基本初等函數的導數公式解析

吳雨蒙 湖南省衡陽市第八中學

基本初等函數的導數公式解析

吳雨蒙 湖南省衡陽市第八中學

數學的發展與同時期社會的發展有著極其密切的聯系，許多數學內容都是因社會需要而產生的。數學構筑了社會文明的基礎，特別是當今的信息化時代，高科技的競爭本質上說就是數學的競爭。誰掌握了數學技術，誰就會贏得社會的前進和發展導數。本文解析下數學中的基本初等函數的導數公式和案例分析。

數學函數 基本初等函數的導數公式 導數公式推導過程

1 引言

日本從60年代起就投入巨資研制模擬式高清晰度電視，而美國在1991年提出了先進的數字式系統，迫使日本退出競爭；波音——777型民航機由于采用了百分之比的數字化手段，使得產品從確定計劃到樣機出廠只用了三年半的時間，在國際市場競爭中掌握了主動權。

2 數學的應用性

數學被人看作是一門論證科學，這僅僅是它的一個方面。而數學在人類歷史的地位是不能忽視的。尤其數學革命，它是社會發展過程中導致的必然過程，而且通過數學革命，產生新的理論體系，推動社會向前發展，這一事實勿庸置疑。歷史上有著三次著名的數學危機，危機的產生并不在于數學本身，由于自然科學和社會的發展，人們用已有的數學工具無法解決所面臨的自然界的現實問題，自然而然人們要去尋求一種解決問題新的途徑和方法，去建立新的理論體系，那么就要導致與傳統觀念的沖突，無法用傳統的、已有的理論解釋新興的事物。因此數學的革命就呼之欲出，隨著數學新的理論體系的建立，人類文明也進入了新的歷史發展階段。

3 數學中的基本初等函數的導數公式和典例分析

3.1 導數公式的介紹

基本初等函數的導數公式表

3.2 典例分析

例1．假設某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為 ，物價（單位：元）與時間t（單位：年）有如下函數關系 p( t) =p0(1 + 5%)t，其中 為 時的物價．假定某種商品的 ，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0．01）？

解：根據基本初等函數導數公式表，有

所以 （元/年）

因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0．08元/年的速度上漲。

例2．日常生活中的飲水通常是經過凈化的。隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加。已知將1噸水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（1） （2）

解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數的導數。

函數 在某點處導數的大小表示函數在此點附近變化的快慢。由上述計算可知， 。它表示純凈度為 左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為90%左右時凈化費用的瞬時變化率的25倍。這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快。

4 導數公式的應用

數學的發展與社會的進步有著密切的聯系，這種聯系是雙向的，即一方面，數學的發展依賴于社會環境，受著社會政治、經濟和文化等諸多因素的影響另一方面，數學的發展又反過來對人類社會的進步起推動作用，包括對人類物質文明與精神文明兩大方面的影響。現代數學與其它領域互相滲透，同時也越來越抽象化；運用現代數學思想來解決社會發展中的問題，研究社會改革所面臨的各種問題，如社會悖論問題，公平與效率問題等，可分別找到解決問題的思路，進而推動整個社會的發展。眾所周知，科學研究的兩個基本方法是理論和實踐。但現在，越來越多的科學家認為，數學是科學研究的第三種方法。作為一種工具，數學的作用已經滲透到生活的各個方面，就連現在每天要用的天氣預報，也是建立在數學基礎上。除了工具作用，數學也是一種思維方式，或許這是數學的一個本質特征。另外，數學也是一種理性文化：和語言宗教一樣，數學是影響人類文化的重要因素。

5 結語

數學的發展往往可以看出社會文明程度，大家從中西方歷史發展的對比就不難看出。在文藝復興之前的西方迷信宗教，教廷主宰著人們的生活，禁錮著人們的思想，社會文明狀況遠遠落后于當時的中國。因此，數學發展的程度可以用來判斷社會文明的進步與否。在生活的方方面面數學無處不在，也因為數學的存在我們的社會豐富多彩，處處生機勃勃，春意盎然，有無限的發展空間。

[1]韓廣發,李桂榮,導數公式推導方法之我見.佳木斯教育學院學報,2012(09)

[2]閆偉,高中數學“導數及其應用”教學研究.[J].東北師范大學,2015(05)