基于Pareto優化理論的多目標超橢梯度線圈設計?

潘輝王亮 王強龍 陳利民賈峰 劉震宇?

1)(中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,長春 130033)2)(中國科學院大學,北京 100039)3)(德國弗萊堡大學醫學院醫學中心放射學系醫學物理科,弗萊堡 79110)

基于Pareto優化理論的多目標超橢梯度線圈設計?

潘輝1)2)王亮1)王強龍1)陳利民1)2)賈峰3)劉震宇1)?

1)(中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,長春 130033)2)(中國科學院大學,北京 100039)3)(德國弗萊堡大學醫學院醫學中心放射學系醫學物理科,弗萊堡 79110)

(2016年12月21日收到;2017年2月6日收到修改稿)

磁共振系統梯度線圈設計是一個多目標優化問題,在設計時需要綜合考慮能耗、磁場能、線性度等設計要求.這些設計要求通常難以同時獲得極小解,因此在設計梯度線圈時需要權衡線圈的各方面的設計需求.本文基于柱面可展性和流函數設計方法,結合Pareto優化方法實現了在超橢圓柱設計表面上梯度線圈的多目標設計.分別分析了磁場能、能耗目標對梯度線圈線性度、線圈構型的影響;并在Pareto解空間中分析各目標的相互變化關系,通過數值算例驗證了該方法在超橢梯度線圈設計時的有效性與靈活性.優化結果顯示,在滿足線性度誤差小于5%,能耗與磁場能分別小于用戶設定值的設計約束下,梯度線圈的多目標設計存在多個局部優化解.該方法可以直觀地比較相同目標函數值的情況下各單目標的具體表現,有利于實現不同的設計要求下梯度線圈的最終定型設計.

梯度線圈,流函數,超橢圓柱面,Pareto優化

1 引 言

磁共振成像作為一種非介入式影像技術,能夠反映物體內部的層次結構.在過去的幾十年,磁共振成像已經成為醫療診斷、生物研究、材料研究等領域的重要途徑之一.磁共振成像是利用預先定義的可控磁場(如線性梯度磁場)來編碼信號的空間位置信息［1].因此磁場的線性度、均勻度、強度將直接影響設備成像的效果.梯度磁場由線圈產生,通常布置在圓柱表面上,但為了更好地滿足醫療需求,本文采用在超橢圓柱表面上設計梯度線圈的方法,以期減少被檢測者的幽閉恐懼癥［2].

現有梯度線圈的主要研究方法有目標場法和流函數法.目標場法在1986年由Tuner首先提出,結合Fourier變換求解電流密度［3,4].在此基礎上,該方法被應用到雙平面、圓柱面等設計表面;文獻[5—9]進一步發展了圓柱面等簡單規則設計曲面的目標場法.流函數法［10?13]是基于有限元離散求解的思想,更適應于復雜曲面的梯度線圈設計.現有的算法實現方式主要有直接法、鏡像法和有限元法［14];王秋良課題組［15,16]在此基礎上進一步實現了算法的改進與快速計算.近二十幾年的發展中,梯度線圈的設計研究在磁場線性度、均勻性方面有了很大的進展［17,18],但成像響應時間、能耗、振動與噪音等性能指標仍需要進一步優化,從而提高儀器的效率.響應時間與電感直接相關,降低線圈總電感值不僅可以減少能耗,還可以減小磁場的渦流效應.本文利用流函數法以梯度線圈的電感值、能耗等為優化目標進行設計研究,從而減小線圈響應時間,降低能耗.

為了提供更好的性能和患者使用時的舒適度,理想的線圈同時具有最小的磁場能、最高的電磁轉化率、最小的電阻、較好的磁場線性度、較短的響應時間以及較低的由洛倫茲力引起的噪音等性能.然而,該問題并不存在一個同時使所有目標性能最優的解,而是可能存在一系列權衡各性能的局部最優解.因此需要同時優化多個目標來獲取更好的綜合性能.另一方面,梯度線圈設計問題屬于多目標問題［17?25],以單個磁場線性度為目標來求解具有不存在惟一解、線型振蕩等問題.之前的研究中,為避免這類問題采用Tikhonov正則化方法構建目標函數［2],但該方法并無對應的實際物理意義.本文結合Pareto優化理論［23]對磁共振系統梯度線圈的線性度、能耗、磁場能等多目標進行優化分析.

