頻率對半導體器件熱擊穿影響的理論模型

張存波 閆濤 楊志強 任偉濤 朱占平

(西北核技術研究所,高功率微波技術重點實驗室,西安 710024)(2016年8月19日收到;2016年9月3日收到修改稿)

頻率對半導體器件熱擊穿影響的理論模型

張存波?閆濤 楊志強 任偉濤 朱占平

(西北核技術研究所,高功率微波技術重點實驗室,西安 710024)(2016年8月19日收到;2016年9月3日收到修改稿)

針對半導體器件中的熱擊穿,通過分析已有的理論模型,把頻率對器件熱區熱產生和熱傳導的影響引入理論模型.利用格林函數求解熱傳輸方程,同時對余誤差函數進行近似處理,求解得到熱區溫度以及器件燒毀功率與頻率和脈沖寬度的表達式.通過數值分析,求解得到不同頻率下器件燒毀功率隨脈沖寬度的變化規律以及不同脈沖寬度下器件燒毀功率隨頻率的變化規律,同時給出了頻率對器件燒毀功率影響的物理解釋.

熱擊穿,頻率,脈沖寬度,理論分析

1引 言

熱擊穿是半導體器件中一種基本的失效機理[1,2].最早分析半導體中熱擊穿的理論模型由Wunsch和Bell[3]于1968年提出,根據線性熱流理論,把恒定功率電脈沖注入下半導體器件內的熱效應等效為在無限大介質中半導體結處的一個平面熱源產生的熱效應,結果表明器件燒毀功率與脈沖寬度的關系為P正比于t?1/2.1970年,Tasca[4]對Wunsch-Bell關系式進行改進,把恒定功率電脈沖注入下半導體器件內的熱效應等效為無限大介質中有限大球體為熱源的熱傳輸問題,結果表明可以把器件燒毀功率按脈沖寬度分為三個階段.1983年,Arkihpov等[5]假設熱產生區域為長條形圓柱體,推導得到在達到熱平衡前的長脈沖情況下器件燒毀功率與脈寬的關系為P正比于1/lnt.1990年,Dwyer等[6]對Wunsch-Bell關系式、Tasca模型以及Arkihpov模型進行對比分析,發現注入功率與脈沖寬度之間的關系表達式強烈依賴于熱源的幾何結構,并假設熱源為矩形平行六面體,求解得到器件燒毀功率按脈沖寬度分為四個階段,該模型能很好地解釋之前的三種模型.

通過對熱源幾何模型的改進,已有的理論模型能較好地分析器件燒毀功率與脈沖寬度的關系,但理論模型中沒有考慮電磁脈沖頻率對器件內部熱產生及熱傳導的影響,因而不能分析頻率等其他脈沖參數對器件燒毀功率的影響規律.本文通過考慮頻率對器件內部熱產生及熱傳導的影響,對已有理論模型進行改進,從而分析頻率對器件燒毀功率的影響.

2理論模型

半導體器件內的熱效應主要有兩個過程,熱產生和熱傳導.已有的物理模型中均假設注入功率恒定,即熱產生不與時間、微波頻率等其他因素相關,脈沖時間對熱傳導過程影響顯著,從而推導得到了燒毀功率隨脈沖寬度的變化分為四個階段.微波頻率與熱產生相關性較大,通過分析可知半導體器件內部的電流密度與微波頻率相關,熱產生與電流密度密切相關.可以通過分析微波頻率對電流密度的影響來分析對熱產生的影響,并把微波頻率對熱產生的影響引入理論模型,從而得到器件燒毀功率與微波頻率的相關性.

該模型在求解過程中利用了如下簡化條件:

1)微波脈沖作用下,器件的熱區體積不隨微波脈沖的脈寬和頻率變化;

2)材料的熱導率和比熱容為常量,不隨溫度變化;

3)熱區中的熱產生是均勻的.

微波脈沖作用下半導體器件中熱區(體積Δ)的熱產生P(t)=V(t)I(t),熱區中的溫度分布可以通過求解熱傳輸方程得到,熱傳輸方程如(1)式所示:

D=K/ρCp為熱擴散率,單位m2/s;K為熱導率,單位W·m?1·K?1;ρ為密度,單位kg/m3;Cp為比熱容,單位J·kg?1·K?1;T 為溫度,單位K;q(t)為單位體積的熱產生率,在熱區中q(t)=P(t)/Δ,不在熱區中q(t)為零.這里我們假設熱區中的熱產生是均勻的.

