環形光束錐形衍射出射光場偏振特性及光場調控?

杜闖 賈大功 張紅霞 劉鐵根 張以謨

(天津大學精密儀器與光電子工程學院,光電信息科學與技術教育部重點實驗室,天津 300072)

環形光束錐形衍射出射光場偏振特性及光場調控?

杜闖 賈大功?張紅霞 劉鐵根 張以謨

(天津大學精密儀器與光電子工程學院,光電信息科學與技術教育部重點實驗室,天津 300072)

(2017年1月8日收到;2017年3月24日收到修改稿)

環形光束的錐形衍射效應對于微粒的操控具有重要的應用價值.本文建立了環狀高斯光束的錐形衍射模型,并基于Berry理論給出了線偏振態下環形光束錐形衍射出射光場的計算公式.理論仿真了環狀光錐形衍射出射光場的偏振特性,得出環光錐形衍射出射光場的內、外亮環具有相互正交的偏振分布特性.搭建了線偏振態下環狀高斯光錐形衍射的實驗系統,實驗驗證了出射光場的偏振特性.針對環形光束錐形衍射出射光場具備的偏振特性,設計了一種組合偏振片,理論和實驗研究了該組合偏振片對環光錐形衍射出射光場的調控.結果表明,隨著組合偏振片方位角的變化,錐形衍射出射光場的內、外環強度發生周期性的變化.

雙軸晶體,錐形衍射,環狀高斯光束,組合偏振片

1 引 言

雙軸晶體的錐形折射效應是指當一束光沿著雙軸晶體的一個光軸方向入射時會發生特殊的折射現象,光束的傳播軌跡呈圓錐形[1?4].Hamilton于1832年預言了雙軸晶體錐形折射現象,早期相關理論解釋都是以Fresnel波面為基礎進行展開,但是這些理論只能給出了定性的描述,甚至有些只是理論假設[5?7].Portigal和Burstein[8]于1969年最早嘗試定量描述錐形折射現象,分析了雙軸晶體光軸附近的光線傳播理論.隨后Berry[9]利用傍軸光學近似思想,完善并簡化了錐形折射的衍射理論,給出了錐形折射光的解析公式,故又稱錐形折射為錐形衍射.上述錐形衍射理論的發展為研究環形光束的錐形衍射現象奠定了理論基礎.

隨著激光技術的發展,雙軸晶體錐形衍射憑借其獨特的光場調控能力再度引起了人們的關注,如利用錐形衍射產生平頂型超高斯光束[10]、實現渦旋光束的產生與消除[11]等.研究過程中發現由于入射光束形態不同,其錐形衍射調控結果不同,因此不同形態入射光的錐形衍射出射光場的研究成為該領域的重要研究方向之一,如白光的錐形衍射研究[12]、徑向偏振光和角向偏振光的錐形衍射研究[13]、拉蓋爾-高斯光束的錐形衍射研究[14]、扇形光的錐形衍射研究[15]等.環形光束作為光鑷技術的重要調控光場[16,17],對微粒操控具有重要意義,因此本文對環形光的錐形衍射效應進行研究,以期得到最佳的微粒操控光場.偏振態作為光場的基本特性之一,對光場的調控有著直接的影響[18],而且錐形衍射光場的獨特偏振特性也具有重要的應用價值,如O’Dwyer等[19]提出了利用偏振光錐形衍射出射光場的缺陷環進行微球粒子和白血球細胞的捕捉和定位;Peinad等[20]基于錐形衍射出射光場的偏振特性設計了一種新型的偏振計裝置,能夠高效判別光束的偏振態;Turpin等[21]利用錐形衍射出射光場的偏振特性實現了空間光通信中的偏振復用與解復用.因此,本文給出了環狀高斯光束的錐形衍射理論模型和偏振光入射時的光場強度公式,分析了環狀光錐形衍射出射光場的偏振特性,并設計一種特殊的組合偏振片實現了對環光錐形衍射出射光場的調控.

