形態學多尺度廣義分形矩陣在軸承故障診斷中的應用

于忠德，劉東升，王鋒，李兵

(1.沈陽職業技術學院，沈陽 110000;2.軍械工程學院 四系，石家莊 050003)

軸承的振動信號中包含了豐富的運行狀態信息，而且能夠在設備運轉狀態下采集，因此廣泛采用振動信號對軸承進行故障分析與診斷[1-3]。大量研究表明，機械系統的振動信號具有較強的非線性特性，研究振動信號的非線性特征提取技術是軸承故障診斷的關鍵[4-6]。近年來，分形理論在很多涉及非線性分析的領域獲得了廣泛應用，在振動信號分析中的應用研究也取得了大量成果[7-9]。

分形理論對分析對象的一個重要假設是其具有嚴格的自相似性，但該性質在實際信號中很難滿足。這種非嚴格自相似性體現在2個層面：1)空間分布上的非嚴格自相似性(也叫非均勻性)，一般采用多重分形或廣義分形維數理論處理；2)尺度上的非嚴格自相似性，可采用多尺度分形理論處理。然而，廣義分形維數考慮了信號在空間分布上的非嚴格自相似性[8]，但沒有考慮信號在尺度上的非嚴格自相似性；多尺度分形考慮了信號在尺度上的非嚴格自相似性[10]，但沒有考慮信號在空間分布上的非均勻性。因此，提出采用多尺度廣義分形矩陣表征軸承振動信號，同時考慮信號的空間非嚴格自相似性和尺度非嚴格自相似性，以對軸承振動信號的非線性特性進行更加全面和完整的表征。

目前，在信號分形維數估計中應用最廣泛的方法是計盒法，但由于其采用了規則劃分網格的特性，估計的分形維數有很大的不穩定性，因此，采用形態學覆蓋法[8-9]估計軸承振動信號的分形維數，并進行對比驗證。

1 形態學分形維數

1.1 數學形態學基本運算

腐蝕和膨脹是數學形態學的基本運算算子，其他數學形態學算子均以這2個基本算子為基礎。由于文中只涉及一維振動信號的處理，因此僅給出腐蝕和膨脹在一維函數上的定義。

假設f(n)為定義在F={0,1,2,…,N-1}上的待分析信號，g(m)為定義在G={0,1,2,…,M-1}上的結構元素，其中N為信號點數，M為結構元素的點數，一般情況下N>>M，則f(n)關于g(m)的腐蝕和膨脹分別為

(1)

(2)

由以上公式可以看出，腐蝕運算相當于信號在一個滑動濾波窗內的最小值濾波，而膨脹運算相當于信號在滑動濾波窗內的最大值濾波，滑動濾波窗等價于結構元素[8-9]。

1.2 分形維數估計的形態學覆蓋法

形態學覆蓋法的基礎就是前述的多尺度腐蝕和膨脹算子。與計盒法不同，形態學覆蓋法計算的測度是腐蝕與膨脹之間的覆蓋面積。假設分析尺度為ε，則該尺度下信號的測度為

(3)

εg=g⊕g⊕…⊕g。

根據已有研究，單位結構元素選為g={0,0,0}，即長度為3的扁平結構元素，其優點是計算速度更快且不影響分形維數估計的精度。

分析信號的尺度定義為ε=1,2,…,εmax，最大分析尺度滿足εmax≤N/2。根據分形測度理論，各尺度下的測度Ag(ε)應滿足

(4)

對log(Ag(ε)/ε2)和log(1/ε)進行最小二乘擬合，估計的斜率DM即信號的形態學分形維數。

2 形態學多尺度廣義分形矩陣

2.1 形態學廣義分形維數

在形態學覆蓋面積的基礎上，可定義一個計算局部度量的分布函數ui(ε)，即

(5)

(5)式中的f⊕εg(n)-fΘεg(n)反映的是信號膨脹與腐蝕間的差異，與計盒法相比，其作用相當于單個網格上盒子數，根據(5)式的定義，ui(ε)計算了這種差異的分布。而信號在空間上的不均勻性則通過分布函數高階矩的奇異性得到了描述。

信號在尺度ε下的q階度量定義為

(6)

由(5)式可發現，形態學覆蓋法的網格劃分是固定的，與尺度無關，均為分析信號的采樣點數，即計盒法中尺度ε下的盒子個數N(ε)=N。與計盒法相比，形態學覆蓋法中的Ag(ε)相當于盒數N(ε)與單位盒面積ε2的乘積，則

(7)

作為一個多重分形度量Kq(ε)，與尺度之間必定滿足的指數關系為

Kq(ε)∝ε-Dq；-∞

(8)

則基于數學形態學的多重分形維數為

(9)

實際計算中，對Kq(ε)和lnε進行最小二乘線性擬合得到對廣義分形維數Dq的估計。可以證明:當q=0時，K0(ε)=-ln[Ag(ε)/ε2]，則廣義分形維數Dq退化為基于數學形態學的單一分形維數。

