正交度對(duì)高精度二維轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)量精度的影響

王建永 張晨陽(yáng) 趙文峰 崔世程

（北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

正交度對(duì)高精度二維轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)量精度的影響

王建永 張晨陽(yáng) 趙文峰 崔世程

（北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

針對(duì)二維跟蹤測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸和俯仰軸正交度對(duì)角度測(cè)量精度的影響，基于球面三角計(jì)算方法和向量運(yùn)算方法，文章分別推導(dǎo)獲得轉(zhuǎn)臺(tái)不正交時(shí)角度測(cè)量誤差的計(jì)算公式，分析上述公式獲得正交度及其測(cè)量誤差對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)角精度的影響規(guī)律。結(jié)果表明，二維轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰運(yùn)動(dòng)范圍大于 10°時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸和俯仰軸正交度對(duì)方位測(cè)角精度影響較大，對(duì)俯仰測(cè)角精度影響可忽略不計(jì)；轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)角精度對(duì)正交度的測(cè)量誤差非常敏感，俯仰角為75°時(shí)，若正交度測(cè)量誤差為3″，則方位角測(cè)量誤差可達(dá)11.2″。基于此提出一種正交度分段擬合的修正方法可將正交度對(duì)測(cè)角精度的影響控制在4″以?xún)?nèi)。最后，針對(duì)性的介紹了轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸正交度的兩種測(cè)量方法及其測(cè)量誤差主要來(lái)源。研究結(jié)果對(duì)通用二維跟蹤測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)角精度指標(biāo)的合理分解具有一定的指導(dǎo)意義。

二維轉(zhuǎn)臺(tái) 軸系正交度 誤差分析 測(cè)量方法 航天遙感

0 引言

隨著航天事業(yè)的發(fā)展，星載高精度二維轉(zhuǎn)臺(tái)在空間角度測(cè)量領(lǐng)域的應(yīng)用越發(fā)廣泛，根據(jù)星載精密探測(cè)儀器在軌任務(wù)需要，需要配備能快速完成高精度指向和精確測(cè)角的星載高精度二維轉(zhuǎn)臺(tái)。因此轉(zhuǎn)臺(tái)的測(cè)角精度直接決定系統(tǒng)的總體性能和在軌任務(wù)實(shí)現(xiàn)[1-2]。

目前針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)角精度影響因素的研究主要集中在軸系跳動(dòng)、測(cè)角元件精度、延時(shí)精度、轉(zhuǎn)臺(tái)控制精度等方面[3-5]：軸系跳動(dòng)可通過(guò)控制加工和裝配精度加以保證[6-8]；測(cè)角元件精度可通過(guò)選擇高精度的光電編碼器或旋轉(zhuǎn)變壓器得以解決[7-11]；延時(shí)精度通過(guò)采用高精度的晶振及配套電路得以實(shí)現(xiàn)；轉(zhuǎn)臺(tái)控制精度通過(guò)提升算法和控制系統(tǒng)魯棒性得以提高[12-15]。但轉(zhuǎn)臺(tái)正交度對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)角精度的研究相對(duì)較少。而星載用轉(zhuǎn)臺(tái)存在尺寸、質(zhì)量約束，并且需要承受發(fā)射動(dòng)力學(xué)環(huán)境、在軌空間溫度交變、空間失重環(huán)境以及空間壽命可靠性等環(huán)境條件，使得星載用轉(zhuǎn)臺(tái)的正交度很難維持在2″以?xún)?nèi)。且由于任務(wù)需要，星載用轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)范圍較大，使得正交度對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)角精度的影響變得尤為不可忽略。

本文推導(dǎo)分析了轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)角精度與轉(zhuǎn)臺(tái)正交度的函數(shù)關(guān)系，分別研究了正交度及其測(cè)量誤差對(duì)測(cè)角精度的影響規(guī)律，并提出了一種分段擬合的修正算法以進(jìn)一步提高轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)角精度，有助于在通用二維轉(zhuǎn)臺(tái)研制過(guò)程中對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)角精度指標(biāo)進(jìn)行合理分解。

