基于排隊論的高速公路ETC收費站車道配置模型

趙濤

摘 要：為了確定在一定的交通量和ETC技術(shù)使用率下ETC車道的最佳開啟數(shù)量，基于排隊理論，針對我國高速公路ETC收費站人工收費車道和ETC車道將長期并存的現(xiàn)狀，建立了此種收費站的排隊模型，并提出以系統(tǒng)中車輛逗留時間最短為目標的ETC收費站車道配置模型，最后通過實例驗證了此模型。結(jié)果表明，一個六通道的高速公路收費站，在交通量為2400輛/h、ETC技術(shù)使用率為40%的條件下，ETC車道的最佳開啟數(shù)量為2個。以此模型可確定任意交通量和ETC技術(shù)使用率下ETC車道的最佳開啟數(shù)量。

關(guān)鍵詞：排隊論；ETC；車道配置模型

排隊論是研究系統(tǒng)隨機聚散現(xiàn)象和隨機服務系統(tǒng)工作過程的數(shù)學理論和方法。在高速公路上，車輛不斷地到達收費站，然后排隊等候，依次完成繳費，最后離開收費站。如果到達的車輛在系統(tǒng)中不能快速完成繳費，就產(chǎn)生了排隊現(xiàn)象，所以說高速公路收費站是一個典型的排隊系統(tǒng)。因此可以依據(jù)排隊論建立收費站排隊模型然后得出其運行特征，并以此為設(shè)置ETC收費站車道數(shù)提供重要的理論依據(jù)。

由于我國汽車保有量的激增，高速公路人工方式收費已不能完全滿足出行者的需要，電子不停車收費系統(tǒng)（ETC）由于可以有效緩解因繳費造成的延誤而成為主要趨勢。歐美、日本等發(fā)達國家在ETC技術(shù)和管理方面已比較成熟，國內(nèi)也已基本實現(xiàn)ETC聯(lián)網(wǎng)收費，一些發(fā)達省份的ETC覆蓋率也已達到較高水平，如北京96.68%，江蘇82.28%。同時也應注意到國內(nèi)外道路交通狀況差別較大，收費站分布和數(shù)量差別很大，所以不能照搬國外模式。目前國內(nèi)ETC收費站是同時具有ETC車道和人工收費車道的收費站，而且兩者將長期并存。ETC收費站的通行能力直接受ETC車道數(shù)量的影響，若ETC車道開啟數(shù)量較少而ETC使用率較高時，ETC車道車輛等待服務時間增長，排隊成本增加。若 ETC 車道開啟數(shù)量較多而ETC使用率較低時，致使人工收費車道輛等待服務時間增長，排隊成本增加。因此在一定的ETC技術(shù)使用率和交通量下ETC車道和人工收費車道如何配置顯得極其重要。

劉維維等人基于排隊理論，建立了高速公路收費站收費車道數(shù)目設(shè)計的排隊論模型[3]。代士磊通過比較高速公路 ETC 和 人工收費方式下的車輛延誤，得出在車流量很大的情況下，高速公路收費站采用 ETC 方式能夠有效減少車輛延誤[4]。宋麗曉在研究中以M/M/1 模型為例，建立了在一定ETC技術(shù)使用率下以收費系統(tǒng)總費用最小為目標的模型[5]。楊政文等人基于成本分析進行了收費站 ETC 車道開啟數(shù)量研究，通過研究運營成本和排隊成本提出了 ETC 開啟數(shù)量優(yōu)化模型[6]。

然而以上研究具有一定的局限性，如在高速公路收費站中收費通道都是大于1的，且出行時間對于出行者顯得尤為重要，出行時間的減少也就意味著成本的減少。因此，本文在通過排隊論分析ETC收費站車輛排隊繳費的基礎(chǔ)上，以系統(tǒng)車輛逗留時間最短為目標建立了多通道ETC收費站車道配置模型，并通過實例驗證，得出在一定的交通量和ETC技術(shù)使用率下ETC車道的最佳開啟數(shù)量。

1 排隊系統(tǒng)概述

1.1 排隊系統(tǒng)的組成部分

排隊系統(tǒng)一般包括三個部分，輸入過程、排隊規(guī)則和服務方式。

1.1.1輸入過程

輸入過程是指各種類型的顧客按怎樣的規(guī)律到來。常見的有如下幾種服務過程：

（1）定長輸入——顧客等時距到達。

（2）泊松輸入——顧客到達符合泊松分布或顧客到達時距符合負指數(shù)分布。

（3）愛爾朗輸入——顧客到達時距符合愛爾朗分布。

對于收費站系統(tǒng)，車輛以泊松分布到達。

1.1.2排隊規(guī)則

排隊規(guī)則指到達的顧客按怎樣的次序接受服務。常見的有以下幾種排隊規(guī)則：

（1）損失制：顧客到達時，若所有服務臺均被占，該顧客就自動消失，永不再來。

（2）等待制：顧客到達時，若所有服務臺均被占，它們就排成隊伍，等待服務。服務次序有先到先服務（這是最通常的情形）和優(yōu)先服務（如急救車、消防車等）和隨機服務等多種規(guī)則。