利用格林函數法,并對時間和空間積分可求得溫度分布[6]:

式中T0為環境溫度,取值為300 K.假設熱區形狀為平行六面體,尺寸為a≥b≥c.在笛卡爾坐標系下,積分范圍為?a/2≤ x′≤ a/2,?b/2≤y′≤b/2,?c/2≤z′≤ c/2.對空間積分后可求得熱區中心處溫度與時間的關系式:

定義與a,b,c相關的熱擴散時間ta=a2/4πD,tb=b2/4πD,tc=c2/4πD.ta,tb,tc分別表示為沿x,y,z方向達到熱平衡所需要的近似擴散時間,三個擴散時間把時間域分為4個區域.

根據余誤差函數的表達式,可以對其進行如下近似

同時可以對表達式(3)中的余誤差項進行如下近似

在已有的理論模型中,都是對恒定注入功率進行求解,注入功率與時間及頻率無關.為了獲得微波脈沖頻率對熱效應的影響,這里注入功率是時間和頻率的函數.注入功率P(t)∝I2(t),微波脈沖作用下半導體器件熱區的電流可以表示為I(t)=I0cos(2πft),f為微波脈沖的頻率,注入功率也就是熱產生可以表示為P(t)=P0cos2(2πft),平均功率P=P0/2.把注入功率的表達式以及表達式(5)代入表達式(3)中進行求解,可以求得熱區中心溫度與脈沖持續時間以及頻率的關系式.熱區中心溫度的表達式被三個熱擴散時間分為四個區域.

區域I:

當≤t≤tc時,求得

區域II:

當tc＜t＜tb時,求得

式中,Pf表示導致器件燒毀所需的平均功率.從熱區中心溫度以及燒毀功率與脈寬及頻率的表達式中無法直接看出兩者隨頻率增加的變化趨勢,需要通過數值計算求解得到的變化曲線進行分析.

3數值分析

借鑒文獻[6]中GaAs器件的熱區尺寸,0.16μm×1.0μm×10.0μm,以及文獻[7]中GaAs材料在熔點處的材料參數,如表1所列.計算得到GaAs器件中的熱擴散時間分別為tc=0.54ns,tb=21.17ns,ta=2.12μs.利用上面推導得到的公式,可以計算得到不同頻率下熱區中心溫度隨時間的變化,以及不同脈寬下燒毀功率隨頻率的變化,溫度達到材料熔點(GaAs熔點1511 K)時判定器件燒毀.

圖1給出了P0=0.2 W時,不同頻率微波脈沖注入以及恒定功率電脈沖注入下GaAs器件熱區中心溫度隨時間的變化.圖中P=P0和P0=P/2曲線表示恒定功率分別為0.2 W和0.1 W的電脈沖注入注入下GaAs器件熱區中心溫度隨時間的變化.紅、黑、藍、紫曲線分別表示P0=0.2 W,微波脈沖頻率為f=0.1,1,10,100 MHz時GaAs器件熱區中心溫度隨時間的變化.從圖中可知,不同頻率微波脈沖注入下,GaAs器件熱區中心溫度隨時間變化與恒定功率電脈沖注入下的變化類似.溫度隨時間的變化被三個熱擴散時間tc,tb,ta分為四個區域.區域I溫度增量ΔT=At,區域II溫度增量ΔT=Bt1/2,區域III溫度增量ΔT=C lnt,區域IV溫度增量ΔT→0.頻率為f的微波脈沖注入時,溫度隨時間的變化曲線以2f的頻率進行周期性振蕩變化,頻率越高振蕩的幅度越小.隨著微波脈沖頻率的增加,溫度隨時間的變化曲線從P=P0曲線向P=P0/2曲線漸變.頻率越低曲線越接近P=P0曲線,當頻率小于等于10kHz時,曲線與P=P0曲線基本重合;頻率越高曲線越接近P=P0/2曲線,當頻率大于等于1 GHz時,曲線與P=P0/2曲線基本重合.當頻率為10kHz—0.1 GHz時,同一微波脈寬下,頻率越高溫度增量越小,溫度增量隨頻率的增加而減小.當頻率大于1 GHz時,同一脈寬下,溫度增量隨頻率的增加變化非常微小.

表1 材料熔點處的熱特性參數Table 1.Thermal parameters of materials at melting point.

