zhuǎn)移矩陣特征值離虛軸越遠(yuǎn)，系數(shù)矩陣越穩(wěn)定。

2.2 對比驗(yàn)證

根據(jù)定義的3個(gè)液位高度進(jìn)行3組仿真實(shí)驗(yàn)，得出流出系數(shù)對三容水箱系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，接下來通過改變?nèi)菟湎到y(tǒng)的穩(wěn)定工作點(diǎn)，驗(yàn)證以上結(jié)論的正確性。因此，在h2>h3>h1條件下，選取一組數(shù)據(jù)對比驗(yàn)證。根據(jù)流出系數(shù)az1的取值變化，分析不同液位高度下，流出系數(shù)的大小對系數(shù)矩陣穩(wěn)定性的影響。

取得系統(tǒng)的穩(wěn)定工作點(diǎn)為：h1=0.167 6 m,h2=0.421 5 m,h3=0.285 4 m 。

(14)

由廣義的Torricelli法則可得如下非線性系統(tǒng)：

(15)

所對應(yīng)的系數(shù)矩陣為：

(16)

對于一步轉(zhuǎn)移矩陣A定義az1為變量，代入相應(yīng)的已知參量值，可得到：

(17)

求矩陣A的特征方程為：

=λ3+(0.039 0az1+0.032 6)λ2+(0.001 0az1+0.000 1)λ+0.019 8×10-4az1。

(18)

用MATLAB計(jì)算其特征值和特征向量，并得到仿真圖4。

圖4 流出系數(shù)az1對矩陣A特征值的影響Fig.4 Influence of outflow coefficient az1on the eigenvalues of matrix A

與圖1對比可得出，改變系統(tǒng)工作的穩(wěn)定點(diǎn)并不影響流出系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，隨著流出系數(shù)取值的不斷增大，系數(shù)矩陣也越來越穩(wěn)定。

對于流出系數(shù)az2,az3也有相同的結(jié)論，在此，不一一列舉。

因此，通過改變系統(tǒng)的穩(wěn)定點(diǎn)進(jìn)行兩組數(shù)據(jù)對比驗(yàn)證，得出同一結(jié)論：流出系數(shù)影響系數(shù)矩陣的穩(wěn)定性，隨著流出系數(shù)的不斷增大，一步轉(zhuǎn)移矩陣特征值離虛軸越來越遠(yuǎn)，系數(shù)矩陣越來越穩(wěn)定。

3 結(jié)論

本文利用三容水箱的系統(tǒng)建模得到一個(gè)關(guān)于流出系數(shù)為未知參量的系數(shù)矩陣，分析流出系數(shù)對三容水箱穩(wěn)定性的影響。通過對流出系數(shù)的取值變化來觀察系數(shù)矩陣穩(wěn)定性的變化范圍，并且運(yùn)用MATLAB仿真分析各個(gè)流出系數(shù)對系數(shù)矩陣穩(wěn)定性的影響，然后通過改變?nèi)菟涞囊何桓叨葋韺Ρ闰?yàn)證此實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，最后由多組仿真實(shí)驗(yàn)得到了同一結(jié)論，隨著流出系數(shù)取值的增大系數(shù)矩陣越穩(wěn)定。

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(責(zé)任編輯：高麗華)

Influences of Outflow Coefficient Failure on Three-tank Systems

ZHANG Dan1,LIU Yang2

(1.College of Mathematics and Systems Science,Shandong University of Science andTechnology,Qingdao,Shandong 266590,China;2.College of Electrical Engineering and Automation,Shandong University of Science andTechnology,Qingdao,Shandong 266590,China)

In this paper, the influences of outflow coefficient failure on the stability of three-tank systems were studied. The changes of the outflow coefficients would directly affect the stability of the one-step transmission matrix and in turn the system performance. First, the relationship between the coefficient matrix and the outflow coefficients was obtained by establishing the model of the three-tank system. Then the simulation figures of the influences of each outflow coefficient on the eigenvalue of the coefficient matrix were obtained. Finally, the influences of the outflow coefficients on the stability of the three-tank system were analyzed based on the simulation results.

three-tank systems (TTSs);outflow coefficient;fault diagnosis

2017-04-14

中國博士后科學(xué)基金項(xiàng)目(2016M600546)；青島市博士后研究人員應(yīng)用研究項(xiàng)目(2016112)；山東科技大學(xué)研究生科技創(chuàng)新項(xiàng)目(SDKDYC170354)

張 丹(1993—)，女，山東壽光人，碩士研究生，主要從事故障檢測與診斷方面的研究.E-mail:zdcyndi@163.com 劉 洋(1988—)，男，遼寧海城人，博士后，主要從事最優(yōu)濾波、閉環(huán)系統(tǒng)、故障檢測與診斷的研究，本文通信作者.E-mail:lianinliyan@163.com

TQ35

A

1672-3767(2017)04-0066-07

10.16452/j.cnki.sdkjzk.2017.04.010