從轉化視角談學生解題的幾個提升點

史振毅

[摘 要] 解題是怎么回事？學生中十有八九還沒弄清楚. 本質上來說，解題就是不斷將陌生的問題、生疏的情境轉換為熟悉的知識，這需要思考. 對于這種思考最關鍵的因素是合理利用知識，學會轉化.

[關鍵詞] 解題；充要性；數學；轉化；函數；思維；提升點

數學解題的本質是不斷轉化，將陌生的問題、生疏的情境轉換為熟悉的知識進行表述，這也是波利亞談在《如何解題》一書中說起的.對學生而言，學生并不明白解題的本質是什么，為什么解題需要這樣去表述. 從某種意義上來說，諸如這樣的問題完全可以不用解：{x∈R

x2+1=0}= ，因為沒有解的必要.再者，這樣的問題一直在中學教師表述中存在爭議：當a≥0時，不等式（x-a）（x-2a）>0的解集為多少？大部分教師認為需要分類討論，即a>0和a=0；少部分教師認為不需要分類，只要直接寫出答案即可（筆者贊同）. 這樣的問題不少，都是在將問題用更為簡潔的形式表述.

學生學習過數學中的“充要條件”后，對解數學問題的理解可以更進一步.用一個簡單的案例來說：方程=0?x2-1=0?x=±1. 我們可以認為，小學生能認得右端，初中生可以認識中間，高中生可以看明白左端，但是從充要條件的角度來說，本質是一樣的. 因此筆者想說，高中數學中的復雜問題，教師如何一步一步“庖丁解牛”式地讓學生理解、思考，而促成這種理解和思考最關鍵的因素是合理的轉化.

[?] 思維高度促成合理轉化

學生的數學解題知識片面、欠缺，信息渠道非常的單一. 對數學知識停留在一些孤立的知識點上，而且非常的不全面，談不上將知識點“串成線，連成面”，知識的建構非常的脆弱，缺少知識點之間的橫向和縱向聯系的“橋梁”，所以一遇到困難問題，就打破了現有知識的平衡，“亂了方寸”，缺乏“理論—實踐—再理論—再實踐”能力，即轉化不夠合理.

問題1：設實數a，b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有實根，求a2+b2的最小值.

分析：本題初看是一道四次方程問題，但是中學數學顯然不能解決如此高次的方程. 程度較弱的學生完全沒有思路求解，中等生想到的是將四次方程分解為兩個兩次方程的積來處理，但是這個分解難度較大，嘗試了多次沒有獲得成功. 這說明，學生對于問題進行了力所能及的直覺性思維的思考，但是顯然對于本題來說，這種直覺性思維還遠遠不夠. 此時教師要恰當介入，讓學生形成如何促成合理的轉化.

師：本題是四次方程，但是我們一般能解決的都是二次為主的方程，同學們剛剛嘗試了分解，但都失敗了，我們回到本題的初始地點，回頭再細細梳理一下問題. 四次方程有實根，但是不可能直接去解決四次方程，但是又無法進行分解？如何把四次方程變成兩次方程呢？

生1：既然分解行不通，能否直接降次？對方程兩邊同除以x2試試？

師：同學們的嘗試很到位！這是站在一定高度思考的結果！因為四次方程必定要降解才能解決，因此在因式分解未能成功的前提下，選擇降次結合整體思想獲得了成功，可以說同學們的處理在偶然中蘊含著必然. 接下去的解決應該比較容易了.

說明：本題對于學生而言，最難的是如何將其轉換為二次方程. 筆者認為，站在系統的高度思考問題才是關鍵. 正是因為有了“四次”轉換為“兩次”的基本思考方向，那么“分解、降次”等技巧才有了用武之地. 用羅增儒教師的話說就是：教學要站在系統的高度思考問題，這樣的教學才能讓學生明白轉換的“充要性”，將問題不斷變化、變化，直到所需達到的最簡潔形態.

[?] 方法策略形成有效轉化

由于學生原有知識建構的松散，不完善，所以在具體知識和思想運用的時候很難找到理論知識、思想方法與實際問題之間的聯系，主要體現在長時間的讀題和讀題后的沉默，將大量的時間花在思索這個題老師講過沒有，有沒有做過一模一樣的. 缺乏一種主體意識：將教師課堂上所講的知識點、數學思想方法和在具體問題中的切換與轉化的技能為自己所用，與已有的知識進行必要的建構和重組，然后在解題時靈活運用，更缺乏靈活運用創新的能力. 因此從學生角度來說，初級階段更多是對知識的模式識別后的使用，后期才是系統運用，這就需要方法策略的積累，有效促成問題的合理轉化.

分析：本題是典型的高一函數經典問題. 初學者往往對這樣的問題無從下手，這說明學生沒有形成合適的策略、有效的方法. 讓我們一步一步分析這道經典問題.

解剖1：函數值域解決的基本方法是研究函數的單調性；

解剖3：分析定義域對問題的影響，是否能將底數的取值范圍限制在一個更小的取值范圍內？

說明：本題最難的轉化在步驟3，這得益于方程策略的運用，通過本題的“充要條件”，將函數問題剖析成一步一步、嚴密思考、合理推敲，并在這一過程中轉化為方程根的問題，最后利用方程根與系數的關系重新整理為二次函數F（x）=x2+（a-1）x+2a-2a2，這種函數—方程—函數的方法策略是解決根與系數關系典型的優質方式，成為轉化的關鍵.

[?] 思想視角形成獨特轉化

數學思想的運用成為有效轉化最為獨到的一面. 不少問題缺乏的正是數學思想的引領，正是缺乏思想導致問題的解決陷入困境. 教師要去引領的正是一種境界，是引導學生問題解決的一種“豁然開朗”的思想境界.

分析：本題是一道全國聯賽初賽試題.從問題本身來看，我們不難發現在點坐標均已知的前提下，利用向量的二維關系=λ，獲得兩個代數方程以及兩個三角方程（sin2α+cos2α=1等），從代數方程中初步來看應該有五個元：sinα，cosα，sinβ，cosβ，λ，通過四個方程理論上可以找到諸如λ=f（sinα）或其他量的函數關系式，但是其中的代數運算是中學生難以達到的.若能從思想的角度重新審視本題，自然可以得到不同的解題轉化視角.

說明：獨特的思想引領視角，是解決特殊問題的轉化途徑.本題若用純代數方式解決，中學生是難以解出最終的答案的，而以獨特的思想視角找尋突破口成為關鍵.

轉化是數學問題解決的路徑，這一路徑需要我們從多種角度去思考，有正確的方法策略、有系統的思想指導、有獨特的數學思想引領，讓這種轉化、充要性得到了實現.筆者認為，要提升學生轉化的能力從上述幾個新的視角入手遠比就題論題式的訓練更為有效、更為高瞻遠矚.