對集合論的辯證思考

趙雁 樂山職業技術學院

對集合論的辯證思考

趙雁 樂山職業技術學院

集合論被認為是20世紀偉大的數學創造，它在近代數學中有重要的地位。從集合的一些基本常識，認識一下初等數學“樸素集合論”的理論基礎是不夠嚴密的。從哲學高度來看，對集合論作歷史觀察，可以幫助我們有更多的思考。

無限集 集合論 公理化

1 無限集之謎

什么是無限集：就是含有無限個元素的集合。無限與無限集不只是數學的課題，同時也是哲學的問題。并長期困擾著哲學家與數學家。它的定義十分簡單、明確。但對“無限”的認識哲學家走在數學家的前面。古希臘哲學家亞里斯多德對“無限”早有許多論述。他說：“一個量具有無限可分性”，“時間也是無限的”…。而無限集是否能作為一個固定的、實在的整體而存在，還無法肯定。

任意兩條不相等線段的點都可以構成一一對應，只要把一條線段簡單地投射到另一條線段上即能實現。這兩條線段應含有同樣多的點，然而一條線段確實比另一條線段長，從而看起來比另一線段要有更多的點。它是十七世紀的科學家伽里略在他的《兩門新學科》書中指出的。同時他還指出，正整數的集合可以同其平方數的集合成一一對應兩者的元素應該一樣多。但是后者明顯是前者的一部分，“部分應該小于整體”。要避免這種怪事產生，就不應該把無限集作為真實的存在。

時間一直到十九世紀，多位大數學家站出來反對，數學家高斯認為：“反對把無限量作為實體，因為在數學中是從來不允許的。無限只不過是用來講極限的一種說話方式”。與高斯同時代的數學家柯西，也不承認無限集的存在。他認為部分同整體構成一一對應是自相矛盾的事。

哲學家波爾查諾在他的《無窮的悖論》一書中強調：“一個無限集可以同自身的真子集構成一一對應”。但同時他也無法解釋這樣的事實，就是“整體大于部分”這一公理間的矛盾。他是第一個站出來維護無限集是真實存在的人。自然沒有堅持到底，也未能揭開無限之謎。

2 集合論創立

集合論是關于無限與無限集的數學理論。首先打開“無限王國”大門的人是哲人科學家——喬治．康托爾。1846年3月3日，喬治．康托爾生于俄國的一個丹麥—猶太血統的家庭。他于1895年和1897年先后發表了《集合論》、《集合論基礎》等兩篇著名的論文。他用集合作為基本概念，并引進了它們的符號；規定了它們的加法、乘法和乘方等。從而開創了嶄新的數學領域——集合論。

康托爾揭示了無限集與有限集的本質區別：無限集可以與自身的真子集成一一對應，而有限集則不行。進而給出了無限集的定義：“如果一集合能與自身的真子集成一一對應，這集合就叫做無限集，否則就叫有限集。他認為歐幾里德所提出的公理“整體大于部分”并非絕對真理，它只適用于有限集；對于無限集而言“部分可以等于整體”。

康托爾用一一對應的方法將無限集進行分類，并且考察無限集中元素的“個數”。在康托爾的研究工作之前，人們對各種無限集是不加區分的，把各種無限集都說成：“含有無限多個元素”。

康托爾的集合論最終被人們譽為是人類思想史上一個重要里程碑。在1900年，著名哲學家、數學家彭加勒在國際數學家大會上宣布：“由于有了集合論，數學的嚴格性已經達到了”。不過，康托爾的集合論并未達到無懈可擊，康托爾自己及與他同時代的一些哲學家、數學家們已發現在康托爾的集合論中有互相矛盾的命題——集合論悖論，當時影響最大的是英國哲學家羅素發現的悖論。

羅素注意到，按照康托爾的集合論，集合可分為兩類：一類是“不屬于自身的集”，另一類是“屬于自身的集”。他注意那些“不屬于自身的集”，把它們集中起來構成一個新集合S。即S={A|A∈A}。

S是所有那些“不屬于自身的集”的全體組成之集。并進一步考察：集合S是否屬于自身？

如果S∈S．則由S的定義，得知S不屬于自身，亦即S∈S，矛盾；但是，如果S∈S。則由于S不屬于自身，由S的定義可知S屬于S，亦即S∈S。又矛盾。

因此，矛盾不可避免，集合論中含有悖論，表明康托爾的理論還未達到完美的程度。

3 集合論的發展

追究矛盾的起因，人們發現各種集合論悖論都涉及到一些共同的概念：“所有”或“全體”；矛盾的焦點都集中在一些大而全的集合上。羅素說，“要定義的對象是用包含著這對象自身在內的一類對象來定義的”。犯有惡性循環的錯誤。為此，康托爾自己也提出，要想排除集合論中的悖論，就要排除大而全的集合，但他自己未能找到令人滿意的方案。那么，那些大而全的集合算不算集合呢？必須依據康托爾的集合定義判斷。康托爾說：“我們的直覺或者我們思考的確定的不同的對象的全體叫做集合”。他用描述元素性質的辦法定義集合。康托爾的集合概念及其基本運算原則都是建立在人們直覺的基礎上，其基本思想是極為樸素的，因此人們把康托爾的集合論稱為樸素的集合論。

只憑直覺的認識往往是有局限性的，這決定了樸素集合論中會藏有隱患，根據康托爾的概括原則必須承認那些大而全的集合是集合。可見，問題的癥結在于概括原則。人們發現，利用康托爾的概括原則造集，條件太寬松，所得到的集合太廣泛。為了消除集合論的悖論，就必須對康托爾造集的辦法加以改造。一方面要保留樸素集合論中一切有價值的東西，同時又要對集合加以限制，以便排除某些不適當的“集合”。

為此，德國數學家蔡梅羅首先提出了集合論的公理化方案：他把集合論改造為一個完全抽象的公理化理論。不把集合簡單看成一些“集團”、“全體”、“總體”，而是滿足諸公理條件的對象。在滿足這些公理之后，一些不適當的“集合”，特別是那些大而全的集合就不能作為集合?，F在數學里排除“A∈A”這種寫法，就是滲透了公理化集合論的思想。

眾所周知，對于任何公理系統都應證明無矛盾性?！爸灰澜缟线€存在著數學家，創新就不會停止”。正所謂：“為了防備狼，羊群已用籬笆墻圈起來了，可是，卻不知道墻內是不是早已藏有狼？”，因此，集合論悖論至今還是哲學家、數學家們關心的問題。

[1]А.Д亞歷山大洛夫.數學（內容、方法和意義）[M].北京科學出版社1984

[2]李文林.數學史教程[M].高等教育出版社,2002.8

[3]梅榮照.明清數學史論文集[C].南京:江蘇教育出版社1990.05

[4](英)斯科特著;數學史[M].侯德潤,張蘭譯.桂林:廣西師大出版社2008.12

[5]馮菊英.關于數學史教學的意義和設計[J].北京：《數學通報》2004.11