偏振雙向衰減對光學成像系統像質影響的矢量平面波譜理論分析?

張敏睿 賀正權 汪韜 田進壽

1)(中國科學院西安光學精密機械研究所,西安710119)2)(中國科學院大學,北京100049)

偏振雙向衰減對光學成像系統像質影響的矢量平面波譜理論分析?

張敏睿1)2)?賀正權1)汪韜1)田進壽1)

1)(中國科學院西安光學精密機械研究所,西安710119)2)(中國科學院大學,北京100049)

(2016年10月12日收到;2017年1月18日收到修改稿)

偏振雙向衰減(diattenuation)是指偏振元件引入的光場傳播過程中表征電矢量的兩個正交偏振態的振幅變化特性.在大部分有關偏振像差的討論中,聚焦光場偏振態的振幅變化對其分布的影響較小而不被重視.但在一些大相對孔徑光學系統中,對于分束器、光調制器等有復雜平面介質結構的低透過率光學元件而言,引入的偏振相關的振幅調制相對大得多.本文依據矢量平面波譜理論,建立了笛卡爾坐標系下的理想光學成像系統的矢量光學模型,驗證了與德拜矢量衍射積分的一致性.在線偏振光入射的條件下,對在匯聚光路中使用的光學元件的偏振雙向衰減特性對成像質量的影響進行理論研究.結果表明,在調制傳遞函數的低頻率處(v<0.2N A/λ),這種影響是可以忽略的;隨著空間頻率的增加,光學元件的偏振雙向衰減特性對成像系統調制傳遞函數的影響逐漸變大.若要求調制傳遞函數的數值不低于衍射極限的90%,中頻處(0.2N A/λ0.8N A/λ時,則需要控制在[0.9,1.11]的范圍內.隨著光學系統光軸與光學分界面法向的傾角增加,容差范圍有所放寬.

矢量光學,偏振像差,調制傳遞函數

1 引言

理想光學成像系統的焦平面光場分布由標量衍射理論決定,對于波前像差和切趾函數的描述和優化是目前光學成像系統設計的主要工作之一,像質評價的方式主要是瑞利判斷、斯托列爾準則、調制傳遞函數等[1].但是,隨著大數值孔徑光刻、顯微技術等新興學科的發展,光學系統數值孔徑的增大和矢量光束的入射導致出瞳處的電場分布不再近似為單一方向,需要用完整的矢量形式才能準確描述[2?5];其次,考慮到聚焦光場的矢量特性,原來標量像差理論也并不能嚴格描述矢量傳輸過程中各分量變化對聚焦光場的影響.這種由光學元件偏振特性導致的聚焦特性變化一般稱之為偏振像差[6,7].由于平面波在光學分界面處的連續條件隨角度變化趨勢不一致,在諸如大數值孔徑光刻系統中,邊緣光線的入射角往往較大,偏振像差的存在對其聚焦和成像特性有非常大的影響.

目前,偏振像差的研究主要致力于大數值孔徑光刻系統透鏡組和膜系的優化設計,為了準確描述瓊斯光瞳各分量振幅和相位的相互關系,所需的正交基函數和系數一般數倍于標量波像差的形式[8?11].但是,聚焦光場的振幅變化往往不具備諸如離焦、像散、慧差等用于描述波前扭曲的典型物理意義,且在光刻成像中圖形位置偏移和最佳焦面偏移等誤差主要受偏振態的相位延遲(retardance)的影響[10,11].因此,針對偏振像差中振幅相關的光學元件雙向衰減特性對成像系統影響的研究工作相對較少.李旸暉等[12]計算了Debye矢量模型下特定光學增透膜所引入偏振像差對大數值孔徑光學系統聚焦特性的影響,認為增透膜所引入的s光和p光相位項差異比振幅項差異對聚焦光斑中心能量的影響稍大,但此時光學系統聚焦光斑的半高全寬變化僅1%左右.

