軸向載荷下圓柱滾子軸承滾子端面與擋邊接觸位置的多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)

張亞軍，張雨奇

（1.杭州軸承試驗(yàn)研究中心有限公司，杭州 310022；2.貢比涅技術(shù)大學(xué)，法國(guó) 貢比涅 60200）

在大多數(shù)應(yīng)用中，向心滾子軸承不僅要承受徑向載荷，還要承受軸向載荷，帶擋邊的圓柱滾子軸承是其中之一。文獻(xiàn)［1］有關(guān)于向心滾子軸承軸向承載能力的介紹。軸向承載能力與材料的疲勞強(qiáng)度無關(guān)，而與滾子端面和引導(dǎo)擋邊的接觸和潤(rùn)滑條件有關(guān)。在沒有流體潤(rùn)滑時(shí)，軸向載荷會(huì)使?jié)L子端面和擋邊之間產(chǎn)生摩擦，如果載荷條件惡劣，則會(huì)迅速發(fā)生破壞。而球端面滾子與擋邊間易形成油膜，會(huì)降低摩擦因數(shù)與接觸溫度。球端面滾子與平端面相比，在較高的軸向載荷下不發(fā)生咬合現(xiàn)象。球端面與擋邊的接觸對(duì)于接觸應(yīng)力、接觸變形、油膜厚度、摩擦因數(shù)、摩擦力矩等均有影響。若想得到最大的油膜厚度、最小接觸應(yīng)力及摩擦因數(shù)等，需找到最佳接觸位置。

文獻(xiàn)［2］介紹了接觸位置尋優(yōu)的一種試驗(yàn)方法，該方法與圖解法相同，求解不準(zhǔn)確，且計(jì)算程序僅考慮了載荷與變形，油膜厚度、摩擦因數(shù)等都是把位置確定后再進(jìn)行核算，其成本較高。鑒于此，通過對(duì)接觸位置受力及流體潤(rùn)滑分析，建立以接觸應(yīng)力、接觸變形、油膜厚度為多目標(biāo)的模糊優(yōu)化模型，用模糊優(yōu)化法求解。并求解最佳模糊水平截集，確定最佳接觸位置。引入模糊數(shù)學(xué)的基本思想，不僅解決了多目標(biāo)優(yōu)化問題，同時(shí)也兼顧了一些難以用模型來表達(dá)的主觀和客觀因素，得到在不同最優(yōu)水平值下的優(yōu)化方案，以供用戶選擇。

1 模型的建立

1.1 目標(biāo)函數(shù)

滾子端面和擋邊接觸如圖1所示，A為接觸點(diǎn)，θ為擋邊角度，S為滾子球端面半徑，R為滾子半徑，h為擋邊高度，t為擋邊倒角，r為滾道油溝半徑，F(xiàn)r為徑向載荷，F(xiàn)a為軸向載荷。以θ，S為設(shè)計(jì)變量，假設(shè)滾子端面和擋邊的接觸為球與平面的點(diǎn)接觸。

圖1 滾子端面和擋邊接觸Fig.1 Contact between roller end face and rib

1）目標(biāo)函數(shù)1：最小油膜厚度

滾子與擋邊接觸狀態(tài)如圖2所示，量綱一的最小油膜厚度為［3-4］

圖2 滾子與擋邊接觸示意圖Fig.2 Contact diagram between roller end face and rib

式中：U為速度參數(shù)；G為材料參數(shù)；W′為載荷參數(shù)；Q為接觸載荷；E0為當(dāng)量彈性模量；α1為黏度壓力系數(shù)；n0為黏度；u為平均速度；Rx為曲率半徑。

（1）式可化簡(jiǎn)為

滾子與擋邊受力示意圖如圖3所示，假設(shè)滾子球端面與擋邊的接觸為點(diǎn)接觸。

圖3 受力示意圖Fig.3 Diagram of force

1.2 約束函數(shù)

由幾何關(guān)系可知，滾子與擋邊間接觸位于擋邊倒角與滾道之間，即

1.3 優(yōu)化模型

以θ，S為設(shè)計(jì)變量，令 θ＝X（1），S＝X（2），設(shè)計(jì)變量 X＝［X（1），X（2）］T，最小目標(biāo)函數(shù)

