一道三角有理函數(shù)不定積分的多種解法

郭竹梅

（安徽科技學院 信息與網(wǎng)絡工程學院，安徽 鳳陽 233100）

一道三角有理函數(shù)不定積分的多種解法

郭竹梅

（安徽科技學院 信息與網(wǎng)絡工程學院，安徽 鳳陽 233100）

三角有理函數(shù)的不定積分是高等數(shù)學中常見的一種積分類型，其計算方法靈活多變。一題多解訓練是引導學生用不同的方法去解答同一道數(shù)學題的練習活動。通過一道三角有理函數(shù)不定積分的多種解法，同學們既拓寬了解題思路、又培養(yǎng)了發(fā)散思維。

三角有理函數(shù)；不定積分；一題多解

不定積分是高等數(shù)學中非常重要的一部分內(nèi)容，但因其題目類型多，結(jié)構(gòu)復雜，方法靈活多變，給初學者帶來很大的困擾。一題多解可以開闊學生的思路，幫助學生掌握知識的縱橫聯(lián)系，此方法特別適合用于不定積分的教學。近來，已有不少學者作了此方面的研究[1-4]，本文著重介紹一道三角有理函數(shù)不定積分的多種解法，為廣大學者提供參考。

1 不定積分的多種解法

初學者一看到三角有理函數(shù)積分，首先會想到萬能代換，但此題直接用萬能代換很麻煩，可以先利用三角函數(shù)等式化簡，再利用萬能代換，見解法1：

解法1：

由于三角等式的應用非常靈活，所以對于三角有理函數(shù)積分，不一定要把它化成有理函數(shù)的積分，見解法2[6]，解法3：

解法2：

根據(jù)不定積分題目自身的結(jié)構(gòu)和三角函數(shù)之間的化簡，得解法5如下：

解法5：由

2 結(jié)束語

對于三角有理函數(shù)的積分，最基本的方法是萬能代換。但是從上述不同的解法我們可以看出，通過三角恒等式，分部積分，變量代換等方法可以更簡單地解決問題。同時，通過一題多解，可以啟發(fā)和引導學生從不同的角度去分析同一道數(shù)學題，以達到培養(yǎng)學生發(fā)散思維的目的。

[1] 邢秀俠. 不定積分的一題多解[J]. 教育教學論壇，2016（15）：245-246.

[2] 景慧麗. 一道不定積分題的多種解法[J]. 玉溪師范學院學報，2016（4）：24-26.

[3] 于文廣，黃玉娟. 不定積分的一題多解研究[J]. 牡丹江教育學院學報，2015（10）：130-131.

[4] 屈娜，陳春梅，楊寶珍. 一道三角有理函數(shù)不定積分解法的探討[J]. 安慶師范學院學報（自然科學版），2014（2）：108-109.

[5] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（上冊）[M]. 第七版.北京：高等教育出版社，2016：223.

[6] 彭輝.高等數(shù)學輔導（同濟·六版 上下冊合訂）[M]. 濟南：山東科學技術(shù)出版社，2011：240.

（責任編輯 劉常福）

Multiple Solutions for Indef i nite Integral of a Triangle Rational Function

GUO Zhumei
(School of Information and Network Engineering, Anhui Science and Technology University, Anhui Feng yang 233100, China)

The Integration of triangle rational function is a common integral types in higher mathematics, and its calculation method are flexible. Multiple solutions to a problem training is to guide students to use different methods to solve the same math problem. Through multiple solutions for indef i nite integral of a triangle rational function, students can not only widen their trains of thought, but also foster divergence thinking ability.

triangle rational function; indef i nite integral; multiple solutions

O172.2

A

1674 - 9200（2017）03 - 0038 - 03

2017 - 04 - 12

安徽科技學院教研項目“過程性考核評價教學模式在《高等數(shù)學》教學中的應用研究”（X2015065）。

郭竹梅，女，安徽淮北人，安徽科技學院信息與網(wǎng)絡工程學院講師，碩士，主要從事微分方程及其應用、矩陣分析研究。