2 理論方法

目前,磁共振梯度線圈的設計方法主要可分為目標場法和流函數法.相對于目標場法,流函數法具有更加靈活、適應復雜設計曲面的優勢.本文采用流函數法進行分析計算.梯度線圈設計是一個多目標優化問題,需綜合考慮磁場的線性度、磁場能、線圈的能耗等因素.

2.1流函數法

流函數法相對于目標場法將電流密度的矢量求解轉化為流函數ψ的標量求解,簡化了求解過程,更適應于超橢等復雜曲面的線圈設計.故本文采用流函數法在超橢圓柱設計表面(圖1)上進行線圈的優化設計,電流密度J可表示為

其中,ne= (nex,ney,0)是超橢設計表面［2](x/a)2/m+(y/b)2/n=1的單位外法向量;nex,ney分別是單位外法向量ne的x,y方向分量;a,b分別是超橢圓的長短半軸的半軸長;m,n∈(0,1].

圖1 超橢設計表面與ROI及設計表面的展開面Fig.1.Current-carrying surface Γcoil,ROI,and the developed design surface.

根據Biot-Savart定律,目標區域(region of interest,ROI)內第i點的磁場強度z方向分量可表示為

其中,

Zu,Zl分別是超橢圓柱面Z軸向的上下邊界;(ri,θi,zi)是ROI的場點坐標,(θ,z)是超橢設計表面展開坐標.

利用有限單元法分片逼近的思想［2],超橢圓柱面展開平面上的流函數ψ可表示為

其中φj為各節點值,Nj為插值函數,v是設計表面Γcoil上各節點的自由度總和.

2.2梯度線圈設計目標和約束

本文中根據梯度線圈的性能的重要性以及病人的舒適度,在超橢圓柱設計表面上對梯度線圈的線性度、能耗和磁場能進行了多目標優化.

2.2.1 磁場強度與線性度

磁共振系統成像的原理在于利用線性的梯度磁場Gx,Gy,Gz來區分不同空間位置的磁共振信號,實現空間定位［1].梯度線圈產生的磁場分布逼近目標梯度磁場分布是實現其定位功能的基本要求.因此,在已有的梯度線圈優化模型中,都將ROI內真實磁場強度z分量的真實值Bz與理想值的偏離值和作為優化的主要設計目標,可表達為

磁場線性度在工程中是衡量線圈成像質量的一個重要參數.梯度磁場的線性度將直接影響到成像的質量,線性度越高,空間定位越精確,獲得的圖像質量就越好.磁場線性度可用最大線性誤差gΔBz來衡量:

2.2.2 梯度線圈能耗

梯度磁場需由梯度線圈通過電流驅動產生,在此過程中會由于線圈的電阻產生大量的熱量,造成設備過熱、能源消耗過多等.因此在設計優化中,將考慮由于線圈電阻產生的能耗,從而提高線圈的電磁轉換率.在實際計算中,線圈的能耗可表示為

其中,σ為電導率,t是導電層厚度.

根據能耗fP與電阻R、電流I的關系,可以求出表征線圈性能的重要參數之一線圈的電阻R.

其中I線圈電流,計算中一般取I=(ψmax?ψmin)/N,ψmax和ψmin分別是流函數的最大值和最小值［11],N是線圈圈數.

2.2.3 梯度線圈磁場能

在磁共振設備工作時,需頻繁切換線圈的電流來達到成像定位的作用.因此線圈的電感將直接影響到設備的響應速度與成像時間.而磁場能的大小反映了線圈的電感值,優化磁場能將等效于優化線圈電感［4,19].

磁場能與電感的關系表達式:

在該問題中磁場能可由(9)式求得

其中,A是磁位移矢量.由于在非設計區域J=0,所以磁場能可寫成

2.3多目標優化

2.3.1 Pareto多目標優化

實際工程問題的優化大多基于多約束條件下的多目標優化問題.對于某些等式或不等式約束條件,可轉化為輔助優化目標.要得到滿足各要求的優化解,需對各個目標、約束進行權衡并建立適于求解的多目標函數形式［26?28].多目標的一般函數形式為

(11)式中Fk(x)為第k個子目標函數,gj(x)為第j個不等式約束,hl(x)為第l個等式約束.Pareto優化［23]是指有且僅有x?∈X 使得對于x∈X有F(x)≤ F(x?),并且至少存在一個目標函數有Fi(x)≤ Fi(x?),則點x?為Pareto優化. 當有且僅有x?∈X對于x∈X不再存在x使得有F(x) ≤ F(x?),則點x?為弱Pareto優化. 若有Fo∈ Zk,如果對于每一個i=1,2,...,k,都存在則x為理想點.