對于高透過率光學元件而言,光場電矢量在傳播過程中振幅衰減的數值較小,而雙向衰減特性對成像系統像質的影響一般也可以忽略.但是,在諸如有分光結構的大相對孔徑分幅成像等光學系統中,分束器等低透過率光學元件均會引入相對較大的偏振相關的振幅調制.尤其,近年來為克服電真空器件體積功耗噪聲大、量子效率低的缺點,一系列用于激光雷達、空間光通信、高速成像的全固態光調制器被研制[13?15].這些器件普遍具備多達百層以上平面介質結構、電極化相關的吸收特性[16]且耦合于大相對孔徑光學天線出瞳與焦平面之間對回波光信號進行直接調制.在嚴格觀測目標光學時間變化特性的需求下,要求整個光調制范圍內像質不能有顯著變化,如在激光雷達應用中則需進行正弦調制[14].

Debye矢量衍射積分將光學系統的聚焦場解近似為匯聚球面波波面上的平面波包的傳輸疊加,但積分中并不涉及精確的平面電磁場分布.因此,難以直接引入復雜的平面光學掩膜結構;且在遠離焦面處有復雜的相位因子項,逐點求解時計算量非常大.郭漢明等[17]推導了笛卡爾坐標系下的任意平面電磁場在傳輸過程可以精確分解為沿某一特定方向分解的TE和TM矢量平面波譜且波譜中各分量相對獨立.這種方法較Debye模型更有利于在矢量光學建模中引入偏振相關的平面介質和掩膜結構,且可以采用快速傅里葉算法提高計算速度.本文依據矢量平面波譜(vector plane wave spectrum,VPWS)理論[17,18],建立了笛卡爾坐標系下理想光學系統的矢量模型,驗證了VPWS模型與Debye矢量衍射積分的一致性;研究了平面光學元件的s光和p光反射/透過系數的變化對光學系統匯聚光場和調制傳遞函數(modulation transfer function,MTF)的影響,并給出了有關容差范圍,為相關偏振光學元件和光學系統的優化設計提供參考.

2 基本原理

2.1 數學模型

光學系統為無像差的理想系統如圖1所示,位于無窮遠處的物點在光學系統入瞳平面Σ0處輸入一束均勻分布的平面波,設電場矢量Ei=[cosθi,sinθi,0]T,則光學系統出瞳平面Σ2的電場分布E(x,y,0)可以表示為

其中,(x,y,z)為原點在光學系統出瞳平面Σ2中心的笛卡爾坐標系,光軸為沿z軸方向;??(x,y),T(x,y)分別為光學系統的相位變換因子[21]和電場分量的折變關系[2].由物像空間的正弦關系,Debye矢量衍射積分在出瞳球面波面Σ1上引入振幅分布顯然,當θ→0?時,AΣ1→1;且θ→90?時,Σ2:d S2?Σ1:d S1,設出瞳平面Σ2上的振幅分布函數AΣ2的表達式為

圖1 (網刊彩色)基于VPW S的成像系統矢量光學模型示意圖Fig.1.(color on line)ScheMe of vector op ticalModel of iMaging systeMbased on VPW S.

取n=[nx,ny,nz]T表示光學分界面的法向,則平面波波矢k=[kx,ky,kz]T,其電場Ek可以表示為

其中,nTE,nTM和kn=[knx,kny,knz]T分別為TE(s)分量(電場方向垂直于由n和k決定的平面)、TM(p)分量(磁場方向垂直于由n和k決定的平面)和k的單位矢量;為各分量對應的系數.

則距離z處的電場分布E′(x,y,z)可以表示為

當θi=0?(入射光電場方向Ei沿x軸)時,考慮沿光軸傳播的光線正入射光學分界面的情況,即n=[0,0,1]T為VPWS分解的參考方向.此時TE·[nTE]T和TM·[nTM]T的解析表達式與文獻[17,18]一致,本文不再贅述.令αTE=αTM=1,不同數值孔徑理想光學系統的MTF如圖2所示.當n=1.65時,(6)式—(8)式與Debye矢量衍射積分[2,4]的結論是嚴格一致的.

圖3(a)所示光學元件的反射率曲線為一種量子限制斯塔克效應(quantuMconfined stark effect,QCSE)電吸收光調制器[22,23],這類器件目前主要應用于小型激光雷達和反射調制(modulating retroreflector,MRR)自由空間激光通信系統,可以為光學天線所接收的信號光提供納秒級的調制速度.隨著量子阱區域的電場強度增加(I約為0 V/μm和II約為8 V/μm),s,p光的平均反射率由90%下降至10%;但是,兩個正交偏振態的反射率差異也隨之變大.當入射角為30?和45?時,s光與p光反射率之比分別為1.93:1和4.64:1(12.9%:6.7%和11.46%:2.47%).