（3）混合制：顧客到達時，若隊長小于某一定值L，就排入隊伍等候；若隊長等于L，顧客就離去，永不再來。

對于收費站系統(tǒng)，排隊規(guī)則為等待制。

1.1.3服務方式

服務方式指同一時刻有多少服務臺可接納顧客，為每一顧客服務了多少時間。服務時間的分布主要有以下幾種：

（1）定長分布服務——每一顧客的服務時間都相等。

（2）負指數(shù)分布服務——各顧客的服務時間相互獨立，服從相同的負指數(shù)分布。

（3）愛爾朗分布服務——各顧客的服務時間相互獨立，服從相同的愛爾朗分布。

對于收費站系統(tǒng)，服務方式服從負指數(shù)分布。

1.2 排隊模型的分類

用Kendall符號來表示排隊模型，形如X/Y/Z/A/B/C，其中X處填寫相繼到達間隔時間分布，Y處填寫服務時間分布，Z處填寫服務臺數(shù)目，A處填寫系統(tǒng)容量限制，B處填寫顧客源數(shù)目，C處填寫服務規(guī)則。引入下列記號，M代表泊松輸入或負指數(shù)分布服務，Ek代表愛爾朗分布，G代表一般服務時間分布，F(xiàn)CFS代表先到先服務。每種模型都可以根據(jù)Kendall符號表示出來。

1.3 排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標

排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標如下：

（1） 系統(tǒng)空閑概率P（0）： 系統(tǒng)處于沒有顧客來到要求服務的概率；

（2） 隊長： 系統(tǒng)中排隊等待服務和正在服務的顧客總數(shù)，其平均值記為Ls；

（3） 排隊長： 系統(tǒng)中排隊等待服務的顧客數(shù)，其平均值記為Lq；

（4） 逗留時間： 一個顧客在系統(tǒng)中的停留時間，包括等待和服務時間，其平均值記為Ws；

（5） 等待時間： 一個顧客在系統(tǒng)中排隊等待時間，其平均值記為Wq。

2 ETC收費站排隊模型

對于高速公路收費站系統(tǒng)，一般為N個服務臺，即多通道服務系統(tǒng)。根據(jù)排隊理論，可以表示為車輛以泊松分布到達、負指數(shù)分布服務、N個服務臺（收費臺）、排隊不受限制、無限源、先到先服務的模式，即M/M/N/∞/∞/FCFS模式。根據(jù)排隊方式不同多通道服務系統(tǒng)可分為單路排隊多通道服務和多路排隊多通道服務，而多路排隊多通道服務相當于是N個M/M/1/∞/∞/FCFS模式。已證明在相同通道數(shù)目條件下，單路排隊多通道服務比多路排隊多通道服務優(yōu)越，原因在于，N個平行的M/M/1系統(tǒng)表面上到達車流被分散，但實際上受排隊車道與服務通道一一對應的限制，而M/M/N系統(tǒng)較為靈活，排在第一位的車輛可視哪個服務臺有空就到哪個服務臺，避免了各服務臺忙閑不均的情形，充分發(fā)揮了服務能力，因而顯得優(yōu)越[1]。所以目前高速公路收費站都采用單路排隊多通道服務模式。

高速公路收費站排隊系統(tǒng)的運行效率通常用以下指標衡量：

（1）隊長：系統(tǒng)中的車輛數(shù)，記為Ls；

（2）排隊長：指排隊等候服務的車輛數(shù)，計為Lq；

（3）逗留時間：一輛汽車在系統(tǒng)中的逗留時間，它的期望值記為Ws；

（4）等候時間：一輛汽車排隊等候的時間，它的期望值記為Wq。

設(shè)車輛平均到達率為，平均服務率為，則平均服務時間為，比率 稱為系統(tǒng)的服務強度或利用系數(shù)。 若 （即），系統(tǒng)穩(wěn)定；若 ，排隊長度會越來越長，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此要保證穩(wěn)定狀態(tài)即確保單通道排隊能夠消散的條件是。