多目標優化有一些用來判斷評定優化方法最終效果的概念,最常用的兩種概念是多目標優化必要條件和充分條件.如果一個多目標優化形式提供一個必要條件,對于一個Pareto優化點,則必為此多目標優化形式的解.對于提供必要條件的多目標優化形式,可通過調整參數來獲得所有的Pareto優化點,如果一個多目標優化形式提供一個充分條件,則其解為Pareto優化,但是一個確定的Pareto優化點可能無法獲取.

2.3.2 梯度線圈的多目標優化

梯度線圈的優化需要綜合考慮上述線性度、能耗、磁場能等目標及約束［13],可表達為

多目標處理方法主要有:全局加權準則法、加權和法、字典式法、加權最小最大法、指數加權法和加權積法等.為了更好地分析各個目標參數,本文采用加權和與歸一化相結合的多目標處理方法［24,25],其表達形式為

ωB,ωP,ωE分別是目標函數fB,fP,fE的對應權重系數.

2.3.3 敏度分析

在優化過程中,需要計算函數的敏度:

根據(2)和(4)式可求出線性度函數fB的敏度:

其中p是ROI離散點的總數.根據(6)式,能耗目標函數的流函數表達形式可寫成

對其求敏度

根據(10)式可推出磁場能目標可表示為

對于加權目標f(φ),其敏度可由(14)式計算.

3 算 例

本文以y方向梯度線圈設計為例在超橢圓柱設計表面進行多目標梯度線圈設計.設定ROI磁場強度梯度的目標值

3.1結合磁場能的優化

本小節只討論磁場能與磁場線性度,故能耗的權重系數ωP取為0,目標函數可表達為

其中ωB+ωE=1.

為方便比較,計算中以優化后的線圈Coil0為參照進行對比,其中Coil0是磁場能權重系數ωE=4.8×10?4時的計算結果,參數如表1所列.

由圖2(b)可知在Coil0處有

表1 梯度線圈Coil0參數Table 1.Parameters of the gradient coil,Coil0.

如圖2所示,增加磁場能目標的權重值能夠有效降低磁場能,但隨著磁場能權重系數的增加將導致線性度目標fB的增加,降低了線性度.由(21)式可知在Coil0處磁場能降低1%將導致磁場線性度損失10.11%;然而磁場能與電感呈線性關系,增加磁場能將導致電感增加,進一步會增加磁共振系統的響應時間.因此,在設計中需綜合考慮各因素,針對設計需求進行優化設計.

磁場能目標除了能夠優化磁場能的大小外,還可以用來優化線圈的設計尺寸.增加ROI的體積將導致磁場能增加.在ROI尺寸不變時,合理地降低線圈分布表面尺寸,將提高磁共振系統的空間利用率,提高磁共振系統的工作效率.在本文中,利用優化磁場能來得到合理的線圈分布表面尺寸.

如圖3所示,隨著線圈分布表面高度h的增加,線性度與磁場能均減小,在h增加到180 mm時,磁場能與場強線性度趨于平緩;當h增大至400 mm時增加高度會導致磁場能變大而線性度變好.對比圖4中在不同高度、相同權重系數下的線圈線型,可以發現降低h會存在線型振蕩,線圈局部密集的現象;而h增大至270 mm后繼續增加h值獲得的梯度線圈線型的高度相同.因此,在后續的計算中,本文都采用h=270 mm設計分析.通過以上分析可以發現結合磁場能目標與線圈的線型可以更好地選取滿足設計要求的線圈尺寸參數.

3.2結合能耗的優化

本小節將討論線圈能耗與磁場線性度對線型的影響,磁場能的權重系數ωE取為0,目標函數可表達為

其中ωB+ωP=1.

圖2 (a)歸一化fB-fE的Pareto曲線及其(b)對應的偏微分曲線Fig.2.(a)Pareto curve in the normalized fB-fEand(b)corresponding partial di ff erential curve.