2 環狀光束的錐形衍射效應及其偏振特性

2.1 環光錐形衍射理論

基于Tovar[22]提出的平頂多高斯光束模型,我們給出了一種環狀高斯光束的模型.在柱坐標系中,光束束腰z=0時的環狀高斯光光場可以表示為

式中,w為高斯光束的腰斑半徑,n(n=0,1,2,···)表示環狀高斯光束的階次.為了方便討論,這里暫時忽略(1)式中的振幅常數因子.當n=0時,(1)式為基模高斯光表達式;當n>0時,(1)式則為環狀高斯光束計算公式.本文就是以環形高斯光束作為入射光研究環光錐形衍射出射光場的偏振特性.

對電場矢量為D0的入射光,沿光軸入射到晶體后,晶體后端面出射光場為

式中:J0為零階貝塞爾函數,a(κ)是入射光的傅里葉變換,各參量具有下式關系:

其中,d0表示入射光的偏振態,l為晶體的長度,w是入射光束的束腰半徑,r和z為柱面極坐標,z軸的起點是入射光的束腰位置;ρ和ζ為對應于r和z的兩個無量綱參數,分別代表錐形衍射出射光的徑向和軸向傳播位置,ζ軸起點為入射光束腰經過長l的晶體所成等效像的位置(也稱該位置為焦像面),焦像面處的錐形衍射出射光場是最清晰的;ρ0參量表示晶體出射面處的錐形衍射光場半徑與入射光腰斑半徑的比值,ρ0的大小決定著錐形衍射出射光場的細銳程度;A是直角錐的半頂角,假設晶體的主軸折射率分別為nx,ny,nz,并且nx

由(1)式可知,環狀高斯光的傅里葉變換為

將(5)式代入到(2)式可得環狀高斯光的錐形衍射光場為

其中,I0,Ik,B0,B1分別為如下形式:

通過(7)式可以知道,錐形衍射出射光場由B0和B1兩個分量構成,其中B0分量是包含零階貝塞爾函數的積分式,B1分量是包含一階貝塞爾函數的積分式.

2.2 環光錐形衍射光場的偏振特性

由于錐形衍射出射光場的偏振分布主要由入射光的形態決定,但是出射光場的光強會受到入射光偏振態的影響[24].按照上述思想,非偏振光束的錐形衍射出射光場經過α角的線偏振片后的光強分布,與偏振方向α角的線偏振光的錐形衍射出射光場特性是一樣的.因此,為了分析環形光束錐形衍射出射光場的偏振特性,我們以具有線偏振臺的環形光作為入射光束.當入射光為α角的線偏振光時,(6)式中的偏振矩陣可以表示為:則線偏振的環形光束錐形衍射出射光強為

圖1 (網刊彩色)線偏振的環狀高斯光錐形衍射出射光場(ρ0=40) (a)α=0?;(b)α=22.5?;(c)α=45?;(d)α =67.5?;(e)α =90?;(f)α =122.5?;(g)α =135?;(h)α =157.5?;(i)偏振分布示意圖Fig.1.(color online)The conical di ff raction patterns with linearly polarized annular Gaussian beam(ρ0=40):(a) α =0?;(b) α =22.5?;(c) α =45?;(d) α =67.5?;(e) α =90?;(f) α =122.5?;(g)α =135?;(h)α =157.5?;(i)the diagram of polarization state.

根據(8)式可以理論計算不同偏振方向的線偏振環狀高斯光的錐形衍射出射光在焦相面上的光場分布,其結果如圖1所示.圖1(a)—(h)分別表示偏振方向為0?,22.5?,45?,67.5?,90?,122.5?,135?和157.5?的線偏振環狀高斯光束的錐形衍射出射光場分布,計算時使用的環狀高斯光束階次為20(n=20),ρ0=40.由圖1(a)可知,當入射線偏光偏振方向為0?時,錐形衍射光場中外環在90?的方位角處光強為零,而內環卻在270?的方位角處光強為零,因此可以得出,內環270?方位角和外環90?方位角處的偏振態均與入射線偏振光正交,為豎直偏振;由圖1(e)可知,當入射線偏光偏振方向為90?時,錐形衍射出射光場的外環在270?的方位角處光強為零,而內環卻在90?的方位角處光強為零,因此可以得出內環90?方位角和外環270?方位角處的偏振態均與入射線偏振光正交,為水平偏振.同理,由圖1(b)和(f)、圖1(c)和(g)、圖1(d)和(h)分別可以得出錐形衍射光內、外環在135?和315?,0?和180?,45?和225?方位角處的偏振態.

