三維溫度場聲學CT重建中的聲波路徑選擇*

顏 華， 朱冠楠， 王曉寧，2， 于立新

(1. 沈陽工業大學 信息科學與工程學院， 沈陽 110870； 2. 沈陽大學 信息工程學院， 沈陽 110044； 3. 中國人壽保險股份有限公司深圳市分公司 信息技術部， 廣東 深圳 518031)

信息科學與工程

三維溫度場聲學CT重建中的聲波路徑選擇*

顏 華1， 朱冠楠1， 王曉寧1，2， 于立新3

(1. 沈陽工業大學 信息科學與工程學院， 沈陽 110870； 2. 沈陽大學 信息工程學院， 沈陽 110044； 3. 中國人壽保險股份有限公司深圳市分公司 信息技術部， 廣東 深圳 518031)

為了優化三維溫度場聲學CT重建系統，對聲波路徑的合理選擇進行了仿真研究.將20個聲波收發器布置在長方體被測區域的周圍，分別考慮了4種聲波路徑選擇方式，保留了非重復的所有路徑、去除了長方體棱邊上的路徑、去除了長方體側面上的路徑和去除了長方體表面上的路徑.用相對誤差、均方根誤差等指標，評價了溫度場的重建質量.結果表明，聲波路徑的選擇方式對溫度場重建具有明顯影響.合理地選擇聲波路徑，可以降低聲學CT法溫度場重建的誤差和計算量.

聲學CT； 三維溫度分布； 重建； 收發器布局； 聲波路徑； 優化； 重建誤差； 仿真研究

基于計算機層析成像(computer tomography，CT)的聲學CT溫度場重建技術，具有非接觸、測溫范圍廣、測量精度高、測量對象空間范圍大、不受輻射影響、實時連續測量和維護方便等優點.工業爐溫度場監測[1-2]是該技術的典型應用，而應用該技術監測海底熱液口溫度[3-4]、倉儲糧食溫度分布[5-7]則是近幾年開始的新的應用研究.

聲學CT溫度場重建需將Q個聲波收發器布置在被測區域的周圍，并將被測區域劃分成M個網格.原則上可形成Q(Q-1)/2條聲波路徑.但通常按照某種原則去除一些路徑，只選取其中的N條作為有效路徑.測量出聲波在各有效路徑上的傳播時間，再利用適當的重建算法，可為每個網格重建出一溫度，等效于一個溫度采樣點.

聲學CT溫度場重建屬于由結果(各有效路徑上的聲波傳播時間)反推原因(被測區域的溫度分布)的逆問題研究，通常要借助正問題模型來求解，即先建立一個系數矩陣，描述溫度分布到傳播時間的映射關系，然后再通過矩陣求逆重建溫度分布.典型的聲學CT溫度場重建算法包括最小二乘法、代數重建算法ART、同步迭代法SIRT、徑向基函數與正則化法等[8-10].最小二乘法、ART和SIRT算法均要求被測區域劃分的網格數M小于或等于有效聲波路徑數N，而本文提出的徑向基函數與正則化法允許M遠大于N，能更好地適應儲糧溫度場中熱點位置隨機性強這一特點.

目前，聲學CT溫度場重建技術的研究普遍針對二維矩形層面進行，選擇有效路徑時去除位于同一棱邊上的路徑.三維溫度場聲學CT重建的文獻還較少見，路徑的選擇也不統一.文獻[8]將32個收發器布置在10 m×10 m×10 m的立方體被測區域周圍，將該區域劃分成4×4×4=64個網格，剔除了位于立方體表面的路徑，用最小二乘法進行了溫度場重建；文獻[10]將16個聲波發射/接收器布置在1.3 m×1.0 m×1.2 m的被測區域周圍，將該區域劃分成6×4×5=120個網格，將非重復的所有路徑皆視為有效路徑，用SIRT算法進行了溫度場重建.

本文采用徑向基函數與正則化重建算法，在被測區域及網格剖分、聲波收發器位置不變的前提下，研究聲波路徑選擇對溫度場重建的影響，為優化三維溫度場重建系統提供依據.

1 聲學CT溫度場重建原理

聲波在氣體介質中的傳播速度是絕對溫度的第一函數.在大多數應用條件下，氣體的組分和它們的相對含量是已知的，且在很小范圍內變化，聲波傳播速度與溫度之間的函數關系可表示為

(1)

式中：c為聲音在氣體介質中的傳播速度；γ為氣體介質定壓比熱容與定容比熱容的比值，與氣體的成分有關；R為理想氣體普適常數；T為熱力學絕對溫度；m為氣體分子量；對于給定氣體，Z為常數，對于空氣而言，該值為20.05，對于煙道混合氣體而言，該值為19.08.

