一種以不同攻角的舵驗證伯努利方程的方法*

江梓丹 葉劍釗 敖耀良 黃斯慧

（廣東海洋大學工程學院）

一種以不同攻角的舵驗證伯努利方程的方法*

江梓丹**葉劍釗 敖耀良 黃斯慧

（廣東海洋大學工程學院）

使用前處理軟件GAMBIT對不同攻角的舵進行建模與網格劃分，利用CFD軟件FLUENT對其工作狀態進行數值模擬，并對不同攻角舵的周圍物理場進行分析，完成了流體力學中伯努利(Bernoulli)方程的驗證。模擬結果表明，即使不同攻角的舵，其周圍流場中任意相同一條流線上不同點的位能、壓能、動能之和基本穩定在一個常數周圍，即Bernoulli方程在不同攻角舵上的任意一條流線上成立。

不同攻角的舵 伯努利方程 數值模擬 流場 能量 計算流體動力學

0 前言

伯努利（Bernoulli）積分式是由歐拉公式對理想不可壓縮流體在質量力有勢的條件下作定常運動時沿流線積分推導出的[1]。計算流體動力學（computational fluid dynamic，簡稱CFD）是一種基于計算機仿真解決涉及流動、傳熱以及其他化學反應等物理現象的分析方法。本文將利用CFD軟件FLUENT對處于不同攻角的舵進行模擬計算，最大程度地還原真實情況，并對Bernoulli方程進行驗證。若同一條流線上各點的位能、壓能、動能之和穩定在一個常數周圍[3]且標準差小于0.05，則基本驗證了Bernoulli方程。

1 Bernoulli流體理論

歐拉坐標系下，流體微團的加速度為[2]：

圖1 理想流體微團

作用在微團左側面上的表面力為：

作用在微團左側面上單位質量的質量力在x，y，z軸上的投影是X，Y，Z，則微團受到的質量力在x軸上的投影是：

流體微團的質量為：

結合式（1）、 式（2）、 式（3）、 式（4），可得到理想流體的歐拉運動微分方程：

將式（5）轉為矢量表達式[2]，則為：

推導Bernoulli方程前，做以下假設：

（1）流體無黏性、不可壓縮，質量力具有勢函數；（2）流體作定常運動；（3）沿流線積分。

由假設（1）、（2）可得：

其中U為質量力的勢函數。

此時，歐拉運動微分方程轉化為：

對于定常流動，流線與跡線重合，在跡線上有：

將式（9）的兩邊分別乘以式（8）的兩邊，可得：

將式（10-a）、 式（10-b）、 式（10-c）相加，有：

式（11）括號內的函數沿流線上的全微分等于零，則必定滿足：

在重力場中，有U=-gz，則：

式（13）即歐拉運動微分方程在定常運動條件下沿流線積分的Bernoulli方程[2]。

2 工況設計及數值模擬

2.1 計算模型

利用前處理軟件GAMBIT對不同攻角舵的二維模型進行有限元建模，如圖2、圖3所示。

2.2 實驗工況設計

來流速度v=0.5 m/s，以舵的攻角A作為實驗變量設置四組實驗工況，分別在每組實驗工況的外流場取4條流線，每條流線上分別取4個取樣點。設流線的編號為1，2，3，4；取樣點的編號為A，B，C，D。實驗工況如表1所示。

圖2 0°攻角舵的有限元模型

圖3 0°攻角舵的邊界層網格

表1 實驗工況

2.3 模擬結果展示

利用FLUENT軟件對上述計算模型進行求解，不同實驗工況下舵外流場的壓強分布、速度分布及流線分布分別如圖4、圖5、圖6所示。

圖4 0°、9°、18°、27°工況下5 s時舵外流場的壓強分布

3 結果分析

由式（13）可知，只要證明在同一條流線上壓能與動能之和為常數[3]（本例位能可以忽略），即可完成對Bernoulli方程的驗證。

圖5 0°、9°、18°、27°工況下5 s時舵外流場的速度分布

圖6 0°、9°、18°、27°工況下5 s時舵外流場的流線分布

如圖7所示，對每種實驗工況取4條流線，每條流線上取4個點進行分析，以舵攻角角度為0°的實驗工況為例，每條流線的計算結果如表2～表5所示。

圖7 0°時舵的流線圖

表2 工況1.0-1的計算結果

表3 工況1.0-2的計算結果

表4 工況1.0-3的計算結果

表5 工況1.0-4的計算結果

4 結論

通過FLUENT軟件對不同攻角舵的運行狀態進行數值模擬，并對舵外流場的流線進行分析，完成了流體力學中Bernoulli方程的驗證。由表2～表5可以看出，不同的角度工況下，同一條流線上的壓能與動能之和基本穩定在一個常數周圍[3]，且標準差低于0.05。綜合表2～表5的結果，可以證明在如此低標準差的情況下，Bernoulli方程是高度成立的。

[1] 江梓丹，林燦彬，呂鴻冠，等.基于圓碟浮標的Bernoulli方程驗證方法 [J].武漢船舶職業技術學院學報，2015（6）：35－39.

[2] 王家楣，張志宏.流體力學 [M].第3版.大連：大連海事大學出版社，2010.

[3] 嚴導淦.流體力學中的總流伯努利方程 [J].物理與工程，2014，24（4）：47-53.

A Method for Verifying Bernoulli Equation at Different Angles of Attack Rudder

Jiang Zidan Ye Jianzhao Ao Yaoliang Huang Sihui

Modeling and mesh generation of rudders with different attack angles are performed using pre-processing software GAMBIT.The CFD software FLUENT is used to simulate its working state,and the physical field around the rudder with different attack angles is analyzed.The verification of Bernoulli equation in fluid mechanics has been completed.The simulation results show that even if the attack angles of the rudder is different,the sum of potential energy,pressure energy and kinetic energy at each point of the streamline in the flow field can approximately be stabilized around a constant.That is,the Bernoulli equation is established on any streamline of rudder with different attack angles.

Rudder with different attack;Bernoulli equation;Numerical simulation;Flow field;Energy;CFD

TQ 050.1

10.16759/j.cnki.issn.1007-7251.2017.06.010

2016-11-10）

*資助項目：廣東大學生攀登計劃項目（pdjh2016b0232、 pdjh2016b0239、pdjh2016a0226）。

**江梓丹，男，1995年生，湛江市，524088。