圖2 (網刊彩色)不同數值孔徑光學系統的MTF曲線(Debye模型和VPW S模型)(a)NA=0.2;(b)NA=0.7;(c)N A=0.9Fig.2.(color on line)MTF curves(Debye Model and VPW S Model):(a)N A=0.2;(b)NA=0.7;(c)N A=0.9.

圖3 (網刊彩色)(a)不同電壓偏置下光調制器反射率隨入射角變化曲線(I約為0 V/μm,II約為8 V/μm),量子阱(100?/80?GaAs/A l0.32GaAs)折射率和消光系數的計算參考文獻[19,20],反射率曲線由TFCalc軟件計算;(b)MTF曲線(θi=0?);(c)MTF曲線(θi=90?)Fig.3.(color on line)(a)Refl ectance of EAMw ith d iff erent bias(I～0 V/μm,II～8 V/μm).The calcu lation of refractive index and ex tinction coeffi cient of quantuMwell(100?/80?,GaAs/A l0.32GaAs)refers to literatu re[19,20]and the refl ectance cu rves are derived by TFCalc;(b)MTF curves(θi=0?);(c)MTF curves(θi=90?).

考慮沿光軸傳播的光線斜入射光學分界面的情形,n=[0,sinθn,cosθn]T,θn為光學分界面法向n和光軸?z的傾角.根據(6)式—(8)式并引入圖3(a)所示s光和p光反射率曲線,取θn=30?,數值孔徑NA為0.5光學系統的調制傳遞函數如圖3(b)和圖3(c)所示.當平均反射率約為90%時,兩個正交偏振態之間存在微小的反射率差異對像質是沒有顯著影響的;然而隨著量子阱區域電場強度增加,光調制器平均反射率下降的同時,MTF數值產生了較大變化:在低頻處(vy=0.3N A/λ),如圖3(b),MTF下降了15%(由0.77下降至0.66);在高頻處(vy=1.2NA/λ),如圖3(c),MTF下降幅度達到45%(由0.22下降至0.13).顯然,偏振光學元件的雙向衰減特性會對光學系統的成像質量產生顯著影響.

2.2 偏振雙向衰減對成像系統像質的影響

為簡化推導和排除各分量切趾函數擾動對結論的影響,在以下討論中αTE(k)和αTM(k)均取為常數.令即引入平面介質結構的s光和p光反射/透過率之比.雖然,Dα并非一般所指的雙向衰減比(diattenuation)D[6,7],但Dα在以下有關光學系統像質的理論表述中相對更為直觀,兩者之間的關系可以被表示為|D|=|1?Dα|/|1+Dα|.

因此,光學傳遞函數(optical transfer function,OTF)可以表示為

OTFTE和OTFTM為和的光學傳遞函數,M為OTFTE和OTFTM的相關因子項.

根據(10)式—(12)式,MTF受Dα影響的程度主要由OTFTE?OTFTM和M在該頻段的權重以及βTE,βM的取值決定.當NA=0.174,θn=5?時,沿x(Ei方向),y方向的MTF,OTFTM,βTE(OTFTE?OTFTM),βMM曲線,如圖4所示.中頻處v∈[0.2NA/λ,1.2NA/λ],βMM?βTE(OTFTE?OTFTM);高頻處v∈[1.4N A/λ,2NA/λ],βMM的數值小于βTE(OTFTE?OTFTM)或與之相當.

根據標量光學理論,像點中心點亮度比(strehl ratio)與MTF曲線所圍總面積成正比[11].但在矢量光學中,這一點并不總是成立的.顯然,(9)式主要依賴αTE和αTM各自的取值,而(10)式則依賴兩者的比值.因此,本文主要以MTF曲線的歸一化面積MTF評價光學系統成像質量.

圖4 (網刊彩色)MTF和(10)式中各項的曲線Fig.4.(color on line)Curves of MTF and terMs in forMu la(10).

圖5 (網刊彩色)不同Dα取值下的MTF曲線Fig.5.(color on line)Curves of MTF w ith d iff erent Dα.