2 重建算法

設被測區域聲慢即聲速倒數分布為f(x，y，z)，聲波在第k條有效路徑上的傳播時間為pk，則有

(2)

將被測區域均勻地離散為M(M>N)個網格，并將f(x，y，z)表示為M個徑向基函數的線性組合，則有

(3)

(4)

式中：εi為待定系數；(xi，yi，zi)為第i個網格的中心點坐標；a為徑向基函數φi(x，y，z)的形狀參數.將式(3)、(4)代入式(2)，則有

(5)

(6)

令A=(aki)k=1，2，…，N；i=1，2，…，M，g=[g1，g2，…，gN]T，ε=[ε1，ε2，…，εM]T，建立正問題模型，即

g=Aε

(7)

利用矩陣A的奇異值分解和Tikhonov正則化技術，式(7)的正則化解[6]可表示為

(8)

式中：σ1≥σ2≥…≥σp>0為系數矩陣A的非零奇異值，p為非零奇異值總數；uj、vj分別為A的左、右奇異向量；μ>0為正則化參數.當聲波收發器位置以及網格劃分確定后，給定徑向基函數的形狀參數a，便可得到系數矩陣A及其奇異值.用仿真計算或實際測量的方法獲得聲波傳播時間數據向量g，可由式(8)確定描述聲慢場分布的參數向量ε，進而由式(3)獲得M個網格中心點的聲慢值，用式(1)求出溫度值.

由于逆問題的不適定性，通常矩陣A病態嚴重，有許多很小的奇異值，條件數σ1/σp很大.當g存在誤差時，如不采用正則化技術(即μ=0)，式(8)中對應于非常小的奇異值項會對g中的誤差放大許多倍使所求解遠離真實解.正則化技術是以犧牲細節重建為代價獲得穩定解的.μ取值偏小時不能有效地抑制噪聲，而取值偏大時會使重建場過于平滑而丟失細節信息.目前，μ的選取主要還是采用經驗和數值實驗相結合的方法確定.

3 重建誤差評價方法

本文采用各網格中心重建溫度的相對誤差REi、重建溫度場的最大相對誤差RM、均方根誤差E評價重建溫度場的質量，其定義分別為

(9)

(10)

(11)

4 三維溫度場仿真重建

假定被測區域為 9m×9m×9m的區域，將該區域均勻地劃分成9×9×9=729個網格，并將20個聲波收發器布置在其周圍，如圖1所示.形

狀參數的選取主要取決于被測區域的大小及其網格劃分，本文取徑向基函數的形狀參數a=0.000 5.

圖1 收發器布局Fig.1 Transceiver layout

表1給出了本文所考慮的4種聲波路徑選擇方式及其所對應特性參數.由表1可以看出，隨著聲波路徑數的增多，系數矩陣的維數和條件數都會增加.因此，從重建的計算量和重建結果對噪聲的敏感性來看，“所有路徑”并非最佳的路徑選擇方式.

(12)

表1 路徑選擇及對應特性Tab.1 Path selection and corresponding characteristics

該模型描述了熱點中心位于(-2，0，-2)和(2，0，2)、熱點溫度為350 K的雙熱點溫度場.依次采用表1給出的4種路徑選擇方式，獲得模型溫度場的聲波傳播時間數據.由于目前還沒有一種能自適應各種情況的正則化參數選取方法，正則化參數μ的確定通常是根據經驗和數值實驗確定.因此，本文依據經驗分別在μ值為1e-8、1e-7，1e-6、5e-6時進行無噪聲和有噪聲溫度場重建，并運用式(9)～(11)對重建結果進行誤差評價.有噪聲重建是指在聲波傳播時間數據中添加均值為0，標準差σ=0.001的高斯噪聲，該標準差與實際采集到的各路徑聲波飛行時間數據的噪聲水平相符.由于噪聲具有隨機性，任一組含噪的聲波傳播時間對應的重建誤差都不足以表征該噪聲水平下的重建質量.因此，有噪重建時給出的各項重建誤差皆為40組有噪數據重建誤差的平均值.

圖2給出了正則化參數μ分別取1e-8、1e-7、1e-6和5e-6時，不同路徑選擇方式下重建溫度場的最大相對誤差RM和均方根誤差E的對比圖.由圖2可以看出，4種方式中對噪聲和μ值的改變最敏感的是“所有路徑”方式，最不敏感的是“去除表面”方式，μ取1e-6時通常對應著較少的重建誤差.圖3為模型溫度場和重建溫度場在y=0處的切片圖.圖4為各網格中心重建溫度的相對誤差REi相對于網格序號i的曲線.該曲線被6條豎線(紅色的點劃線或粉色的細實線)分為7個區域，從左到右分別對應著上、下、前、后、左、右6個長方體表層及內部區域，區域編號從左到右依次是1，2，…，7.當一網格同時屬于2個區域時，將該網格劃分為小序號區域.由于篇幅所限，圖3、4只給出了μ=1e-6的重建情況.

