計量經濟學ARMA模型詳細介紹

王琛文

（中山大學嶺南學院，廣州 510275）

計量經濟學ARMA模型詳細介紹

王琛文

（中山大學嶺南學院，廣州 510275）

ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究時間序列的重要方法，對于很多經濟時間序列都可建立與其吻合度很高的ARMA模型。同時由于ARMA模型建模思路并不復雜，對于預測分析的初學者來說上手較快，所以在經濟量化分析中被廣泛使用。

ARMA模型；AR模型；MA模型

一、ARMA模型類型

（一）自回歸（AR）模型

如果時間序列yt是它的前期值和隨機項的線性函數，即可表示為：yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+ut，記為AR（p）。實參數φ1，φ2，…，φp稱為自回歸系數，是模型的待估參數。隨機項ut是相互獨立的白噪聲序列，且服從均值為0、方差為的正態分布，隨機項ut與滯后變量yt-1，yt-2，…，yt-p不相關。

記Bk為k步滯后算子，即：Bkyt=yt-k，則ARMA模型可以表示為：yt=φ1Byt+φ2B2yt+…+φpBpyt+ut；令φ（B）=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp，模型可簡寫為：φ（B）yt=ut。AR（p）過程平穩的條件是滯后多項式φ（B）的根均在單位圓外，即φ（B）=0的根大于1。

（二）移動平均（MA）模型

如果時間序列yt是它的當期和前期的隨機誤差項的線性函數，即可表示為：yt=ut-θ1ut-1-θ2ut-2-…-θqut-q，記為MA（q）。實參數θ1，θ2，…，θq為移動平均系數，是模型的待估參數。引入滯后算子，并令θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq，則MA模型可簡寫為yt=θ（B）ut。

移動平均過程無條件平穩，但通常希望AR過程與MA過程能夠互為可逆過程，因此要求滯后多項式θ（B）的根都在單位圓外，經推導可得

式中，π0=-1；B0=1；其他權重πj可遞推得到。當序列滿足平穩條件時，可改寫為其中，φ0=1。

（三）自回歸移動平均（ARMA）模型

如果時間序列yt是它的當期和前期的隨機誤差項以及前期值的線性函數，即可表示為：yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+utθ1ut-1-θ2ut-2-…-θqut-q，記為ARMA（p，q）。其中，φ1，φ2，…，φp為自回歸系數，θ1，θ2，…，θq為移動平均系數，均為待估參數。

AR模型和MA模型均為ARMA模型的特殊形式，即對于ARMA（p，q），若階數q=0，則是自回歸模型AR（p）；若階數p=0，則成為移動平均模型MA（q）。

引入滯后算子B，該模型可簡記為：φ（B）yt=θ（B）ut。

ARMA（p，q）過程的平穩條件是滯后多項式φ（B）的根均落在單位圓外，可逆條件是θ（B）的根都在單位圓外。可以證明，滿足上述條件時，ARMA（p，q）模型等價于無窮階的AR過程或者無窮階的MA過程。

二、ARMA模型的識別

通常，使用時間序列u的自相關系數（AC）和偏自相關系數（PAC）去識別ARMA（p，q）模型。

對于AR（p）模型，其自相關系數隨著滯后階數的增加而呈現幾何或震蕩式衰減，而其偏自相關系數在p階截止。

對于MA（q）模型，其自相關系數在q階后截尾，其偏自相關系數隨滯后階數的增加呈現幾何或震蕩式衰減。

對于ARMA（p，q）模型，其自相關系數隨著滯后階數的增加而呈現幾何式或震蕩式衰減，并在q階后趨于0，其偏自相關系數隨著滯后階數的增加而呈現幾何式或震蕩式衰減，并在p階后趨于0。

在實際識別中，需注意：（1）對于不顯著的ACF及PACF，可根據需要認為該系數為0；（2）對滯后階數較大的孤立數值可不理會；（3）時間序列觀察點的個數盡量取大一些。

三、ARMA模型的診斷

建立ARIMA模型后，需對其穩定性進行檢驗，常用的三種檢驗方法為：（1）特征根分布，模型的特征根應全部分布在單位圓外；（2）殘差正態性，采用QQ-plot檢驗殘差的正態性，若殘差不滿足正態分布，則說明模型存在偏差；（3）殘差ACF和PACF，殘差應為相互獨立的白噪聲序列。

四、ARMA模型的選擇

當ARIMA模型通過診斷后，需要選擇統計性質較好的模型。具體可選用的方法有：選擇R方較高、參數統計性最顯著的模型；選擇AIC或BIC信息準則較小的模型；選擇預測精度較高的模型。

五、ARMA模型建模流程

ARMA模型建模流程圖

六、總結

ARMA模型對很多經濟時間序列數據，如貨幣供應量、國民生產總值等，均有較好的預測精度，也是目前應用較為廣泛的計量模型。同時，由于ARMA模型本身的形式和數學推導均不算復雜，也是預測分析初學者學習計量模型的最好選擇之一。筆者在本文將ARMA模型的幾種形式和使用方法進行了詳細的介紹，希望對各位讀者對此模型的掌握有所幫助。

[1]易丹輝.數據分析與Eviews應用[M].北京：中國人民大學出版社，2009.

[2]高鐵梅.計量經濟分析方法與建模——Eviews應用及實例[M].北京：清華大學出版社，2006.

[3]劉斌.應用計量經濟學[M].北京：中國金融出版社，2010.

[責任編輯 劉嬌嬌]

F224

A

1673-291X（2017）21-0003-02

2017-02-07

王琛文（1995-），男，北京人，本科，從事金融量化分析與對外貿易研究。