帶線性與非線性延遲項的Volterra積分方程研究

鄭偉珊

（韓山師范學院數學與統計學院，廣東潮州521041）

帶線性與非線性延遲項的Volterra積分方程研究

鄭偉珊

（韓山師范學院數學與統計學院，廣東潮州521041）

主要研究了一類帶線性延遲項與非線性延遲項Volterra型積分方程的收斂情況．首先通過線性變換，將原先定義在[0,T]區間上的帶線性與非線性延遲項的Volterra型積分方程轉換成定義在固定區間[-1,1]上的方程，然后利用Gauss積分公式求得近似解，進而再利用Chebyshev譜配置方法分析該方程的收斂性，最終借助格朗沃不等式及相關引理分析獲得方程在L∞和L2ωC范數意義下呈現指數收斂的結論，最后給出數值例子，算出誤差估計并繪圖展示，藉此驗證理論證明的結論.

Chebyshev譜配置方法；線性延遲項；非線性延遲項；Volterra型積分方程；誤差分析

1 介紹

主要研究帶線性與非線性延遲項的Volterra積分方程，其形式如下

這里y(τ)是定義在[0,T](T＜+∞)上的未知函數，φ1(τ)=qτ，φ2(τ)=qτ2，q是常數且0＜q＜1．f(τ),R1(τ,ξ),R2(τ,η)是已知函數，其中f(τ)∈Cm[0,T]，R1(τ,ξ)∈Cm(Ω1)，R2(τ,η)∈Cm(Ω2)，m≥1,

Volterra型方程作為數學模型出現在許多領域中，包括機械物理問題、天體運動問題、生物種群原始狀態變化問題等．帶延遲項與非延遲項的Volterra型積分方程作為Volterra型方程的一個分支，它通常出現在具有時滯問題的刻畫上，比如股票的震蕩、生物種群繁衍等．關于Volterra型方程的研究受到較為廣泛的關注，香港中文大學湯濤[1]教授用勒讓德譜配置方法研究了Volterra方程的收斂性問題，隨后華南師范大學陳艷萍教授與湯濤教授共同研究了帶弱奇異核的Volterra型積分方程[2]，采用雅克比譜配置方法并獲得收斂性結論．此外研究Volterra型積分方程還有噶遼金方法[3-4]、契比雪夫譜方法[5]等等．本文在之前工作[6]基礎上使用契比雪夫譜方法研究帶線性延遲項與非線性延遲項的Volterra型積分方程．

2 契比雪夫譜方法

在介紹契比雪夫譜方法之前，先介紹兩類點：首先對于一個給定的自然數N，用{θk}Nk=0表示N+1勒讓德高斯點[7]，用表示勒讓德權，則相應的勒讓德高斯積分法則為

這里Fi(x)是以為插值基點的第i個插值基函數．

通過以下變量變換把方程（1）轉化為定義在[-1,1]上

倘若令

則方程（1）相應又可以轉換為如下形式

再通過如下變換將（3）中兩個變上限[-1,Q1(x)],[-1,Q2(x)]積分轉換為固定區間[-1,1]

則方程（3）化為

顯然以上方程在點xi恒成立，故有

使用N+1點的勒讓德積分法則（2）(相應的權為ωk)，可以得到如下近似式

這里i=0,1,2,...,N，zk=vk是N+1個勒讓德高斯點[7]．，顯然uN(x)∈PN．契比雪夫譜配置方法就是尋求uN(x)使之滿足如下方程:i=0,1,2,...,N，

3 相關空間及引理介紹

本節中介紹一些引理，這些引理在接下來的證明中要用到，而為了更方便地介紹引理內容，先引入如下幾個空間．

令ωα,β(x)=(1-x)α(1+x)β普通意義下的權函數，這里α,β＞-1，記為如下定義的空間是可測的，且，其模為,相應的內積為

對于非負整數m，定義空間

相應的模和半模分別為

特別地，當α=β=0，用Hm(-1,1)表示；當，用ωc表示下面介紹引理

引理3.1[7-8]假設，m≥1，INu是以N+1契比雪夫高斯點為插值基點的插值算子，即，則有

引理3.2[7-8]假設，則存在一個不依賴于N的常數C使得

這里xi是N+1契比雪夫高斯點，相應的權為，而zi是N+1勒讓德點，相應的權為ωi，i=0,1,2,3...,N.