1 正交度影響數(shù)學(xué)模型

1.1 影響機(jī)理分析

二維轉(zhuǎn)臺(tái)利用俯仰旋轉(zhuǎn)軸（內(nèi)框）和方位旋轉(zhuǎn)軸（外框）根據(jù)右手螺旋定則建立目標(biāo)測(cè)量坐標(biāo)系，見(jiàn)圖1。理想狀態(tài)下，X、Y、Z三軸構(gòu)成笛卡兒坐標(biāo)系。但是由于零件加工誤差和產(chǎn)品裝配誤差的疊加，造成二維轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰軸和方位軸不正交（正交度定義為θ），即真實(shí)俯仰軸Y′與理想俯仰軸Y存在夾角θ，根據(jù)真實(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸系分別建立真實(shí)角度測(cè)量坐標(biāo)系（O-X′Y′Z′）和理論測(cè)量坐標(biāo)系（O-XYZ），即

在理想情況下（θ=0°），在O-XYZ坐標(biāo)系中，OP對(duì)應(yīng)的測(cè)量角度為（Az，H），在實(shí)際情況下，由于θ的存在，在O-X′Y′Z′坐標(biāo)系中，OP的實(shí)際測(cè)量角度為（Az′，H′），即方位測(cè)角誤差為δAz=Az-Az′，俯仰角測(cè)量誤差為δH=H-H′。

1.2 誤差模型推導(dǎo)

圖2為測(cè)角指向示意圖。由OP0旋轉(zhuǎn)至OP存在兩種路徑：第一種為先完成方位軸旋轉(zhuǎn)（由OP0旋轉(zhuǎn)至OP1），再完成俯仰軸旋轉(zhuǎn)（由OP1旋轉(zhuǎn)至OP）；第二種為先完成俯仰軸旋轉(zhuǎn)（由OP0旋轉(zhuǎn)至OP2），再完成方位軸旋轉(zhuǎn)（由 OP2旋轉(zhuǎn)至 OP）。因此，轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)量誤差公式可采用兩種推導(dǎo)方法：第一種路徑采用球面三角法進(jìn)行誤差模型推導(dǎo)，而第二種路徑則采用直角坐標(biāo)系向量法進(jìn)行誤差模型推導(dǎo)。

1.2.1 球面三角法

圖3為球面直角ΔABC，其中O為球心，∠A為ΔAOB與ΔABC的夾角（直角），∠B為ΔAOB與 ΔBOC的夾角，∠C為ΔAOC與ΔBOC的夾角，a，b，c分別為弧段對(duì)應(yīng)的球心角，由球面三角理論可知，已知任意兩個(gè)角度，根據(jù)式（2），即可求出其余角度[16]。

如圖2所示，OP0通過(guò)旋轉(zhuǎn)到達(dá)OP指向位置，在轉(zhuǎn)臺(tái)理論測(cè)量坐標(biāo)系里，先繞Z軸旋轉(zhuǎn)Az，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)H，即在球面上弧段對(duì)應(yīng)的球心角為弧段對(duì)應(yīng)的球心角為H，Y軸垂直于Z（Z′）軸，則在真實(shí)測(cè)量坐標(biāo)系中，由于Y′軸與Y軸偏差了θ，實(shí)際需要先繞Z′軸（即Z軸）旋轉(zhuǎn)Az′，再繞Y′軸旋轉(zhuǎn)H′，即在球面上弧段對(duì)應(yīng)的球心角為Az′，弧段對(duì)應(yīng)的球心角為H′，由于Y軸與Z（Z′）軸夾角為γ（θ的余角），則弧段與弧段的夾角為γ，根據(jù)以上分析，建立球面三角△PP1P1′，根據(jù)式（2）可得δAz和δH的誤差公式，其中H和Az滿(mǎn)足右手螺旋定則，以繞旋轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。