圖1 (網刊彩色)GaAs器件熱區中心溫度隨時間的變化Fig.1.(color online)The central temperature in hot zone of GaAs device versus time.

對于熱區尺寸a=10.0μm,b=1.0μm,c分別為0.16,0.1,0.05,和0.01μm的GaAs器件,tc＜20ns＜tb,利用區間II中燒毀功率的表達式,得到器件燒毀功率隨頻率的變化,如圖2所示.20ns對應的頻率為50 MHz,為了保證不同頻率下注入能量相等,20ns應該是各頻率下時間周期的整數倍,選取的頻率點應該是50 MHz的整數倍.頻率范圍設置為50 MHz—10 GHz,間隔為50 MHz.燒毀功率隨頻率增加分為兩段,頻率小于分段點頻率時,燒毀功率隨頻率增加而增大,頻率大于分段點頻率時,燒毀功率隨頻率增加基本恒定但有微小的波動.分段點頻率與熱區尺寸c相關,c越小分段點頻率越高,c為0.01μm時分段點頻率大于10 GHz.同一頻率下,燒毀功率隨熱區尺寸c的增大而增大.在a,b尺寸相同的情況下,c越大,熱區體積越大,熱區溫度達到材料熔點所需的能量越多,同一頻率下器件燒毀功率越高.

圖2 (網刊彩色)脈寬20ns,GaAs器件燒毀功率隨頻率的變化Fig.2.(color online)Failure power of GaAs device versus frequency at 20ns.

對于熱區尺寸a=10.0μm,b=1.0μm,c分別為0.16,0.1,0.05,和0.01μm的GaAs器件,tb＜100ns＜ta,利用區間III中燒毀功率的表達式,得到器件燒毀功率隨頻率的變化,如圖3所示.100ns對應的頻率為10 MHz,為了保證不同頻率下注入能量相等,100ns應該是各頻率下時間周期的整數倍,頻率應該是10 MHz的整數倍.頻率范圍設置為10 MHz—10 GHz,間隔為10 MHz.100ns時燒毀功率隨頻率增加的變化趨勢與20ns時類似.

圖3 (網刊彩色)脈寬100ns,GaAs器件燒毀功率隨頻率的變化Fig.3.(color online)Failure power of GaAs device versus frequency at 100ns.

對于Si器件,上面推導的公式同樣適用,表1給出了Si材料的熱特性參數[8],通過計算得到Si器件燒毀功率隨頻率的變化趨勢與GaAs器件類似,只是數值上存在差異.文獻[9]中利用半導體仿真軟件ISE-TCAD仿真得到雙極型晶體管燒毀功率隨頻率的增加而增大,且頻率越高,燒毀功率增大的速率越小,與本文理論模型得到的器件燒毀功率隨頻率的變化趨勢類似.

頻率對半導體器件燒毀功率影響的物理解釋如下:半導體器件熱區溫度的上升隨脈沖寬度的變化分為4個階段:1)短脈沖下的絕熱過程(0≤t≤tc),在該時間尺度下熱源產生的熱量全部用來使得熱源本身的溫度上升,沒有向外界的傳熱;2)溫度的上升正比于t1/2(tc＜t＜tb),該時間尺度下熱源產生的熱量通過熱區表面向外傳導,存在熱損耗,該損耗與熱區表面積相關;3)溫度的上升正比于lnt(tb≤t≤ta),該時間尺度下熱區通過表面向外傳導的熱量更多,但熱區的熱產生仍然大于熱傳導,溫度上升速率變緩;4)熱平衡過程,在該時間尺度下熱源產生的熱全部通過熱區表面向外傳導,達到熱平衡,熱區溫度達到穩定不再升高.熱區在四個區中的熱傳導速率隨脈寬的增加依次增大,I區中的熱傳導速率最小,趨于零,IV區中的熱傳導速率最大,等于熱產生的速率.相同注入能量下,在I或II區注入的能量越多,熱傳導較少,溫升就越大.不同頻率下,雖然注入總能量相同,但在各個時間區域中注入的能量不相同.頻率越低在I或II區注入的能量越多,溫升越大,器件更容易燒毀;頻率高于一定值時,在各個時間段注入的能量差別很小,器件燒毀功率隨頻率基本不變.