2.2 形態學多尺度分形維數

雖然廣義分形維數反映了信號在空間上的非嚴格自相似性，但卻不能反映信號在尺度上的非嚴格自相似性，而在現實中，在尺度上滿足嚴格自相似的信號是不存在的，存在的只是在統計意義上的自相似。

如果待分析信號是嚴格自相似的，即滿足尺度不變性，則在不同觀測尺度下信號的分形維數是不變的；然而，軸承振動信號只滿足統計意義的自相似，在不同觀測尺度下，其分形維數存在一定的差異。因此，在形態學單一分形維數基礎上，引入了形態學多尺度分形維數的計算方法[10]。

采用分段擬合的方式，其具體計算方法為：設分析信號的尺度為ε=[ε1,ε2,…,εL]，則定義在局部尺度εi下的局部分形維數為[εi,εi+1,…,εi+w-1]窗內的最小二乘擬合值，其中w為窗的寬度值。從尺度ε1依次移動窗的位置，可以得到L-w+1個分形維數值。

2.3 多尺度廣義分形矩陣

軸承故障信號作為一種統計意義上的分形體，需要同時考慮其在空間和尺度上的非嚴格自相似性。因此，采用多尺度廣義分形矩陣表征軸承故障信號。其主要思想為：在估計信號的廣義分形維數時，在每一個參數q下，不再只估計其對應的單一全局分形維數，而是估計信號在各個局部尺度范圍[εi,εi+1,…,εi+w-1]內的多個分形維數，即將原來每個q下的單一分形維數用多尺度分形維數代替，從而包含更加全面的信息。

3 軸承故障信號分析

為驗證提出的形態學多尺度廣義分形矩陣的有效性，采用實測的軸承故障信號計算各種分形維數并進行對比，軸承故障信號數據來自于美國Case Western Reserve University軸承數據中心[11]。試驗軸承為SKF 6205，電動機轉速為1 797 r/min，采樣頻率為12 kHz，采樣點數為6 000。選擇軸承正常狀態及鋼球、內圈、外圈的輕微(損傷直徑0.178 mm)、嚴重(損傷直徑0.533 mm)損傷共7種狀態進行分析，7種狀態下軸承振動信號的時域波形如圖1所示。

圖1 軸承7種狀態下振動信號時域波形

采用形態學覆蓋法計算各種分形維數，具體參數為：分析尺度ε=[1,2,4,8∶4∶72]，共20個尺度；單位結構元素是長度為3的扁平結構元素；廣義分形維數參數q選擇為q=[-20∶2∶20]；多尺度分形維數窗寬w選擇為5。

軸承在不同狀態下振動信號的形態學廣義分形維數、多尺度分形維數及多尺度廣義分形矩陣分別如圖2所示，從圖中可以看出：

圖2 軸承不同狀態下振動信號的形態學分布

1)在參數q<0時，形態學廣義分形維數的分布十分混亂，不具有可分性；而在q>0時，相同狀態下信號的形態學廣義分形維數比較相近，具有一定的可分性，但是部分狀態的形態學廣義分形維數依然存在著一定的重疊區域。

2)形態學多尺度分形維數能夠很好地區分軸承的7種狀態，但在某些尺度下，軸承的各種狀態之間依然存在部分的重疊。

3)形態學多尺度廣義分形矩陣克服了前2種分形維數存在部分狀態分形維數重疊的問題，能夠更有效地區分軸承的7種狀態。

為測試各種分形維數在軸承故障診斷中的效果，采用最近鄰分類器(KNNC)、樸素貝葉斯分類器(NBC)和支持向量機分類器(SVM)，采用上述的各種分形維數作為特征參數對軸承的7種狀態進行分類。試驗中，每種軸承狀態采集20個樣本(共140個樣本)，計算每個樣本的各種形態學分形維數。然后在每種狀態下隨機選擇10個樣本作為訓練樣本，剩余樣本作為測試樣本。為保證結果的穩定和有效性，重復此隨機選擇過程50次并取平均值作為最終結果。

不同形態學分形維數在軸承振動信號中的分類精度見表1，由表可知：形態學多尺度廣義分形矩陣在3種分類器上均獲得了最高的識別率，說明其能夠對軸承故障信號進行更全面和完整的表征，從而有效區分軸承的故障狀態。

表1 各種分形維數的分類精度

4 結束語

針對軸承故障信號在空間分布與尺度分布上都具有非嚴格自相似性的特性，通過對形態學分形基本計算方法及廣義分形維數和多尺度分形維數形態學覆蓋計算方法的分析，引出了形態學多尺度廣義分形矩陣的概念，并采用實測軸承故障信號對各種分形維數的故障分類效果進行了驗證，試驗結果表明，形態學多尺度廣義分形矩陣能夠對軸承振動信號進行更加全面的表征，提供更加豐富的故障診斷信息，從而獲得較高的故障診斷精度。