一道三角有理函數不定積分的多種解法

郭竹梅

（安徽科技學院 信息與網絡工程學院，安徽 鳳陽 233100）

一道三角有理函數不定積分的多種解法

郭竹梅

（安徽科技學院 信息與網絡工程學院，安徽 鳳陽 233100）

三角有理函數的不定積分是高等數學中常見的一種積分類型，其計算方法靈活多變。一題多解訓練是引導學生用不同的方法去解答同一道數學題的練習活動。通過一道三角有理函數不定積分的多種解法，同學們既拓寬了解題思路、又培養(yǎng)了發(fā)散思維。

三角有理函數；不定積分；一題多解

不定積分是高等數學中非常重要的一部分內容，但因其題目類型多，結構復雜，方法靈活多變，給初學者帶來很大的困擾。一題多解可以開闊學生的思路，幫助學生掌握知識的縱橫聯(lián)系，此方法特別適合用于不定積分的教學。近來，已有不少學者作了此方面的研究[1-4]，本文著重介紹一道三角有理函數不定積分的多種解法，為廣大學者提供參考。

1 不定積分的多種解法

初學者一看到三角有理函數積分，首先會想到萬能代換，但此題直接用萬能代換很麻煩，可以先利用三角函數等式化簡，再利用萬能代換，見解法1：

解法1：

由于三角等式的應用非常靈活，所以對于三角有理函數積分，不一定要把它化成有理函數的積分，見解法2[6]，解法3：

解法2：

根據不定積分題目自身的結構和三角函數之間的化簡，得解法5如下：

解法5：由

2 結束語

對于三角有理函數的積分，最基本的方法是萬能代換。但是從上述不同的解法我們可以看出，通過三角恒等式，分部積分，變量代換等方法可以更簡單地解決問題。同時，通過一題多解，可以啟發(fā)和引導學生從不同的角度去分析同一道數學題，以達到培養(yǎng)學生發(fā)散思維的目的。

[1] 邢秀俠. 不定積分的一題多解[J]. 教育教學論壇，2016（15）：245-246.

[2] 景慧麗. 一道不定積分題的多種解法[J]. 玉溪師范學院學報，2016（4）：24-26.

[3] 于文廣，黃玉娟. 不定積分的一題多解研究[J]. 牡丹江教育學院學報，2015（10）：130-131.

[4] 屈娜，陳春梅，楊寶珍. 一道三角有理函數不定積分解法的探討[J]. 安慶師范學院學報（自然科學版），2014（2）：108-109.

[5] 同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M]. 第七版.北京：高等教育出版社，2016：223.

[6] 彭輝.高等數學輔導（同濟·六版 上下冊合訂）[M]. 濟南：山東科學技術出版社，2011：240.

（責任編輯 劉常福）

Multiple Solutions for Indef i nite Integral of a Triangle Rational Function

GUO Zhumei
(School of Information and Network Engineering, Anhui Science and Technology University, Anhui Feng yang 233100, China)

The Integration of triangle rational function is a common integral types in higher mathematics, and its calculation method are flexible. Multiple solutions to a problem training is to guide students to use different methods to solve the same math problem. Through multiple solutions for indef i nite integral of a triangle rational function, students can not only widen their trains of thought, but also foster divergence thinking ability.

triangle rational function; indef i nite integral; multiple solutions

O172.2

A

1674 - 9200（2017）03 - 0038 - 03

2017 - 04 - 12

安徽科技學院教研項目“過程性考核評價教學模式在《高等數學》教學中的應用研究”（X2015065）。

郭竹梅，女，安徽淮北人，安徽科技學院信息與網絡工程學院講師，碩士，主要從事微分方程及其應用、矩陣分析研究。