對數學逆向思維的再認識

傅海倫++張佩雯++徐小惠

摘 要數學逆向思維是一種高水平的思維活動，是數學思維方法的高級體現，注重培養學生的數學逆向思維對提高學生的思維能力、提升其數學素養具有極其重要的作用。本文在對數學逆向思維研究的重要文獻進行分析和總結的基礎上，對教學逆向思維的特點、教育價值等提出了再認識，也對當前數學逆向思維研究中所存在的問題和不足進行了總結，并提出建議。

逆向思維 數學教學 教育價值 再認識

思維方式在教育研究中起著至關重要的作用，對教育研究的視角、過程及結果有著非常大的影響。逆向思維是發散思維的一種，在思維的指向性上不同于正向思維，但其效果卻往往是出乎意料的，在處理一些特殊問題時，逆向思維的使用能夠較好地完成對問題的處理。逆向思維并不是數學所獨有的，在不同的學科學習中均可以根據具體情況運用逆向思維，逆向思維有著一般的共性，但在不同學科中又有其獨特性。數學逆向思維是逆向思維在數學學科中的具體運用，是逆向思維在數學研究和學習活動中的具體體現，是一種具有重要數學思維品質特征的數學思維形式。

一、正確認識數學逆向思維及其價值

1.準確把握數學逆向思維的內涵

所謂思維，就是人腦對客觀事物的本質、相互關系及其內在規律性的概括與間接反映[1]。逆向思維是與正向思維相對的一種思維方式，這種思維方式往往從問題的反面著手，執果索因，從不同于常規的角度考慮問題，循序漸進地探求出問題的最優結果。而數學逆向思維則是指在數學學習活動中，學習者能夠打破常規，突破思維定勢，以不同于一般的方法甚至是相反的方向來思考數學問題，對數學表達、數學認識等進行反方向的、嚴密的分析和解釋的個性品質。

2.對數學逆向思維特點的再認識

第一，數學逆向思維具有靈活性的特點。數學逆向思維的運用，并不是有現成的公式或定理可以拿來直接使用的，而是需要根據具體情況對問題進行深入剖析后，或者是經過不斷的嘗試，當用常規的方法難以解決或解決過程較繁瑣時，我們換一個角度來考慮問題，從問題的反方向出發，對問題進行探究。考慮到數學自身的精確性等特點，逆向思維的靈活性也為數學學習注入了生機與活力，可以增加數學學習的趣味性，從而改變一些同學的“數學是枯燥的”這一錯誤認識。

第二，數學逆向思維具有互逆性的特點。從逆向思維的定義中，就可以看出這一特點，在運用逆向思維解決數學問題之后，再將問題結論代入到數學問題中，從正面再對問題進行分析，要求整個過程是解釋得通的。互逆性是數學逆向思維的基本特點，正是這一基本特點，數學逆向思維在運用起來才能夠充分地發揮其作用。

第三，數學逆向思維具有嚴密性的特點。這一特性充分體現出逆向思維在數學中的應用，這是數學學科這一具體“土壤”環境賦予逆向思維的一個特性。數學本身就具有嚴謹性、周密性等特點，那么，在探究數學問題時必須考慮全面，把每一種可能性都考慮到，在數學學習中運用逆向思維時同樣也要做到嚴謹周密。數學逆向思維的嚴密性與其靈活性并不矛盾，靈活性是從思維方法這一宏觀角度來定義的，而嚴密性則是從數學思維這一微觀角度來定義的。正是這種宏觀和微觀的碰撞，靈活性與嚴密性的結合，才能更好地發揮出逆向思維在數學學科中的教育價值。

3.對數學逆向思維教育價值的再認識

關于數學逆向思維的教育價值，現有的文章多是從逆向思維在數學概念、定理、公式等數學知識方面的應用并結合具體例題等進行分析的，而筆者認為逆向思維在數學學科中的價值可以從數學基礎知識、數學基本素質兩個維度來進行分析。

在數學基礎知識這一維度上，逆向思維的運用，可以幫助學生更加清晰地理解數學概念、更加熟練地運用數學公式、更好地掌握數學定理，有利于學生打下扎實的基礎。在數學基礎知識中，數學概念往往是從正向給出的，這種正向思維是學生早就接觸過并習以為常的思維方式，對于稍簡單的概念、定義等，學生接受起來比較容易，但在一些較難理解的概念中，學生理解起來就有一定難度，這就需要教師引導學生從其他角度對其進行解讀與思考，化難為易，幫助學生從本質上掌握所學知識。逆向思維在數學公式和定理中有著普遍的應用，尤其在證明題中，為考察學生對知識的掌握程度，題目條件并不會直接給出公式的正向表示方式，而往往會從公式、定理的反方向來呈現，那在這種情況下，逆向思維的運用對于解決問題便起到不可替代的作用。

在數學基本素質這一維度上，首先，數學逆向思維有利于豐富學生的思維方式，打開學生的數學學習思路，使得學生能夠學會從不同的角度、以不同的方法嘗試解決各種問題，同時便于學生發現問題，從而激發學生的求知欲和好奇心，激起其學習數學的熱情和學好數學的信心。其次，數學逆向思維能夠幫助學生掌握多種解題技巧，接觸新的解題方法，從而不斷增強其解題能力，帶動學生理解能力的提升，不斷增強其數學素養。最后，數學逆向思維的運用，能夠激發起學生的創造性思維，有利于幫助學生樹立創新意識，進而使得其創新能力得以提高。數學逆向思維的引入，從不同角度和層面上使得學生的各項能力得以提高和增強，而這些能力反過來又可以加深學生對數學逆向思維的理解。