ETC收費站人工收費方式與ETC方式將并存，用a代表ETC收費方式，b代表人工收費方式，假設(shè)總共有N個車道。我們可以把ETC收費站車輛排隊問題看作兩個M /M /N/∞/∞/FCFS排隊模型來處理，為了更好地討論ETC收費站車輛排隊系統(tǒng)模型，定義如下符號：

表示ETC的技術(shù)使用率（即裝有OBU車輛的比例），；

Na表示收費站ETC收費方式的車道數(shù)；

Nb表示收費站人工收費方式的車道數(shù)，且N=Na+Nb；

λ表示收費站車輛到達率，也即交通量；

ua表示收費站ETC收費方式的服務率；

ub表示收費站人工收費方式的服務率；

ρa表示收費站ETC收費方式的服務強度；

ρb表示收費站人工收費方式的服務強度；

Lqa表示收費站ETC收費方式排隊等候的車輛數(shù)；

Lqb表示收費站人工收費方式排隊等候的車輛數(shù)；

Lsa表示收費站ETC收費方式系統(tǒng)中的車輛數(shù)；

Lsb表示收費站人工收費方式系統(tǒng)中的車輛數(shù)；

Wqa表示收費站ETC收費方式等候時間；

Wqb表示收費站人工收費方式等候時間；

Wsa表示車輛在收費站采用ETC收費方式繳費所逗留的時間；

Wsb表示車輛在收費站采用人工收費方式繳費所逗留的時間。

依據(jù)排隊理論，則：

3 車道配置模型及其求解

3.1 建立模型

基于上述排隊模型，建立以系統(tǒng)車輛逗留時間最短為目標的ETC收費站車道配置模型。

minZ=Wsa+Wsb （13）

N=Na+Nb，其中Na，Nb為整數(shù) （14）

這是一個與收費站ETC車道數(shù)Na和人工收費車道數(shù)Nb有關(guān)的非線性函數(shù)。因此可認為在允許Na和Nb的范圍內(nèi)，存在某一確定的Na和Nb值使得系統(tǒng)中車輛逗留時間最短。

3.2 模型求解

本文所建立的ETC收費站車道配置模型屬于帶約束的非線性整數(shù)規(guī)劃模型。在已知車道數(shù) N和ETC技術(shù)使用率β的前提下，根據(jù)車輛到達率λ、ETC方式服務率ua、收費站人工收費方式服務率ub，對Na依次取1，2，3…N-1，根據(jù)式（1）…（12）最終求得ETC 車道內(nèi)的車輛逗留時間Wsa和人工收費車道內(nèi)車輛的平均逗留時間Wsb，將所有參數(shù)代入已建立Z的函數(shù)式（13）中，即可求得開啟不同 ETC 車道數(shù)量下對應的逗留時間，通過對比找出最短逗留時間，與之對應的即為該交通量下 ETC 車道最優(yōu)開啟數(shù)量。

4 實例分析

4.1 參數(shù)設(shè)定

某高速公路的收費站有6個收費車道，ETC技術(shù)使用率β為40%。利用上述模型來獲取最優(yōu)的車道配置方案.假設(shè)車輛達到率為2400輛/h。收費站ETC收費方式的服務率為1200輛/車道/h，人工收費方式的服務率為400輛/車道/h。

4.2 計算結(jié)果

N=6時，根據(jù)上述公式，Na依次取1，2，3，4，5，求得不同車道配置下車輛逗留時間。收費站在該交通量及ETC技術(shù)使用率下開啟2條ETC 車道時，能夠使收費站車輛逗留時間達到最短。結(jié)果如表1所示。

表1 不同車道配置對應的車輛逗留時間

Na 1 2 3 4 5

Z（s） 27.00 9.04 9.71 26.73 47.01

同理，可以通過計算得到在不同交通量和ETC技術(shù)使用率下所對應的使系統(tǒng)中車輛逗留時間最短的車道配置。

5 研究結(jié)論

（1）基于排隊論原理分析了高速公路ETC收費站車輛排隊模型，為建立ETC收費站車道配置模型提供了理論基礎(chǔ)。

（2）以使系統(tǒng)中車輛逗留時間最短為目標建立ETC收費站車道配置模型，進行實例驗證，結(jié)果表明：一個六通道的高速公路收費站，在交通量為2400輛/h、ETC技術(shù)使用率為40%的條件下，ETC車道的最佳開啟數(shù)量為2個。

（3）利用本文提出的高速公路收費站ETC車道配置模型，可在不同交通量和ETC技術(shù)使用率下選擇最佳的ETC車道開啟數(shù)量來滿足運行需求，在實際應用中具有一定的指導意義。

參考文獻

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