1.2.2 直角坐標(biāo)系向量法

圖 4為旋轉(zhuǎn)與角位置對(duì)應(yīng)關(guān)系圖。在真實(shí)二維轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)量坐標(biāo)系中，先完成俯仰軸旋轉(zhuǎn)，即OP0繞Y′軸旋轉(zhuǎn)H′到達(dá)OP2，再繞Z（Z′）軸旋轉(zhuǎn)Az′到達(dá) OP，即在真實(shí)測(cè)量坐標(biāo)系中 OP的角度為（Az′，H′）；而在理論二維轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)量坐標(biāo)系中，OP0繞Y軸旋轉(zhuǎn)H到達(dá)OP2′，再繞Z（Z′）軸旋轉(zhuǎn)Az到達(dá)OP，即在理論測(cè)量坐標(biāo)系中OP的角度為（Az，H），即方位測(cè)角誤差為δAz= β- =Az-Az′，俯仰角測(cè)量誤差為 δH=H-H′。由于 OP2、OP2′和OP均為OP0通過(guò)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生。定義OP0為單位向量。圖4中i、j、j′、k分別為X軸、Y軸、Y′軸和Z軸單位向量。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)關(guān)系，即OP2（對(duì)應(yīng)向量簡(jiǎn)化為p2）與OP0的夾角為H′，OP2與Y′軸垂直。定義P點(diǎn)在O-XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x，y，z），則P2點(diǎn)在O-XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x′，y′，z）。由Y′軸位于ZOY平面里，且Y′軸與Y軸夾角為θ，即j在O-XYZ坐標(biāo)系中坐標(biāo)為（0，cosθ，sinθ），可得出

對(duì)比式（3）、式（4）與式（9）、式（10），基于兩種計(jì)算方法用不同的優(yōu)先旋轉(zhuǎn)次序推導(dǎo)獲得的誤差計(jì)算公式是相同的。通過(guò)直角坐標(biāo)系向量法的計(jì)算過(guò)程可知，沿方位軸（外框軸）的旋轉(zhuǎn)不會(huì)引入測(cè)角誤差，沿俯仰軸（內(nèi)框軸）的旋轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生俯仰測(cè)角誤差和方位測(cè)角誤差。

2 正交度影響數(shù)值分析

2.1 正交度對(duì)測(cè)角精度影響數(shù)值分析

針對(duì)某轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰運(yùn)動(dòng)范圍為[-30°，75°]，實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)臺(tái)正交度為50″，通過(guò)式（9）、式（10）可計(jì)算出轉(zhuǎn)臺(tái)的方位角和俯仰角測(cè)量誤差隨俯仰角的變化曲線，如圖5所示，轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰角越大，則方位角和俯仰角測(cè)量誤差越大。在75°時(shí)，方位角測(cè)量誤差為-186.6″，而俯仰角誤差僅為-0.02″，由此可得：正交度對(duì)方位角測(cè)量誤差影響較大；對(duì)俯仰角測(cè)量誤差極小，可忽略。

2.2 正交度測(cè)量誤差敏感性數(shù)值分析

根據(jù) 2.1節(jié)的分析可知，在俯仰角較大時(shí)，正交度產(chǎn)生的方位測(cè)角誤差較大，而俯仰測(cè)角誤差則可以忽略不計(jì)。對(duì)式（9）進(jìn)行微分，則

式（11）中正交度θ為小量，sin2θ?1可忽略不計(jì)。轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰測(cè)角誤差dH′也為小量，sindHθ′為無(wú)窮小，可忽略不計(jì)。因此方位測(cè)角誤差僅與轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰角H′、正交度測(cè)量誤差dθ′相關(guān)。

取正交度θ為50″，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)運(yùn)動(dòng)俯仰角H′變化范圍為[0°，75°]，正交度測(cè)量誤差變化范圍為[0″,15″]時(shí)，方位測(cè)角精度變化如圖6（a）所示；當(dāng)正交度測(cè)量誤差取定值15″時(shí)，方位測(cè)角精度只與俯仰角（H′）變化相關(guān)，對(duì)應(yīng)關(guān)系曲線如圖6（b）所示；當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰角取定值75°時(shí)，方位測(cè)角精度只與正交度測(cè)量誤差（H′）的變化相關(guān)，對(duì)應(yīng)關(guān)系曲線如圖6（c）所示。圖6（a）對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)如表1所示。從圖6和表1可知，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰角較大時(shí)（俯仰角≥10°），方位測(cè)角精度對(duì)正交度測(cè)量誤差非常敏感，例如，俯仰角為75°時(shí)，正交度測(cè)量誤差在3″時(shí)，方位測(cè)角誤差達(dá)11.2″。因此對(duì)于俯仰運(yùn)動(dòng)范圍較大且測(cè)角精度要求較高的二維轉(zhuǎn)臺(tái)，則選擇與測(cè)角精度相匹配的高精度正交度測(cè)量方法是極其必要的。