綜合上述計算結果可知,環狀光束錐形衍射出射光場內、外環具有相互正交的偏振分布,如圖1(i)所示,其中藍色箭頭和紅色箭頭分別表示錐形衍射出射光場內環和外環上各點處的偏振方向.圖2為高斯光束的錐形衍射出射光場偏振分布[10],紅色箭頭表示環上各點處的偏振方向.由圖1(i)和圖2可知,環形光和高斯光的錐形衍射出射光場在焦像面上的光強圖均為雙亮環結構.不同的是,環形光錐形衍射出射光場內外環偏振態相互正交,而高斯光錐形衍射出射光場內外環偏振態相同.造成上述出射光場內外環偏振態分布不同的原因是由入射光的形態不同.環形光錐形衍射出射光場的這一特殊偏振特性對雙亮環的分離及其光場調控具有重要意義.

圖2 (網刊彩色)高斯光錐形衍射出射光場在焦相面處偏振分布示意圖Fig.2.(color online)The diagram of polarization characteristic of the conical di ff raction pattern under Gaussian beam.

2.3 實驗與討論

為了驗證上面的理論計算結果的正確性,我們搭建了相應的實驗系統.圖3為線偏振環狀高斯光束的錐形衍射實驗系統原理圖.實驗系統由氦氖激光器、可調衰減片、擴束透鏡L1、擴束透鏡L2、環形光闌、起偏器、會聚透鏡L3,KTP晶體和電荷耦合器件(CCD)組成,其中,透鏡L1,L2和L3分別是焦距為10,150,100 mm的平凸透鏡.

實驗中使用如圖4(a)所示的內、外半徑分別為r1=9 mm,r2=10 mm的環形光闌;利用起偏器調節入射到晶體的線偏光偏振方向;實驗用的雙軸晶體是尺寸為5 mm×5 mm×10 mm的長方體狀KTP晶體,在切割晶體時,令晶體的一個光軸沿著長方體的一個棱的方向,如圖4(b)所示,C1和C2表示晶體的兩個光軸,其中C1是平行于Ez軸的,圖中贗矢量G代表晶體的方向,G由C1,C2光軸方向決定并垂直于兩光軸所在的平面;實驗時光束沿著Ez軸垂直晶體前表面入射.

圖3 (網刊彩色)環狀高斯光束的錐形衍射系統原理圖Fig.3.(color online)Schematic diagram of conical di ff raction under annular Gaussian beam.

圖4 (網刊彩色)(a)環形光闌和(b)KTP晶體的切割方向Fig.4.(color online)(a)Annular aperture and(b)the cutting direction of KTP crystal.

圖5 線偏振環狀光錐形衍射光場實驗圖 (a)α=22.5?;(b)α =67.5?;(c)α =112.5?;(d)α =157.5?Fig.5.The experimental results of conical di ff raction patterns with linearly polarized annular Gaussian beam:(a)α =22.5?;(b)α =67.5?;(c)α =112.5?;(d)α =157.5?.