當N A=0.174/0.5,θn=5?/15?時,由(10)式和(13)式得到的MTF隨Dα變化曲線,如圖6所示.這表明θn/sin?1NA近似的情況下(θn/sin?1NA≈0.5),光學元件的偏振雙向衰減特性參數Dα的變化對像質影響的趨勢也近似一致;忽略(10)式中的相位項,并不顯著影響(13)式對于MTF討論的精度.若要求閾值根據(14)式和參數(如表1所列)可得,x方向上y方向上即當0.146

表1 圖4中MTF的有關參數(D E≈1.3)Tab le 1.Relevant paraMeters ofˉS MTF in Figu re 4(D E≈1.3).

表1 圖4中MTF的有關參數(D E≈1.3)Tab le 1.Relevant paraMeters ofˉS MTF in Figu re 4(D E≈1.3).

ˉS TMˉS MˉS TE-TMx 0.634 0.356 0.02 y 0.571 0.304 0.213

圖6 (網刊彩色)MTF隨Dα變化曲線.x1:x方向(N A=0.174,θn=5?);y1:y方向(N A=0.174,θn=5?);x2:x方向(N A=0.5,θn=15?);y2:y方向(N A=0.5,θn=15?)Fig.6.(color on line)Curves ofMTF changed w ith Dα.x1:x-section(NA=0.174,θn=5?);y1:y-section(N A=0.174,θn=5?);x2:x-section(N A=0.5,θn=15?);y2:y-section(N A=0.5,θn=15?).

3 計算與討論

如圖7所示,光學系統(NA=0.174)各空間頻率區間內,由光學分界面引入的s光和p光透過/反射系數之比的容許上下限0.9),沿x(Ei方向),y方向,隨光學分界面法向傾角θn變化的曲線.當v<0.2NA/λ時(圖7(a)),僅在x方向上且傾角θn較大(θn/sin?1N A>1)情況下,有約0.1的解,這意味著s光和p光的透過/反射率之比Dα小于0.01才會使MTF在這個區間內下降至衍射極限的90%以下,但這在實際應用中并不容易出現,因此可以認為v<0.2NA/λ時,Dα的變化對像質是沒有顯著影響的.

圖7隨θn變化曲線Fig.7.Cu rves of changed w ithθn.

圖7 (b)—圖7(d)為在空間頻率[0.2NA/λ,0.8NA/λ]內的上下限隨θn變化的曲線.在[0,1]方向上隨θn下降,但變化速度相對較慢;小角度入射的情況下(θn/sin?1NA<1),容差上限仍然存在正實數解;當大角度入射的情況下(θn/sin?1NA>1),在[1,+∞]方向上的變化對像質沒有顯著影響.容差范圍隨光學分界面傾角θn的增大逐漸放寬.如圖4,在這些區間內MTF的數值變化可以認為主要是βMM的貢獻,因此,的最小范圍一般可以表示為

圖7 隨θn變化曲線(續)Fig.7.Cu rves of changed w ithθn(continued).

圖7(e)—圖7(j)為空間頻率[0.8N A/λ,2N A/λ]的隨θn變化的曲線.與圖7(b)—圖7(d)的情況基本一致,隨著傾角θn變大,Dα的容差范圍逐漸變大;但在θn相同的情況下,區間相對更小.顯然,若要保證高頻處的MTF數值不低于閾值則在[0,1]和[1,+∞]兩個方向對Dα均需要有更嚴格的限制;當大角度入射的情況下(θn/sin?1NA>2—3),在[1,+∞]方向上的變化對像質沒有顯著影響.根據(11)式可知,βTE的變化速度遠大于βM,因此高頻處的的最小范圍一般可以近似表示為

4 結論

本文依據VPWS理論,建立笛卡爾坐標系下的矢量光學模型,驗證了VPWS模型與Debye模型在結論上的一致性.根據平面波譜在光學分界面的傳輸特性,將光學成像系統的MTF近似為TE分量、TM分量和相關項的線性組合,簡化了有關計算和討論.對光學元件的偏振雙向衰減特性對光學成像系統像質的影響進行了理論研究,為相關光學系統的優化設計提供參考.

