何謂“地球表面附近”

汪 嫚 黃時(shí)中

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

何謂“地球表面附近”

汪 嫚 黃時(shí)中

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

筆者將重力與萬(wàn)有引力、重力的功與萬(wàn)有引力的功進(jìn)行了細(xì)致的分析和比較,利用Mathematica軟件繪出兩者之間的相對(duì)誤差與高度之間的關(guān)系圖像,從而明確地回答了“何謂地球表面附近”這一問題。

地球表面附近;重力;萬(wàn)有引力;相對(duì)誤差

1 引言

在現(xiàn)行高中物理教材中,重力的定義如下:(1) 地球附近一切物體都受到地球的吸引力,由于地球的吸引而使物體受到的力叫做重力[1]。(2) 物體在地面表面附近受到地球的吸引而產(chǎn)生的力叫做重力[2]。(3) 在地球表面附近的物體都會(huì)受到地球的吸引，這種由于地球的吸引而使物體受到的力,叫做重力[3]。在這些定義中,都有一個(gè)前提條件——在地球表面附近。那么,何謂“地球表面附近”呢?教材對(duì)此沒有做進(jìn)一步說明。在教學(xué)中,教師通常是照本宣科,學(xué)生則是記住此說法。為了解決這一教學(xué)難點(diǎn)問題,筆者將重力與萬(wàn)有引力、重力的功與萬(wàn)有引力的功進(jìn)行了細(xì)致的分析和比較,利用Mathematica軟件繪出兩者之間的相對(duì)誤差與高度之間的關(guān)系圖像,從而明確地回答了“何謂地球表面附近”這一問題。我們的結(jié)論是:“在地球表面附近到底是多近”取決于所研究的問題中所要求的精度,給定了具體問題的精度,就能確定物體離開地球表面的高度。這一工作對(duì)高中物理中重力概念的教學(xué)有一定參考作用。

2 重力與萬(wàn)有引力比較

如圖1所示，地球表面附近的物體所受的重力,主要來源于地球的萬(wàn)有引力F以及因地球自轉(zhuǎn)而存在的慣性力F1,即萬(wàn)有引力和慣性力的共同作用形成重力P[4]。

圖1

在地球表面附近的物體,其所受的慣性力通常小于萬(wàn)有引力,因而在一些精確度要求不太高的計(jì)算中,可以忽略地球自轉(zhuǎn)的影響(即忽略慣性力),近似地認(rèn)為重力等于地球?qū)ξ矬w的引力。

利用Mathematica繪出的ur-h圖像如圖2所示，其中圖2a中h的取值范圍是0～1×107m,圖2b中h的取值范圍是0～10000m。

圖2

由圖2可以看出隨著高度h的增加，其相對(duì)誤差也在逐漸增加，當(dāng)h>R時(shí)其相對(duì)誤差非常大,所以在書中提到地球表面附近時(shí)都會(huì)指出h?R。由圖2a可以看出在一個(gè)較大的范圍內(nèi),隨著h的增加，相對(duì)誤差增加的速率也在增加,為了進(jìn)一步了解“何謂地球表面附近”,將h的取值定為0～10000m繪出其對(duì)應(yīng)相對(duì)誤差圖像如圖2b所示，就估算重力的大小而言,當(dāng)誤差需小于0.01%時(shí),其高度不得超過300m;當(dāng)誤差需小于0.05%時(shí),其高度不得超過1600m;當(dāng)誤差需小于0.1%時(shí),其高度不得超過3200m……

3 重力的功與萬(wàn)有引力的功比較

圖3

下面進(jìn)一步通過分析和比較重力的功與萬(wàn)有引力的功,來闡明“何謂地球表面附近”這一問題。為簡(jiǎn)便起見,我們采用如圖3所示的模型,考察一質(zhì)量為m的物體從地面上升到距地面高度h處的過程中,地球引力對(duì)物體所做的功以及“物體所受的重力所做的功”。

圖4

利用Mathematica繪出的ur-h圖像如圖4所示。其中圖4a中h的取值范圍是0～1×107m,圖4b中h的取值范圍是0～10000m。由圖4可以看出:就估算重力的功的大小而言,當(dāng)高度h取值不同時(shí),相對(duì)誤差不同，且隨著h的增大,相對(duì)誤差在增大。從圖4a可以看出:當(dāng)h>R時(shí),其相對(duì)誤差非常大。從圖4b可以看出:就估算重力的功的大小而言,當(dāng)誤差需小于0.01%時(shí),高度不得超過600m;當(dāng)誤差需小于0.05%時(shí),高度不得超過3200m;當(dāng)誤差需小于0.1%時(shí),高度不得超過6400m……

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述,“何謂地球表面附近”取決于所研究的問題中所要求的精度。運(yùn)用Mathematica可計(jì)算出不同高度處近似值與直接用萬(wàn)有引力所得到的精確值的相對(duì)誤差,可以確定與所要求的精度相對(duì)應(yīng)的高度。

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 物理必修1[M].北京:人民教育出版社,2004.

[2] 華東師范大學(xué),浦東新區(qū)社會(huì)發(fā)展局.高級(jí)中學(xué)物理課本高中一年級(jí)第一學(xué)期(試用本)[M].上海:上海科技出版社,2007.

[3] 陳熙謀，吳祖仁．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 物理必修1[M].北京:教育科學(xué)出版社,2004.

[4] 黃時(shí)中,倪致祥.大學(xué)物理(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2014.

本文系安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11040606M15)、國(guó)家自然科學(xué)基金專項(xiàng)基金項(xiàng)目(11047019)的階段性研究成果。