圖5(a)—(d)分 別 表 示 偏 振 方 向 為22.5?,67.5?,112.5?和157.5?的線偏振環狀光束錐形衍射出射光場光強分布的實驗結果.由圖5(a)可知,當入射線偏光偏振方向為22.5?時,錐形衍射出射光場的光外環在135?的方位角處光強為零,而內環在315?方位角處光強為零,即內環在315?方位角和外環在135?方位角處的偏振方向均為112.5?;由圖5(c)可得,當入射線偏光偏振方向為112.5?時,錐形衍射出射光場的外環在315?的方位角處光強為零,而內環在135?方位角處光強為零,即內環在135?方位角和外環在315?方位角處的偏振方向均為22.5?;因此可以得出,環形光束錐形衍射出射光場內、外環在相同方位角處的偏振態相互正交.同理,圖5(b)和圖5(d)也表明偏振方向為67.5?和157.5?線偏振環狀光束的錐形衍射光場也具有相同規律.與圖1中計算結果相比,理論和實驗結果完全一致,圖5中四幅實驗圖分別與圖1(b),(d),(f)和(h)所示的理論仿真圖一一對應,環上消光位置具有很好的一致性.因此可以證明,環形光束的錐形衍射出射光場內、外環在相同的方位角處具有相互正交的偏振態.

3 組合偏振片對環光錐形衍射光場的調控

針對環狀高斯光錐形衍射光內、外環具有完全正交的偏振分布特性,我們設計了一種具有特定偏振控制功能的組合偏振片,用于模擬環形光束錐形衍射出射光場的偏振分布,如圖6所示.該組合偏振片由8塊透振方向均不相同的扇形線偏振片組合而成,圖6中藍色箭頭表示每塊線偏振片的透振方向.此外我們還研究了組合偏振片對環光錐形衍射出射光場的調控.

圖6 (網刊彩色)組合偏振片示意圖Fig.6.(color online)The Schematic diagram of the combined polarizer.

為了分析組合偏振片對環光錐形衍射出射光場的調控,我們先計算了錐形衍射光偏振分布的瓊斯矩陣,并以此近似表示組合偏振片的偏振矩陣.根據錐形衍射光場偏振分布特性,建立如圖7所示的坐標系.圖7中角度?表示環上任意一點的方位角,α表示環上?方位角處的偏振方向,則有:α=?/2.

圖7 (網刊彩色)錐形衍射光偏振分布的瓊斯矩陣模型Fig.7.(color online)The Jones matrix model of the conical di ff racted beam.

由(8)式可知,經旋轉角為δ的組合偏振片調制后的環形光束的錐形衍射出射光場強度為

經組合偏振片調制后的環形光錐形衍射出射光場的強度分布如圖8所示.其中,左列為理論仿真結果,右列是與之對應的實驗結果.圖8(a)—(f)分別表示組合偏振片旋轉角δ為0?,30?,150?,180?,210?和300?時環光錐形衍射出射光場分布.由圖8(a)和圖8(g)可以看出,當δ=0?時,錐形衍射出射光場的內環消失了,只剩下外環.這是因為組合偏振片的偏振分布與錐形衍射出射光場的外環偏振分布完全相同,而與內環偏振分布完全正交,因此內環被徹底消除.隨著δ的不斷增加,錐形衍射出射光場的外環強度逐漸減弱,而內環強度逐漸增強;當δ=180?時,組合偏振片與圓錐衍射外環完全正交,而與圓錐衍射內環相同,因此外環消失,如圖8(d)和圖8(j)所示;同理,隨著δ繼續增大,圓錐衍射外環開始逐漸增強,而圓錐衍射內環又逐漸變暗.組合偏振片旋轉一周,交替出現內環或外環的消失現象,實現了對出射光場的調控.

圖8 組合偏振片對環光錐形衍射出射光場的調控(a)—(f)理論圖;(g)—(l)實驗圖;(a),(g) δ=0?;(b),(h)δ =30?;(c),(i)δ=150?;(d),(j)δ =180?;(e),(k)δ=210?;(f),(l)δ=300?Fig.8.The control results of conical di ff racted fi eld using the combined polarizer:(a)–(f)The theoretical results;(g)–(l)the experimental results;(a),(g)δ =0?;(b),(h) δ =30?;(c),(i) δ=150?;(d),(j)δ =180?;(e),(k)δ=210?;(f),(l)δ =300?.