引理3.3[2，9]令Fi(x)是以N+1個契比雪夫高斯點為插值基點的第i個拉格朗日插值基函數，

則有

引理3.4[3，10]（Gronwall不等式）假設u(x)是一個定義在[-1，1]上的非負局部可積函數滿足

這里L≥0是一個常數，v(x)也是一個可積函數，則存在一個常數C使得并且

引理3.5假設0≤M1,M2＜+∞，如果一個非負可積函數e(x)滿足

這里v(x)也是一個非負可積函數，則

并且

這里C是一個常數．

證明因為

故有

依據引理3.4可獲證引理結論

引理3.6[11]對于一切可測函數f≥0，如下廣義Hardy不等式成立

當且僅當

引理3.7[2，12]對一切有界函數v(x)，存在一個不依賴于v的常數C使得

4 收斂性分析

使用契比雪夫譜配置方法對方程（3）進行收斂性分析，目標是獲得方程在L∞以及空間中誤差均呈指數收斂．

4.1 L∞(-1,1)空間中的收斂性分析

定理4.1設u(x)是方程（3）的精確解，而uN(x)是通過契比雪夫譜配置方法所獲得的近似解，則當N足夠大時，有

這里

證明方程（6）減去（7）得

利用定理4.1的結論，令m=1有

故得：

相同的推導過程得到

再由定理4.1的結論，有

聯合以上證明定理結論獲證

5 算法設計及數值實驗

考慮如下形式的方程（1），其中

方程的精確解為:y(τ)=cosτ，τ∈[0,2]，其誤差表及誤差圖展示如表1及圖1，2所示.

圖1 u-uN在L∞和空間的誤差

圖2 精確解和近似解的對比

表1 u-uN在L∞和空間中的誤差

表1 u-uN在L∞和空間中的誤差

N誤差0.11307 1.6317e-004 2.431e-005 5.5119e-008 1.7854e-010 N24681 0 L∞誤差0.1183 1.6916e-004 3.067e-005 7.437e-008 2.5699e-010 L2 ωc ωc 12 14 16 18 20 L∞誤差6.5353e-013 9.72e-014 1.0103e-014 1.3267e-014 2.2926e-014誤差4.7698e-013 5.6001e-014 7.0571e-015 9.1216e-015 1.4116e-014 L2

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The Volterra Integral Equation with Linear Delay and Nonlinear Delay

ZHENG Wei-shan
（Colloge of Mathematics and Statistic，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong,521041）

This paper is a study of the Volterra integral equation with linear vanishing delay and nonlinear vanishing delay.First,transfer the integral interval[0,T]into interval[-1,1]through the conversion of variables.Then,use the Gauss quadrature formula to get the approximate solutions.Next,propose the Chebyshevspectral-collocation method to solve the equation.With the help of Gronwall inequality and some other lemmas,a rigorous error analysis is provided for the proposed method,which shows that the numerical error decay exponentially in the infinity norm and the Chebyshev weighted Hilbert space norms.In the end,numerical example is given to confirm the theoretical result.

Chebyshev spectral-collocation method；linear delay；non-linear delay；Volterra integral equations；error analysis.

O 242.2

A

1007-6883（2017）03-0015-08

責任編輯朱本華周春娟

2017-04-05

中山大學廣東省計算科學重點實驗室開放基金項目（項目編號：2016011）；韓山師范學院扶持項目（項目編號：201404）；韓山師范學院創新強校項目（項目編號：Z16027）．

鄭偉珊（1983-），女，廣東揭陽人，韓山師范學院數學與統計學院教師，博士.