其中：fX（1），fX（2），fX（3）分別為以油膜厚度、接觸應(yīng)力、變形量為目標(biāo)函數(shù)。

約束條件為

2 優(yōu)化過程及方法

2.1 目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化

在滿足（12）式約束條件的情況下，求 X＝［X（1），X（2）］T。

2.2 多目標(biāo)優(yōu)化的設(shè)計(jì)模型

以fX（1）為目標(biāo)函數(shù)，以 fX（2），fX（3）為約束條件。

2.3 多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)模型［5-7］

（16）式由于對(duì) fX（2），fX（3）約束太嚴(yán)格，使fX（1）得益較少，其結(jié)果偏重 fX（2），fX（3），而且也可能不收斂，可在fX（2）和 fX（3）的約束中加上允許放寬值，約束條件變?yōu)?/p>

式中：Δ2，Δ3分別為允許放寬值，可引入模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)確定其值。

模糊優(yōu)化數(shù)學(xué)模型與普通優(yōu)化數(shù)學(xué)模型類似，只是其中包含有模糊因素（即水平截集）。建立模糊優(yōu)化模型，需確定隸屬函數(shù)。所謂隸屬函數(shù)就是在容許到不容許界限之間的過渡區(qū)容許度（隸屬度）的變化，變化復(fù)雜，但一般取最簡(jiǎn)單的直線變化（圖4中的AC段）。圖4中，μ為隸屬度；λ為水平截集；P0為模糊函數(shù)在過渡區(qū)的變化；PT，Pλ分別為其在允許區(qū)和不允許區(qū)的臨界值（B點(diǎn)和C點(diǎn)）。

圖4 隸屬函數(shù)關(guān)系圖Fig.4 Graph of membership function relation diagram

水平截集為λ，令P＝σ，則應(yīng)力與隸屬度的關(guān)系為

2.4 模糊優(yōu)化模型的求解

模糊優(yōu)化模型的求解方法有基本解法、最優(yōu)水平截集法、近似模糊集合法，實(shí)際中均很少應(yīng)用。文獻(xiàn)［4］中提出了綜合評(píng)判求解最優(yōu)水平截集后，使水平截集法得到廣泛應(yīng)用，下文介紹用綜合評(píng)判法求解最優(yōu)水平截集λ*。

設(shè)主觀不確定因素為：S1為設(shè)計(jì)力量，S2為加工技術(shù)，S3為成本，S4為材料性能，S5為管理水平，則因素集 U＝［S1，S2，S3，S4，S5］，設(shè)決斷集為α＝［0，0.1，0.2，…，0.8，0.9，1］。

3 優(yōu)化結(jié)果和分析

對(duì)滾子球端面和擋邊進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，以NF209軸承為例，其結(jié)構(gòu)參數(shù)為：d＝45 mm，D＝85 mm，B＝19 mm，R＝5 mm，h＝2 mm，t＝0.3 mm，r＝0.8。Fr＝10 kN，F(xiàn)a＝5 kN。

3.1 單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

分別對(duì)（17）～（19）式求單目標(biāo)優(yōu)化并分別計(jì)算每種優(yōu)化狀態(tài)下另2種情況的結(jié)果，見表1。

表1 單目標(biāo)優(yōu)化Tab.1 Single objective optimization

3.2 多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)

設(shè)主觀因素集 U＝［S1，S2，S3，S4，S5］＝［0.4，0.2，0.2，0.1，0.1］，代入（24）式得最優(yōu)水平截集，由（21）式得多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算結(jié)果：水平截集為0.83，X（1）＝0.03，X（2）＝90.02。

4 結(jié)論

1）選取3個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解可以平衡軸承的整體性能，結(jié)果更接近實(shí)際工況，但會(huì)損失某單一目標(biāo)值。綜合評(píng)判法求解為最優(yōu)方案。

2）模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅解決了多目標(biāo)函數(shù)的問題，同時(shí)也兼顧一些難以用模型來表達(dá)的主觀因素和客觀因素，使優(yōu)化方案更接近實(shí)際工況。通過模糊化可得到不同的最優(yōu)方案，以供用戶選擇。

3）分析結(jié)果可指導(dǎo)試驗(yàn)分析，因素集的選取要根據(jù)具體制造工藝及經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行調(diào)整。