實驗中由于組合偏振片由多片偏振片拼接而成,受限于加工工藝不完善,相鄰偏振片間存在縫隙,因此出現圖8右列所示亮環不連續的現象.盡管存在亮環不連續問題,但是實驗中錐形衍射出射光場中雙環的強度變化趨勢與理論仿真結果完全一致,證實了組合偏振片對環光錐形衍射出射光場的調控作用.組合偏振片對環光錐形衍射出射光場的特殊調控特性使得易于獲得單個錐形衍射內環或外環,這種調控機制在光波的偏振復用與解復用方面具有重要的應用價值;此外,該光場調控機制在生物醫學中的粒子操控以及光通信中的光開關等方面具有比較好的應用前景.

4 結 論

本文給出了環狀高斯光束錐形衍射出射光場的光強公式,并從理論和實驗兩方面分析了環光錐形衍射出射光場的偏振特性.結果表明,環形光的錐形衍射出射光場為同心雙環結構,并且內、外亮環具有正交的偏振分布.為實現對環光錐形衍射出射光場的調控,設計了一種由8塊不同透振方向的扇形偏振片組成的組合偏振片,通過改變組合偏振片的旋轉角,可以實現環光錐形衍射出射光場的周期性變化.并且當組合偏振片的旋轉角δ分別為0?和180?時,可以分別消去錐形衍射光場的內環和外環,得到只有一個亮環的錐形衍射出射光場.通過組合偏振片的調控,得到一組內外環強度比可調的環形光場,該可調光場在光束整形、光鑷、光開光、光波分復用等方面有較好的應用價值,推動了錐形衍射理論及應用的發展.

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PACS:42.25.–p,42.25.Fx,42.25.Lc,42.25.JaDOI:10.7498/aps.66.124202

Polarization characteristic and control of the conical di ff racted output fi eld under annular beam?

Du Chuang Jia Da-Gong?Zhang Hong-Xia Liu Tie-Gen Zhang Yi-Mo

(Key Laboratory of Opto-electronics Information Technology,Ministry of Education,School of Precision Instrument and Opto-Electronics Engineering,Tianjin University,Tianjin 300072,China)

8 January 2017;revised manuscript

24 March 2017)

Conical di ff raction,a unique optical phenomenon in biaxial crystal,has important applications for the manipulation of particles.In this paper,a new model of annular Gaussian beam is constructed based on the Tovar’s fl at-topped multi-Gaussian laser beams.The conical di ff raction of annular Gaussian beam is calculated using Belsky-Khapalyuk-Berry theory.The polarization characteristics of conical di ff racted output beams under the annular Gaussian beam are theoretically calculated and experimentally demonstrated by means of the linearly polarized annular Gaussian beams with di ff erent polarization directions.It is found that the same azimuth angles of the inner and outer rings of the conical di ff racted output beams have orthogonal polarization characteristics.A combined polarizer(CP)composed of eight polarizing segments with di ff erent speci fi c pass axes of polarization is presented to simulate the polarization characteristic of the optical fi eld of conical di ff raction.Furthermore the calculations for output- fi eld control of conical di ff raction under the annular beam by using the proposed CP are compared with the experimental results.The results show that the intensities of both the inner and outer rings are periodically varied with CP azimuth angle.And when the azimuth angle of CP is 0?,only the conical di ff racted outer ring is remained,while only the inner ring of conical di ff raction is remained for 180?.This tunable conical di ff racted fi eld has important applications in optical tweezers and wavelength division multiplexing.

biaxial crystal,conical di ff raction,annular Gaussian beam,combined polarizer

10.7498/aps.66.124202

?國家自然科學基金(批準號:61377077)和國家重點基礎研究發展計劃(批準號:2014CB340103)資助的課題.

?通信作者.E-mail:dagongjia@tju.edu.cn

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.61377077)and the National Basic Research Program of China(Grant No.2014CB340103).

?Corresponding author.E-mail:dagongjia@tju.edu.cn