表1 正交度測(cè)量誤差和轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰角對(duì)方位測(cè)角精度關(guān)系表Tab.1 the relationship between the orthogonality measuring error and the azimuth angle measuring precision under different pitch angles

3 正交度修正方法

由上可知，轉(zhuǎn)臺(tái)正交度及其測(cè)量誤差對(duì)方位測(cè)角精度影響較大，為提高二維轉(zhuǎn)臺(tái)的測(cè)角精度，必須對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的正交度進(jìn)行修正。二維指向機(jī)構(gòu)的控制系統(tǒng)通常采用FPGA+DSP的信號(hào)處理系統(tǒng)，為減小計(jì)算量同時(shí)又能保證修正后的測(cè)角精度，本文提出一種采用分段函數(shù)線性擬合方法，取正交度測(cè)量值為 50″時(shí)，對(duì)式（9）分別在H′為0°、43°、58°、66°、71°、74°時(shí)進(jìn)行一階泰勒展開(kāi)，展開(kāi)后的分段擬合函數(shù)如式（12）所示（計(jì)算時(shí) H′單位為 rad），考慮到修正時(shí)算法的穩(wěn)定性，在滿(mǎn)足修正精度（為測(cè)角精度的0.1倍）的情況下，在兩個(gè)分段函數(shù)設(shè)置重疊區(qū)域。

分段擬合方位測(cè)角誤差曲線如圖7（a）所示，原始方位測(cè)角誤差曲線如圖7（b）所示，擬合誤差曲線如圖7（c）所示，由圖可知，通過(guò)分段擬合修正，測(cè)角誤差可以控制在3.6″。考慮到星載轉(zhuǎn)臺(tái)控制器用DSP資源余量和修正精度要求，選用高階分段函數(shù)進(jìn)行修正可以有效提高修正精度。

4 轉(zhuǎn)臺(tái)正交度測(cè)量方法

由上文分析可知，二維轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)量精度受正交度影響較大，且對(duì)正交度的測(cè)量精度非常敏感。但是，不同的正交度測(cè)量方法對(duì)應(yīng)的測(cè)量誤差也不同，這直接影響了二維轉(zhuǎn)臺(tái)的測(cè)量精度。因此，采用合適的正交度測(cè)量方法十分必要。本文有針對(duì)性介紹兩種測(cè)量方法：接觸式測(cè)量方法和非接觸式光學(xué)測(cè)量方法。

（1）接觸式測(cè)量法[16-18]

接觸式測(cè)量法采用基準(zhǔn)圓柱和三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x配合完成正交度測(cè)量，需要轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸（外環(huán)軸）運(yùn)動(dòng)范圍不小于180°，俯仰軸（內(nèi)環(huán)軸）旋轉(zhuǎn)范圍360°，通過(guò)計(jì)算方位角旋轉(zhuǎn)180°前后的基準(zhǔn)圓柱旋轉(zhuǎn)中心的跳動(dòng)值計(jì)算出正交度。本方法測(cè)量精度與基準(zhǔn)圓柱和三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x的精度密切相關(guān)，具體計(jì)算可見(jiàn)文獻(xiàn)[18]。

（2）非接觸式光學(xué)測(cè)量法[19-20]