圖3 設計表面高度h與(a)梯度線圈線性度、(b)磁場能線圈的關系(計算時取ωE=4.8×10?4)Fig.3.The relationship of the height of current-carrying surface to(a)normalized objection fB/fB0and(b)normalized objection fE/fE0(weight parameter:ωE=4.8×10?4).

圖4 (a)—(e)h=150,200,270,300和350 mm時的四分之一線型Fig.4.Quadrant of wire paths of gradient coils corresponding to(a)h=150 mm,(b)h=200 mm,(c)h=270 mm,(d)h=300 mm,(e)h=350 mm.

線圈的能耗主要受線圈的長度與電流的大小影響,優化能耗函數,其實質是對線圈線長的約束,使線型規整,減少線型振蕩的產生.為方便比較能耗目標對梯度線圈設計的影響,該部分的設計表面都設定為a=45 mm,b=36 mm,h=270 mm.

如圖5所示,通過增加能耗目標權重系數可以有效減小梯度線圈的能耗.根據實際對線性度與能耗需求可以選取合適的權重系數,使梯度磁場的線性度控制在合理的范圍內.對比圖中A,B位置的參數與線型如表2和圖6所示,發現增大能耗的權重系數,可以減小線圈電流,同時使線圈更光滑.

圖5 磁場線性度與線圈能耗目標值和權重系數的關系Fig.5.The relationship of the weight parameter for power dissipated ωPto objective value for power dissipated fPand objective value for linear gradient deviation fB.

3.3結合能耗、磁場能的多目標優化

在實際應用中,梯度線圈的設計是需要綜合考慮多個性能參數的多目標優化問題.本節將討論綜合磁場能、能耗、線性度目標設計梯度線圈,目標函數表達形式為(13)式.

表2 圖5中A,B位置梯度線圈的性能參數Table 2.Parameters of gradient coils of coil solutions noted as A,B in Fig.5.

圖6 (網刊彩色)(a),(b)分別對于圖5中A,B位置的線型;(c),(d)是(a),(b)對應的局部線型Fig.6.(color online)(a)Wire paths and stream function of coil solutions noted as A in Fig.5,and(c)part of wire paths corresponding to(a);(b)wire paths and stream function of coil solutions noted as B in Fig.5,and(d)part of wire paths corresponding to(b).

圖7 (網刊彩色)Pareto解空間(滿足gΔBz≤ 5%,fE≤ 1.25×10?4,fP≤ 0.105),其中(a),(b),(c)分別是對應fP,fE,fB的值Fig.7.(color online)Pareto front solution of multiple objectives optimization problem de fi ned by the objectives fB,fE,fP,and constrained to gΔBz≤ 5%,fE≤ 1.25×10?4,fP≤ 0.105:(a)corresponding to fP,(b)corresponding to fE,(c)corresponding to fB.

表3 圖7(c)中C,D,E位置Pareto優化解對應梯度線圈的參數Table 3.Parameters of gradient coils of Pareto front solutions noted as C,D,E in Fig.7(c).

圖8 (網刊彩色)圖7中C,D,E位置線型比較(黑色虛線是D點的線型,藍色是E點的線型,紅色是C點的線型)Fig.8.(color online)Quadrant of wire paths of gradient coils of Pareto front solutions noted as C,D,E inFig.7(c):(a)coil solutions noted as C(in red solid line),coil solutions noted as D(in black dotted line),(b)coil solutions noted as D(in black dotted line),coil solutions noted as E(in blue solid line).

圖7中三角形區域是滿足gΔBz≤5%,fP≤1.25×10?4,fE≤ 0.105的Pareto解空間.通過比較圖7(a)—(c)的變化趨勢,根據實際需求可以直觀地得到可行解.表3為圖7(c)中C,D,E位置Pareto優化解對應梯度線圈的參數.比較圖8中的線型可以發現增加能耗或磁場能的權重將會有效抑制線圈的局部振蕩.

