Hausdorff算子在加權Herz型Hardy空間上的有界性*

鄒仕超， 朱相榮

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

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Hausdorff算子在加權Herz型Hardy空間上的有界性*

鄒仕超， 朱相榮

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

主要研究高維Hausdorff算子在加權Herz型空間上的有界性及加權Herz 型哈代空間上的有界性.通過極坐標分解、Minkowski不等式及H?lder不等式，得出Hausdorff算子在加權Herz型空間上有界的充分性條件；利用加權Herz 型哈代空間上的原子性質，得出其有界的充分性條件.

Hausdorff算子；原子分解；加權Herz型空間；加權Herz型哈代空間

0 引 言

Hausdorff算子最初是由Hausdorff在解決數列收斂性問題時引入的，它在調和分析、復分析及偏微分方程等數學分支中有著廣泛的應用，有關Hausdorff算子的發展過程可參閱文獻[1].Hausdorff算子在調和分析中有著悠久的歷史，從1917年開始的級數求和逐漸延伸到Hausdorff算子求和.最初的Hausdorff算子用Fourier形式給出，但在實際應用和計算中不太方便，所以Georgakis[2]最早提出了積分形式的Hausdorff平均，隨后積分形式的Hausdorff 算子吸引了更多學者的研究.Liflyand等[3]最早給出了積分形式的Hausdorff算子，積分形式的Hausdorff算子可以看成Cecàro算子的一種推廣.更多關于Hausdorff算子的研究結果可參閱文獻[4-7].R+上的Hausdorff 算子定義為

取Φ(t)=χ(0,1)(t)時,得到經典Hardy算子的伴隨算子為

Hausdorff算子一般有以下3種形式：

則

K2=∫Rn|Φ(u)||u|n|u|(β+n)/q|u|(γ+n)α/ndu<+∞,

則

則

1 一些定義及引理

首先介紹一些空間的基本定義及引理.

令Bk={x∈Rn: |x|≤2k},Ck=BkBk-1,χk=χCk.

定義1 令0<α<∞,0

其中，

(1)

其中:S′(Rn)為緩增分布所構成的空間;G(f)為Grand極大函數;

(2)

1)supp(a)?B(0,ρ):={x∈Rn: |x|≤ρ};

2)‖a‖Lq(w2)≤w1(B(0,ρ))-α/n;

3)∫Rna(x)xβdx=0，|β|≤s.

則函數a(x)在Rn中被稱為中心(α,q,w1,w2)原子.

(3)

引理2[12]令w∈Ap,p≥1.則存在一個常數C>0,使得

(4)

對任意包含于B的可測子集E成立.特別地，對任意λ>1，有

其中，B(x0,R)表示以x0為中心、R為半徑的球.

引理3 對于冪權w(x)=|x|α,以下結論成立:

1)w(x)=|x|α∈A1當且僅當-n<α≤0;

2)當0<α<∞時，w(x)=|x|α∈Ap,其中(n+α)/n

(5)

對所有x∈Rn，若B可逆，則

(6)

2 定理1 的證明

通過極坐標分解和變量替換得，

其中：u′∈Sn-1;Sn-1為n-1維單位球面.由式(1)得

作變量替換，令

其中，r-1Ck表示集合{x:rx∈Ck}.通過H?lder不等式和極坐標分解得

由Minkowski不等式得

再令正整數k0滿足k0-1≤-log2r≤k0,則r-1Ck包含在2個相鄰的環Ck+k0和Ck+k0-1內，即

因此，

(7)

(8)

同理，

(9)

(10)

把式(8)～式(10)代入式(7)，并且由Minkowski不等式得

因為，2-k0≈r，所以定理1結論成立.定理1證畢.

3 定理2 的證明

由式(1)知，

首先估計‖(HΦf)χk‖Lq(w2),有

再通過變量替換得

所以,由Minkowski不等式得

因為

又因為|u|≈2j，所以定理2結論成立.定理2證畢.

4 定理3 的證明

令au(x)=a(A(u)x),再次利用Minkowski不等式得

因為

所以au(x)的支集

最后，估計au的尺度.由式(6)，通過變量替換得

(‖A(u)‖-β|detA-1(u)|)1/q‖a‖Lq(w2)≤

(‖A(u)‖-β|detA-1(u)|)1/qw1(B(0,ρ))-α/n=

‖A-1(u)‖n‖A(u)‖-γw1(B(0,ρ)),

因此，

令

則au(·)/κ(u)是一個(α,q,w1,w2)原子且

定理3證畢.

[1]Hausdorff F.Summationmethoden und momentfolgen: II[J].Math Z,1921,9(1):74-109.

[2]Georgakis C.The Hausdorff mean of a Fourier-Stieltjes transform[J].Proc Amer Math Soc,1992,116(2):465-471.

[3]Liflyand E,Móricz F.Commutating relations for Hausdorff operators and Hilbert transforms on real Hardy space[J].Acta Math Hungar,2004,97(1/2):133-143.

[4]Andersen K F.Boundedness of Hausdorff operators onLp(Rn),H1(Rn)andBMO(Rn)[J].ActaSciMath,2003,69(1/2):409-418.

[5]LiflyandE,MiyachiA.BoundednessoftheHausdorffoperatorsinHp(0

[6]LiflyandE,MóriczF.TheHausdorffoperatorisboundedontherealHardyspaceH1(R)[J].ProAmerMathSoc,2000,128(5):1391-1396.

[7]MóriczF.MultivariateHausdorffoperatorsonthespacesH1(Rn) andBMO(Rn)[J].Ana Math,2005,31(1):31-41.

[8]Brown G,Móricz F.Multivariate Hausdorff operators on the spacesLp(Rn)[J].Math Anal Appl,2002,271(2):443-454.

[9]Chen J,Zhu X.Boundedness of multidimensional Hausdorff operators onH1(Rn)[J].J Math Anal Appl,2014,409(1):428-434.

[10]Chen J,Fan D,Li J.Hausdorff operators on function spaces[J].Chinese Ann Math Ser B,2012,33(4):537-556.

[11]Lu S,Yang D.The weighted Herz-type Hardy space and its applications[J].Science in China Series A,1995,38(6):662-673.

[12]Stein E M,Weiss G.Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces[M].Princeton:Princeton University Press,1971.

(責任編輯 陶立方)

The boundness of Hausdorff operators on weighted Herz-type Hardy spaces

ZOU Shichao, ZHU Xiangrong

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

It was discussed the boundness of the multi-dimensional Hausdorff operators on the weighted Herz-type spaces and the weighted Herz-type Hardy spaces. It was obtained the sufficient condition for boundedness of the Hausdorff operator on the weighted Herz-type space by polar decomposition, Minkowski inequality and H?lder inequality; For weighted Herz-type hardy space, from the nature of atomic, it was also obtained the sufficient condition for boundedness.

Hausdorff operators; atom decompositions; weighted Herz-type spaces; weighted Herz-type Hardy spaces

10.16218/j.issn.1001-5051.2017.01.004

2016-04-20；

2016-09-15

國家自然科學基金資助項目(11471288;11371136)；浙江省自然科學基金資助項目(LY14A010015)

鄒仕超(1994-)，男，江西九江人，碩士研究生.研究方向：調和分析.

朱相榮.E-mail: zxr@zjnu.cn

O175.25

A

1001-5051(2017)01-0024-07