光學(xué)測(cè)量法采用平面反射鏡加自準(zhǔn)直儀（或經(jīng)緯儀）完成測(cè)量，需要轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸（外環(huán)軸）運(yùn)動(dòng)范圍不小于180°，俯仰軸（內(nèi)環(huán)軸）運(yùn)動(dòng)范圍360°，先在俯仰軸兩端粘貼平面反射鏡，并將平面反射鏡與軸線調(diào)整垂直，測(cè)試時(shí)，先將外環(huán)軸旋轉(zhuǎn)至0°，旋轉(zhuǎn)中環(huán)軸，利用反射鏡1間隔45°共測(cè)量8組數(shù)，可計(jì)算出外環(huán)軸為0°時(shí)的中環(huán)軸旋轉(zhuǎn)軸線，再將外環(huán)軸旋轉(zhuǎn)至180°，采用同樣方法，利用反射鏡2在中環(huán)軸同樣的角度測(cè)量8組數(shù)，計(jì)算出外環(huán)軸為180°時(shí)的中環(huán)軸旋轉(zhuǎn)軸線，將中環(huán)軸相同角度數(shù)據(jù)之差的一半中的最大值即為兩軸正交度（共 4組數(shù)），具體測(cè)量方法和數(shù)據(jù)處理方法詳見(jiàn)文獻(xiàn)[19]。本測(cè)量方法精度較高，要注意兩點(diǎn)：1）平面反射鏡要與旋轉(zhuǎn)軸線垂直；2）如果正交度測(cè)量值較大，必要時(shí)加密測(cè)量間隔，以減小測(cè)量誤差。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文深入分析了高精度二維轉(zhuǎn)臺(tái)正交度對(duì)測(cè)角精度的影響，給出了正交度對(duì)測(cè)角精度的影響公式、正交度測(cè)量誤差敏感度公式及相應(yīng)的誤差修正公式，基于誤差公式進(jìn)一步分析了正交度對(duì)測(cè)角精度的影響，正交度測(cè)量誤差對(duì)測(cè)角精度的影響以及正交度的修正對(duì)測(cè)角精度的影響，得出以下結(jié)論：

1）在俯仰角較大（大于10°）時(shí)，正交度誤差對(duì)方位角測(cè)量精度影響較大，正交度為50″時(shí)，在俯仰角為75°時(shí)，產(chǎn)生的方位角測(cè)量誤差為-186.6″；

2）正交度對(duì)俯仰角測(cè)量精度影響較小，俯仰角為 75°時(shí)，產(chǎn)生的俯仰角測(cè)量誤差為-0.02″，可忽略不計(jì)；

3）方位角測(cè)量精度對(duì)正交度測(cè)量誤差比較敏感，當(dāng)俯仰角為75°時(shí)，正交度測(cè)量誤差為3″時(shí)，產(chǎn)生的方位角測(cè)量誤差為11.2″；

4）正交度對(duì)方位角測(cè)量精度的影響可以通過(guò)分段函數(shù)線型擬合方式進(jìn)行修正，修正后正交度誤差對(duì)測(cè)角精度的影響可以控制在4″以?xún)?nèi)。

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Effects of Orthogonality on the Measurement Precision of High-accuracy Two-dimensional Turntable

WANG Jianyong ZHANG Chenyang ZHAO Wenfeng CUI Shicheng
（Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）

Considering the influence of orthogonality between azimuth axis and pitch axis on the angle measuring precision of two-dimensional tracking turntable, the formula of angle measuring error is derived based on the spherical triangle method and vector method respectively, when the azimuth axis and pitch axis of turntable is non-orthogonal. The effects of the orthogonality and its measuring error on the angle measuring precision are obtained from the formula. Results shows that when the motion range of the turntable is wider than 10°, the orthogonality between the azimuth axis and pitch axis has great effects on the measuring precision of the azimuth angle, but little effects on the pitch angle. Further results shows that the angle measuring precision is quite sensitive to the orthogonality measuring error. When the pitching angle is 75° and the orthogonality measuring error is 3″, the azimuth angle error can reach to 11.2″. Then an orthogonality segmented fitting method is proposed, which can control the angle measuring precision within 4″. Finally, two kinds of revolving axes orthogonality measuring methods and their main error source are summarized. These results have some instructional value for the analysis on the angle measuring precision of the general two-dimensional tracking turntable.

two-dimensional turntable; axes orthogonality; error analysis; measuring method; space remote sensing

V423.6

A

1009-8518(2017)03-0094-08

10.3969/j.issn.1009-8518.2017.03.011

王建永，男，1985年生，2010年獲中國(guó)空間技術(shù)研究院光學(xué)工程專(zhuān)業(yè)碩士學(xué)位，工程師。研究方向?yàn)榭臻g光機(jī)結(jié)構(gòu)總體設(shè)計(jì)。E-mail：719920772@qq.com。

（編輯：王麗霞）

2017-02-09

國(guó)家重大科技專(zhuān)項(xiàng)工程