二、當前數學逆向思維研究存在的主要問題

1.研究內容較為單一，主要停留在培養途徑層面上

當前對數學逆向思維的研究主要停留在其在數學中的解題應用上，并致力于探求培養學生逆向思維的途徑與方法，而相對忽視對數學逆向思維其他方面的研究。數學逆向思維的文章也大都是關于逆向思維在數學解題中的運用，基本上都是通過典型例題進行分析，而多數的例題又有其相近性，研讀起來往往會有似曾相識的感覺，因此，對數學逆向思維的研究急需新的立意、新的視角。數學逆向思維在多大程度上提高學生的數學成績、與其他數學思維之間存在怎樣的關系、影響其發揮作用的主要因素有哪些等都需要進一步系統性的研究。

當前對數學逆向思維的研究更加側重于結果性研究，包括逆向思維在數學概念、定義、公式和定理等方面的運用，這些都是對其帶來教育結果的研究，而對逆向思維是怎樣遷移到數學學科中的、怎樣更好地融合到數學思維中去等過程性問題和對數學逆向思維自身獨特的特點、內涵以及其構成因素等本質性問題的研究力度尚待加強。只有從本質上把數學逆向思維梳理清楚，把握其核心要素和本質內涵，理清其與數學、數學思維之間的關系，才能夠更好地把逆向思維融合到數學學科中，真正實現從宏觀和微觀上將其研究透徹，進而能夠更加充分地發揮其教育功能。

2.研究方法單一，實證性研究力度有待加強

對數學逆向思維的理論研究較多，而相關實證性研究力度尚淺。關于數學逆向思維在多大程度上提高學生成績、在多大程度上提高學習能力、在多大程度上提升學生的解題能力等問題缺少直觀的、有力度的證明材料。目前多數研究在涉及到具體層面的問題時，其說明力度還是有所欠缺的，關于數學逆向思維的實證性研究少之又少，從而迫切需要加強對其的定量研究。

數學逆向思維這一概念本身所占理論成分較多，但是當涉及到其在數學教學和數學學習活動中的具體運用時，其實踐層面上的成分就占據主要部分，對一些說服力度較強的事實性材料，研究相對較少，因此通過實證性研究對其進行更加深入和有針對性的探究就成為了研究數學逆向思維的必然趨勢。通過大量實證研究來對相關理論進行驗證和擴充，做到定性研究與定量研究相結合，實現對數學逆向思維多角度、多層面的研究，從而不斷完善對數學逆向思維的理解與認識。

3.研究尚未形成體系，缺乏系統性

無論是從研究方法、研究內容還是研究對象來看，對數學逆向思維的研究都還未形成穩定的系統，未上升到系統性的層面上，還僅是停留在感性層面上。我們研究一個問題，并不只是為了研究而研究，而是為了更好地把握其本質內涵，通過對其的深入研究能夠對我們的教育工作和學生的學習活動有所幫助，讓所進行的研究真正地發揮作用。

當前的相關研究，雖然帶著相對正確的研究目的出發，但研究內容多是數學逆向思維在數學解題中的應用，基本上都是通過對典型例題的分析來剖析其應用，而相對忽視對數學逆向思維自身因素構成、性質特點等內涵性問題的探討，只有對問題本身研究透徹，才能夠高效地將其運用到數學教學中去，讓老師和學生均有所受益。為更好地將數學逆向思維研究透徹，后續的相關研究應該致力于把對其的研究形成一定的體系，從宏觀和微觀兩個維度加強對其的研究力度，力求形成完善的研究體系，真正地發揮研究的價值。

三、反思與建議

1.對數學逆向思維展開多維度的研究，增強其系統性

我們應該對數學逆向思維展開多維度的研究，而不是僅僅停留在感性層面，僅僅探究其在數學中的運用，應該從更深層次上對數學逆向思維進行剖析、探究。關于數學逆向思維，我們可以從其與數學思維的關系、與學生數學成績的關系、與數學知識體系的關系和其本身所具有的特點、本質等維度出發，深入探究，將數學逆向思維的外延不斷進行擴充。既要理清數學逆向思維內涵，又要明確其外延，增強對其研究的整體性和系統性，改變當前研究內容單一的現狀，讓關于數學逆向思維的研究豐富起來，充實研究內容，形成穩定的研究體系，真正地讓我們所進行的研究發揮其價值，能夠對教師的教和學生的學有所幫助。

2.進一步加大對數學逆向思維的實證性研究力度

當前對數學逆向思維所進行的研究中，多數都是理論層面的定性研究，而定量研究少之又少，缺乏有說服力的實證性研究。數學逆向思維在多大程度上提高學生的解題能力和數學成績、在多大程度上幫助學生接受數學知識、與其他數學思維之間的關系等問題尚未有明確的研究結果。只有明確類似問題，才能夠抓住關鍵，從而找到培養學生數學逆向思維的途徑和方法，進而培養學生的數學思維能力，提升其數學素養，從根本上實現數學逆向思維的教育價值，也能夠使得我們所進行的研究有意義、有價值。在后續的研究中，有質量的實證性研究是不可或缺的，在對數學逆向思維進行定性研究的同時，還要注重定量研究的實施，增強實證研究的力度，從而使得關于數學逆向思維的研究更有說服力，研究結果更具有可運用性。

參考文獻

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【責任編輯 郭振玲】