專升本考試中微分中值定理證明方法研究

張磊　盧傳明　徐榮貴

摘 要：微分中值定理各個(gè)省份或?qū)W校專升本考試中《高等數(shù)學(xué)》考試中的常考內(nèi)容。在微分中值定理的證明中，輔助函數(shù)的構(gòu)造是首要步驟。因此，研究證明方法很有必要。原函數(shù)法（積分法）、常數(shù)K 值法和指數(shù)因子法是專升本考試中最常用的輔助函數(shù)的構(gòu)造方法。

關(guān)鍵詞：專升本 微分中值定理 證明 輔助函數(shù)

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1672-3791（2017）07（a）-0200-02

“高等職業(yè)教育‘專升本考試”指高等職業(yè)院校專科學(xué)生升入本科院校時(shí)，所參加的選撥考試。通過專升本考試能夠使大學(xué)專科層次學(xué)生進(jìn)入本科層次階段學(xué)習(xí)。袁嬌嬌[1]在對高職院校“專升本”學(xué)歷教育的幾點(diǎn)思考中提出，高職院校實(shí)行“專升本”教育能夠促使教育體系更加完善，能夠更好地滿足社會(huì)的需求，同時(shí)可以緩解高職院校人才的就業(yè)壓力。其實(shí)，施行“專升本”也是部分學(xué)生實(shí)現(xiàn)自身學(xué)歷提升的一個(gè)途徑，能夠使那些在高考中失利的學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)自己的本科夢。

在對歷年專升本考試中出現(xiàn)的微分中值定理證明題分析和對學(xué)生調(diào)查后可知，微分中值定理證明題的重點(diǎn)和難點(diǎn)是輔助函數(shù)的構(gòu)造。因此，該文對此進(jìn)行研究并分別總結(jié)出相應(yīng)題型的解法，以期為考生的備考起到積極的作用。

1 微分中值定理在抽象函數(shù)證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造

1.1 原函數(shù)法（積分法）

方法內(nèi)容：從結(jié)論出發(fā)，利用導(dǎo)數(shù)（微分）與積分之間的互逆運(yùn)算關(guān)系，將結(jié)論一端變?yōu)?，找出另一端的原函數(shù)即為所要構(gòu)造的輔助函數(shù)，再利用該輔助函數(shù)來證明結(jié)論。

方法原理：對于拉格朗日中值定理的結(jié)論，從函數(shù)觀點(diǎn)來看，為方程的根.在該方程兩邊同時(shí)求不定積分得（其中C為積分常數(shù)，下面如無特別說明則與此相同）。

構(gòu)造步驟：三步法。

第一步：換元。首先把結(jié)論等式中的換成x，構(gòu)造出微分方程；

第二步：變形。利用恒等變形把結(jié)論的形式化為易積分的形式；

第三步：移項(xiàng)。將上述形式進(jìn)行積分后把積分常數(shù)C放在等式一邊， 那么另一邊就是所作的輔助函數(shù)。

例1：2010年河南專升本高等數(shù)學(xué)第52題。

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且。證明，在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立。

分析：此題的結(jié)論為明顯的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題，因此可以用上述方法解決。這里首先把結(jié)論等式中的換成x，構(gòu)造出微分方程，兩邊直接同時(shí)積分得到，移項(xiàng)得，從而可構(gòu)造函數(shù)。

證明：構(gòu)造函數(shù)，因在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，所以函數(shù)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且。

于是在[0，1]上滿足羅爾中值定理的條件，故在開區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。將代入上式，得，于是。

1.2 常數(shù)K值法

方法原理：表達(dá)式的形式具有對稱性，從而利用對稱性構(gòu)造輔助函數(shù)。

構(gòu)造步驟。

第一步：分離常數(shù)，把常數(shù)部分記為K。

第二步：恒等變形，把兩個(gè)變量的表達(dá)式分別放在等式兩端。

第三步：找對稱，看關(guān)于各個(gè)變量的表達(dá)式是否為對稱式，如果是，那么把其中一端的自變量改為x，相應(yīng)的函數(shù)值同時(shí)改為f （x），變換后即為所求的輔助函數(shù)F（x）。

例2：（西華大學(xué)2013）設(shè)≥e，求證：。

分析：。

證明：設(shè)，則f（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此有，因，故，即證。

1.3 指數(shù)因子法

方法原理：指數(shù)函數(shù)具有的可導(dǎo)不變性及非負(fù)性。即的各階導(dǎo)數(shù)仍然是， 并且恒大于零， 我們可以利用指數(shù)函數(shù)的這種良好性質(zhì)構(gòu)造型輔助函數(shù)[6]。

例3：2013年四川理工學(xué)院第19題。

設(shè)與在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使 0。

證明：構(gòu)造函數(shù)，在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，還滿足。于是由羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)，使得，即有。

2 微分中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

專升本考試中，不等式的證明也是常考題型之一。如河南的2005年、2011年、2012年、2014年的考試題中，四川理工學(xué)院2015年、西華大學(xué)2010年、2012年、2015年的考試題中均有涉及.盡管不等式的證明可以用單調(diào)性、最值等方法，但是運(yùn)用中值定理證明的方法更加普遍。

用微分中值定理證明不等式時(shí)，通常也要構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)。此處輔助函數(shù)的構(gòu)造往往從結(jié)論出發(fā)，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為中值定理結(jié)論的形式，從而得出相應(yīng)的輔助函數(shù)形式。下面以河南專升本2014年的考題為例進(jìn)行講解。

例4：2014河南專升本第53題。

設(shè)，證明：

分析： 。

證明：令f（x）=ln2x，則f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，即。又e

3 結(jié)語

在各省或者各個(gè)學(xué)校在專升本中《高等數(shù)學(xué)》考試中，盡管它們在題目設(shè)置上有所不同，但是，作為高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，微分中值定理在這些試卷上占據(jù)著重要的地位。因此，分析它在考試中的常考題型及解法無論對考生還是對輔導(dǎo)專升本學(xué)生的教師都是非常必要的。

由于微分中值定理中輔助函數(shù)的構(gòu)造有很大的靈活性和技巧性，因此應(yīng)具體問題具體分析，根據(jù)已知條件和所證結(jié)論中蘊(yùn)涵的信息，大膽地運(yùn)用歸納、猜想、分析與化歸等數(shù)學(xué)思想，從而選擇合適的輔助函數(shù)使問題得以解決。

參考文獻(xiàn)

[1] 袁嬌嬌.對高職院校 “專升本”學(xué)歷教育的幾點(diǎn)思考[J].教師，2014（2）：29.

[2] 林美容.淺談專升本《高等數(shù)學(xué)》課的輔導(dǎo)[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，25（6）：107-109.

[3] 趙麗.應(yīng)用型高校學(xué)生數(shù)學(xué)專升本成績的提升策略[J].安順學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，17（1）：116-117.