研究結果表明,在θn/sin?1N A近似的情況下,可以認為s光與p光的反射率/透過率之比Dα對焦平面MTF影響的趨勢也基本一致.隨著光學分界面法向n和光軸傾角θn增加,容差范圍逐漸放寬.這表明對于平面波在光學分界面兩側的連續條件而言,減少沿特定波矢方向k上傳輸時所引入的正交偏振態差異應當盡量減小入射角;但是,對于光學成像系統聚焦光場的平面波譜而言,增加入射角可以減少TM(p)分量和TE(s)分量的相關性,同時各分量能量之間的比例關系DE也會隨之變化,從而達到減少光學系統聚焦特性受光學元件偏振特性影響的目的.而兩者間的權衡優化有賴于入射光波長、偏振態以及偏振元件和光學系統的具體設計方案.例如,在上文討論條件下使用偏振分束器,對于s光光路而言Dα一般趨于∞,如圖7所示,此時θn/sin?1NA數值應大于1—3,否則對光學系統MTF數值有不同程度的影響.

在低頻處(v<0.2NA/λ),這種影響是可以忽略的.隨著空間分辨率的增加,MTF隨變化的下降程度逐漸變大.根據(15)式和(16)式,如圖7所示,若要求MTF不低于衍射極限數值的則在中頻處(0.2NA/λ0.8N A/λ),則至少需要控制在區間[0.9,1.11]的范圍內.

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(Received 12 October 2016;revised Manuscrip t received 18 January 2017)

PACS:42.25.–p,42.15.Fr,42.30.Lr,42.79.HpDOI:10.7498/aps.66.084202

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11274377)and the State Major Research EquipMent Pro ject,China(G rant No.ZDY 2011-2).

?Corresponding author.E-Mail:m_rzhang@163.com

A nalysis of the in fl uence of d iattenuation on op tical iMaging systeMby using the theory of vector p lane w ave spectrum?

Zhang Min-Rui1)2)?He Zheng-Quan1)Wang Tao1)Tian Jin-Shou1)

1)(X i’an Institu te ofOptics and Precision Mechanics of Chinese AcadeMy of Sciences,X i’an 710119,China)2)(University of Chinese AcadeMy of Sciences,Beijing 100049,China)

In most of the researches of polarization aberration,the in fluence of diattenuation is not large enough to aff ect iMaging quality evidently.However,the Modulation transfer function decreases when op tical eleMents w ith coMp lex p lanar dielectric structures and low transMittance,such as beam-sp litter and opticalModulator,are introduced into an imaging system.In this paper,a vector opticalmodel in Descartes coordinate systeMis proposed based on the concept of vector p lanewave spectrum(VPW S).The resu lts of calculation show that the VPW SModel is consistent w ith Debye model.CoMpared w ith Debye vector diff raction integral,the VPW Smethod ismore suitable to the descrip tion of the PA introduced by p lanar op tical device w ith opaqueMask,such as larger surface quantum-confined-stark-eff ect electroabsorption Modulator,which is used to Modu late the light collected by optical antenna of tiMe-of-fl ight(TOF)dep th systeMor modu lating-retroreflector free-space-optical communication system.In order to siMp lify the calculation and obtain the conclusion of the change in iMaging quality directly,the formula of optical transfer function is decoMposed into three parts(TE coMponent,TMcoMponent and the correlation of them)instead of polynoMial expansion of pupil function.The influences of diattenuation on MTF is studied globally and locally in a range of cut-off frequency of op tical iMaging system(2N A/λ).A llowance of diattenuation is analysed by nuMerical calcu lation,and aMatheMatical exp ression is derived.The result shows that the change of diattenuation can be neglected when the spatial frequency v is less than 0.2NA/λ,and the range of allowance decreasesw ith the increase of spatial frequency.According to numerical calculation shown in Fig.7 and the derived formulas(15)and(16),the ratios of reflection/transMission coeffi cient of s-light and p-lightshould range respectively froM0.63 to 1.6(0.2NA/λ0.8N A/λ)when the MTF is required to be not less than 90%of the value in ideal diff raction-liMited system.The range of allowance becoMes larger gradually w ith the increase of angleθnbetween the norMal of op tical interface n and the optical axis of imaging system.If a polarization beaMsp litter is considered,θn/sin?1NA should be greater than 1–3.

vector optics,polarization aberration,modulation transfer function

10.7498/aps.66.084202

?國家自然科學基金(批準號:11274377)和財政部重大科研裝備儀器項目(批準號:ZDY 2011-2)資助的課題.

?通信作者.E-Mail:m_rzhang@163.com

?2017中國物理學會C h inese P hysica l Society

http://w u lixb.iphy.ac.cn