圖2 雙熱點溫度場重建誤差對比Fig.2 Comparison in reconstruction error of temperature field with two hot spots

圖3 雙熱點模型溫度場及重建溫度場 Fig.3 Temperature field with two hot spots in model and reconstructed temperature field

由圖2～4可以看出，無論有、無噪聲，“去除表面”所對應的重建誤差都是最大的，顯著大于其他三種方式，這應該是該方式剔除了最多的聲波路徑所致；“去除棱邊”所對應的重建誤差都是最小的或接近最小的.因此，從重建誤差的角度來看，“去除棱邊”是最佳的路徑選擇方式，而“去除表面”是最不可取的路徑選擇方式.

(13)

圖4 雙熱點重建溫度場的相對誤差曲線Fig.4 Relative error curves of reconstructed temperature field with two hot spots

該模型描述了一個熱點中心位于(xh，yh，zh)，熱點溫度為350 K的單熱點溫度場.對這些模型溫度場分別采用無噪聲和有噪聲的聲波傳播時間數據進行溫度場重建，并進行相應的重建誤差評價.評價結果表明，從重建誤差的角度來看，“去除棱邊”是最佳的路徑選擇方式.由于篇幅所限，本文只在圖5中給出了有噪聲數據μ取不同值時，4種路徑選取方式下的最大相對誤差RM和均方根誤差E的對比圖.圖6給出了熱點中心位于(0，0，0)的單熱點模型溫度場和μ=1e-6時重建溫度場在y=0處的切片圖.圖5中，柱狀圖的高度表示這些單熱點溫度場相應重建誤差的平均值；柱狀圖中所繪線段的上、下兩個端點分別表示這些單熱點溫度場相應重建誤差的最大值和最小值.

圖5 單熱點溫度場重建誤差對比Fig.5 Comparison in reconstruction error of temperature field with single hot spot

圖6 單熱點模型溫度場及重建溫度場Fig.6 Temperature field with single hot spot in model and reconstructed temperature field

5 結 論

系數矩陣的行數為選取的聲波路徑數N，N越大，系數矩陣的維數就越大，重建的計算量也越大.不僅如此，由于逆問題的不適定性，系數矩陣是病態的，其條件數會隨著N的增加而增大，即病態更嚴重，重建結果對噪聲更敏感.合理地選擇聲波路徑，優化三維溫度場聲學CT重建系統，對于降低溫度場重建誤差，減小重建的計算量都是很有必要的.

本文采用徑向基函數與正則化重建算法，在被測區域及網格剖分、聲波收發器位置不變的前提下，比較研究了“所有路徑”、“去除棱邊”、“去除側面”和“去除表面”4種聲波路徑選擇方式對溫度場重建的影響.研究表明，“去除棱邊”是最佳的聲波路徑選擇方式.

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(責任編輯：鐘 媛 英文審校：尹淑英)

Selection of sound path in reconstruction of 3D
temperature field with acoustic CT

YAN Hua1, ZHU Guan-nan1, WANG Xiao-ning1,2, YU Li-xin3

(1. School of Information Science and Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China; 2. School of Information Engineering, Shenyang University, Shenyang 110044, China; 3. Information Technology Department, Shenzhen Branch of China Life Insurance Co. Ltd., Shenzhen 518031, China)

In order to optimize the acoustic computer tomography (CT) reconstruction system for the 3D temperature field, the reasonable selection of sound path was performed with simulation research. Twenty sound transceivers were arranged around a cuboid measurement area. Four acoustic path selection modes were considered, all non-duplicated paths were retained, and the paths on the edges, sides and surfaces of the cuboid were removed. In addition, the relative error and root-mean-square error were used to evaluate the reconstruction quality of temperature field. The results show that the selection modes of sound path have an obvious effect on the reconstruction of temperature field. The errors and computation amount in the acoustic CT method for the reconstruction of temperature field can be reduced through the reasonable selection of sound path.

acoustic CT; 3D temperature distribution; reconstruction; transceiver layout; acoustic path; optimization; reconstruction error; simulation research

2016-05-03.

國家自然科學基金資助項目(60772054，61372154)； 遼寧省高等學校優秀人才支持計劃項目(LR2013005).

顏 華(1964-)，女，遼寧沈陽人，教授，博士生導師，主要從事聲層析成像溫度場檢測和電容層析成像技術等方面的研究.

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.04.09

TK 311

A

1000-1646(2017)04-0406-06

*本文已于2016-12-22 17∶42在中國知網優先數字出版. 網絡出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20161222.1742.044.html