4 結 論

梯度線圈的設計是一個多目標優化問題,需要權衡各性能指標,如能耗、磁場能、線性度等.在形狀設計時也需要考慮磁場能等目標來達到最佳線圈尺寸,從而提高磁共振系統的空間利用率和工作效率.在實際設計過程中,針對不同的應用需求,需要性能不同的線圈.本文嘗試利用多目標優化方法實現超橢圓柱設計表面梯度線圈的設計問題.通過計算表明該方法可以直觀地反映多個性能參數的關系,從而在設計過程中根據需求更好地權衡各個參數.從多目標優化設計模型的角度考慮,文中采用的算法可以擴展到多于四個合理目標的線性組合.但是局部最優解的存在與否強烈依賴于各個單目標約束值的選取.如果約束選取的過緊,非常有可能發生可行解不存在的情況.因此,Pareto算法僅僅給出了一個尋找多目標(尤其是多目標之間有沖突的情況下)優化解的一個尋優策略,局部最優解的最終確定還是強烈依賴于設計人員對于各單個目標特性了解的基礎上對優化參數的調整.文中通過優化磁場能目標實現了線圈設計表面尺寸的優化,再通過對比能耗、磁場能、線性度目標的變化趨勢來設計出滿足需求的梯度線圈.其他目標如振動、主動屏蔽等將在后續研究中進一步探討.

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PACS:83.85.Fg,02.60.Cb,87.55.de,45.10.DbDOI:10.7498/aps.66.098301

Design of super-elliptical gradient coils based on multiple objective Pareto optimization method?

Pan Hui1)2)Wang Liang1)Wang Qiang-Long1)Chen Li-Min1)2)Jia Feng3)Liu Zhen-Yu1)?

1)(Changchun Institute of Optics,Fine Mechanics and Physics,Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033,China)2)(University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100039,China)3)(Department of Radiology,Medical Physics,Medical Center University of Freiburg,Faculty of Medicine,University of Freiburg,Freiburg 79110,Germany)

21 December 2016;revised manuscript

6 February 2017)

The design of gradient coils for a magnetic resonance imaging(MRI)system is a multiple objective optimization problem,which usually needs to deal with a couple of con fl icting design objectives,such as the stored magnetic energy,power consumption,and target linear gradient distribution.These design requirements usually con fl ict with each other,and there is no unique optimal solution which is capable of minimizing all objectives simultaneously.Therefore,the design of gradient coils needs to be optimized reasonably with the tradeo ffamong di ff erent design objectives.Based on the developable property of the super-elliptical cylindrical surface and the stream function design method,the multiple objective optimization problem is analyzed by using the Pareto optimization method in this paper.The e ff ect of proposed approach is illustrated by using the stream function method and three aforementioned coil design objectives are analyzed.The in fl uences of the stored magnetic energy and power consumption target on linearity of gradient coil and the con fi guration of coils are analyzed respectively.The suitable sizes of gradient coils are discussed by analyzing the change of the stored magnetic energy.A weighted sum method is employed to produce the optimal Pareto solutions,in which the multiple objective problem reduces into a single objective function through a weighted sum of all objectives.The quantitative relationship of each design requirement is analyzed in the Pareto solution space,where Pareto optimal solutions can be intuitively found by dealing efficiently with the tradeo ffamong di ff erent coil properties.Numerical examples of super-elliptical gradient coil solutions are provided to demonstrate the e ff ectiveness and versatility of the proposed method to design super-elliptical gradient coils with di ff erent coil requirements.The optimization results show that there are multiple available solutions in the convex Pareto solution space under the constraints that the linear gradient deviation is less than 5%and the magnetic stored energy and power dissipated are both no more than user-preset values.In the case that the values of summed objective functions are the same,the proposed method can intuitively see the performance of each individual target,thereby conducting to realizing the fi nal design of gradient coils under the di ff erent design requirements.With the proposed approach,coil designers can have a reasonable overview of gradient coil design about the achievable performances of some speci fi c properties and the competing or compatible relationships among coils properties.Therefore,a suitable design of the gradient coils for a given requirement of MRI application can be chosen reasonably.

gradient coils,stream function,super-elliptical cylindrical surface,Pareto optimization

10.7498/aps.66.098301

?國家自然科學基金(批準號:51675506,51275504)、吉林省科技發展計劃(批準號:20140519007JH)和歐洲研究理事會ERC啟動基金RANGEmri 282345項目資助的課題.

?通信作者.E-mail:liuzy@ciomp.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.51675506,51275504),the Science and Technology Development Plan of Jilin Province,China(Grant No.20140519007JH),and an European Research Council Starting Grant ‘RANGEmri’(Grant Agreement 282345).

?Corresponding author.E-mail:liuzy@ciomp.ac.cn