4結 論

考慮到電磁脈沖作用下半導體器件熱區的熱產生和熱傳導受到頻率的影響,通過把注入功率設為頻率和時間的函數,進而把頻率對器件熱區熱產生和熱傳導的影響引入理論模型,通過求解熱傳輸方程得到半導體器件燒毀功率與頻率的關系.通過數值計算求得器件燒毀功率隨頻率的增加分為兩段,頻率小于分段點頻率時,燒毀功率隨頻率的增加而增大,頻率大于分段點頻率時,燒毀功率隨頻率的增加基本恒定但有微小的波動.分段點頻率與熱區最小尺寸c相關,熱區尺寸c越小,分段點頻率越高.四個時間區域中的熱傳導速率隨脈寬增加依次增大,頻率越低在I或II區注入的能量越多,器件更容易燒毀.

[1]Alexander D R 1978 IEEE Trans.Comp.Hybr.and Manufact.Technol.1 345

[2]Khurana B S,Sugano T,Yanai H 1966 IEEE Trans.Electron Dev.ED-13 763

[3]Wunsch D C,Bell R R 1968 IEEE Trans.Nucl.Sci.NS-15 244

[4]Tasca D M 1970 IEEE Trans.Nucl.Sci.NS-17 346

[5]Arkihpov V I,Astvatsaturyan E R,Godovosyn V I,Rudenko A I 1983 Int.J.Electron.55 395

[6]Dwyer V M,Franklin A J,Campbell D S 1989 Solid State Electron.33 553

[7]Franklin A J,Dwyer V M,Campbell D S 1990 Solid-State Electron.33 1055

[8]Choi H H,DeMassa T A 1995 Solid-State Electron.38 939

[9]Ma Z Y,Chai C C,Ren X R,Yang Y T,Chen B,Song K,Zhao Y B 2012 Chin.Phys.B 21 098502

PACS:85.30.De,84.40.–xDOI:10.7498/aps.66.018501

?Corresponding author.E-mail:zhangcunbo@nint.ac.cn

Theoretical model of in fl uence of frequency on thermal breakdown in semiconductor device

Zhang Cun-Bo?Yan Tao Yang Zhi-Qiang Ren Wei-Tao Zhu Zhan-Ping

(Science and Technology on High Power Microwave Laboratory,Northwest Institute of Nuclear Technology,Xi’an 710024,China)(Received 19 August 2016;revised manuscript received 3 September 2016)

In order to analyze the in fl uence of frequency on thermal breakdown in semiconductor device,the in fl uences of frequency on heat generation and heat conduction in the hot zone are introduced into the theoretical model.The heat transfer equation is solved by the Green’s function method,and the error function is approximated.Then,the expressions of temperature in the hot zone and failure power of semiconductor device including frequency and pulse width are derived.The change rules of failure power with the increasing of pulse width under di ff erent frequencies and with the increasing of frequency under di ff erent pulse widths are obtained.The result shows that the expression for center temperature in hot zone caused by the failure power is divided into four time regions,i.e.,regions I-IV,by three thermal di ff usion times ta,tb,and tc.The three di ff usion times ta,tb,and tcare related to the side lengths a,b and c(c≤b≤a)of the hot zone represented by a rectangular parallelepiped,respectively.In region I(0≤t≤tc),the relation between failure power Pfand failure time t is Pf∝ t?1.In this region,the failure time is short and little heat is lost from the surface of hot zone so that the adiabatic term(t?1)dominates.In region II(tc＜ t＜ tb),the relation between failure power Pfand failure time t is Pf∝ t?1/2.In this region,it is indicative of heat loss from the hot zone to its surrounding medium.In region III(tb≤t≤ta),the relation between failure power Pfand failure time t is Pf∝1/lnt.In region IV(t＞ta),the failure power Pfis constant.In this region,the failure time is very large and thermal equilibrium can be established so that the steady state term dominates.The relation between failure power and frequency is divided into two parts.In part one,the failure power increases with the increasing of frequency;in part two,the failure power is nearly constant with the increasing of frequency.Meanwhile,the physical interpretation of the in fl uence of frequency on failure power is given.From region I to region IV,each heat transfer rate increases with pulse width.The lower the frequency,the more the injection energy during region I or region II is,when the total injection energy is constant.The heat transfer rate is slower in region I or region II,so the energy converted into heat will be more and the temperature in the hot zone will be higher,thus the device is burned out easily.

thermal breakdown,frequency,pulse width,theoretical analysis

10.7498/aps.66.018501

?通信作者.E-mail:zhangcunbo@nint.ac.cn